机械原理基本杆组分析法.docx
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机械原理基本杆组分析法
机械原理
机构运动分析基本杆组法
上
机
指
导
书
Ⅱ级机构的杆组分析法通用子程序设计
随着计算机的普及，用解析法对机构进行运动分析得到越来越广泛的应用。
解析法中有矢量方程解析、复数矢量、杆组分析、矩阵运算等方法。
本文采用杆组分析的方法，设计通用的Ⅱ级杆组子程序，可对一般的Ⅱ级机构进行运动分析。
1.单杆运动分析子程序
单杆的运动分析，通常是已知构件三角形△P1P2P3的边长l、r夹角α以及构件上某基点P1的运动参数x1，y1，x’1，y’1，x’’1，y’’1和构件绕基点转动的运动参数θ，θ’，θ’’，要求确定构件上点P2和P3的运动参数。
显然，由图1可得下列关系式：
x2=x1+lcosθ，y2=y1+lsinθ
x’2=x’1-lsinθθ’，y’2=y’1+lcosθθ’
x’’2=x’’1-lsinθθ’’-lcosθθ’2,y’’2=y’’1+lcosθθ’’-lsinθθ’2
x3=x1+rcos（θ+α），y3=y1+rsin（θ+α）
x’3=x’1-（y3-y1）θ’，y’3=y’1+（x3-x1）θ’
x’’3=x’’1-（y3-y1）θ’’-（x3-x1）θ’2,y’’3=y’’1+（x3-x1）θ’’-（y3-y1）θ’2
由以上各式可设计出单杆运动分析子程序（见程序单）。
图1
2.RRR杆组运动分析子程序
图2所示RRRⅡ级杆组中，杆长l1，l2及两外接转动副中心P1，P2的坐标、速度、加速度分量为x1，x’1，x’’1，y1，y’1，y’’1，x2，x’2，x’’2，y2，y’2，y’’2，要求确定两杆的角度、角速度和角加速度θ1，θ’1，θ’’1，θ2，θ’2，θ’’2。
1）位置分析
将已知P1P2两点的坐标差表示为：
u=x2-x1，v=y2-y1
（1）
杆l1及l2投影方程式为：
l1cosθ1-l2cosθ2=u
l1sinθ1-l2sinθ2=v
（2）
消去θ1得：
vsinθ2+ucosθ2+c=0（3）
其中：
c=（u2+v2+l22-l12）/2l2
解式（3）可得：
tan（θ2/2）=（v±
）/（u-c）（4）
式中+号和-号分别对应图2中m=+1和m=-1两位置。
图2
由式
（2）可得：
tanθ1=（v+l2sinθ2）/（u+l2cosθ2）（5）
2）速度分析
对式
（2）求导一次得：
A1θ’1+A3θ’2=u’，A2θ’1+A4θ’2=v’ （6）
其中：
A1=-l1sinθ1，A2=l1cosθ1，A3=l3sinθ2，A4=-l2cosθ2
解式（6）可得：
ω1=θ’1=（A4u’-A3v’）/D，ω2=θ’2=（A1v’-A2u’）/D （7）
其中：
D=A1A4-A2A3=l1l2sin（θ1-θ2）
3）加速度分析
对式（6）求导一次得：
A1θ’’1+A3θ’’2=E，A2θ’’1+A4θ’’2=F （8）
其中：
E=u’’+A2θ’12+A4θ’22，F=v’’-A1θ’12-A3θ’22
解式（8）可得：
α1=θ’’1=（A4E-A3F）/D，α2=θ’’2=（A1F-A2E）/D （9）
由上述式子可设计出RRR杆组运动分析子程序（见程序单）。
3.RRP杆组运动分析子程序
图3所示RRPⅡ级杆组中，已知杆长l1及两外接点P1，P2的运动和移动副轴线P2P3的方向角变量（θ2，θ’2，θ’’2），P2点为以移动副与构件2相连的构件上运动已知的牵连点，要求确定运动变量l2，θ1，l’2，θ’1，l’’2，θ’’1。
1）位置分析
由于θ2已知，l2待求，将式
（2）消去θ1可得：
l22+2（ucosθ2+vsinθ2）l2+（u2+v2-l12）=0
由此解得：
l2=-（ucosθ2+vsinθ2）±
（10）
式中+号用于转动副中心P3处在P2H线段之外（
图3中m=+1的位置），-号用于P3处在P2H线段
之内（图3中m=-1的位置）。
θ1由式（5）而定。
2）速度分析
对式
（2）求导一次得：
图3
A1θ’1+A5l’2=G，A2θ’1+A6l’2=H（11）
其中：
A1，A2同前，A5=-cosθ2，A6=-sinθ2，G=u’+l2A6θ’2，H=v’-l2A5θ’2
解式（11）可得：
ω1=θ’1=（A6G-A5H）/D8，l’2=（A1H-A2G）/D8 （12）
其中：
D8=A1A6-A2A5=l1cos（θ1-θ2）
3）加速度分析
对式（11）求导一次得：
A1θ’’1+A5l’’2=E1，A2θ’’1+A6l’’2=F1 （13）
其中：
E1=u’’+A2θ’12+2A6l’2θ’2+l2A5θ’22+l2A6θ’’2
F1=v’’-A1θ’12-2A5l’2θ’2+l2A6θ’22-l2A5θ’’2
解式（13）可得：
α1=θ’’1=（A6E1-A5F1）/D8，l’’2=（A1F1-A2E1）/D8 （14）
由上述式子可设计出RRP杆组运动分析子程序（见程序单）。
4.RPR杆组运动分析子程序
图4所示RPRⅡ级杆组中，已知杆长l1及两外接点P1，P2的运动，l1为P1点至导路的垂直距离，P2为过P2'与导路垂直延伸点，延伸距离为w（当P2与P1在导路同侧时，w取正，在异侧时，w取负），要求确定运动变量l2，θ1，θ2，l’2，θ’1，θ’2，l’’2，θ’’1，θ’’2。
1）位置分析
θ1与θ2的关系为：
θ2=θ1±π/2（15）
式中+号和-号分别对应图4中m=+1和m=-1两
位置。
l1与l2有如下关系：
（16）
由式（4）和式（16）可得：
tan（θ2/2）=[v±（l1-w）]/（u-l2）（17）
2）速度分析
由于θ’1=θ’2，引进符号θ’i（i=1,2），对
式
（2）求导一次得：
A7θ’i+A5l’2=u’，A8θ’i+A6l’2=v’（18）
其中：
A7=-（l1-w）sinθ1+l2sinθ2
A8=（l1-w）cosθ1-l2cosθ2图4
解式（18）可得：
ωi=θi=（A6u’-A5v’）/（-l2），l’2=（A7v’-A8u’）/（-12） （19）
3）加速度分析
对式（18）求导一次得：
A7θ’’i+A5l’’2=E2，A8θ’’i+A6l’’2=F2 （20）
其中：
E2=u’’+A8θ’i2+2A6l’2θ’i，F2=v’’-A7θ’i2-2A5l’2θ’i
解式（20）可得：
αi=θ’’i=（A6E2-A5F2）/（-l2），l’’2=（A7F2-A8E2）/（-l2） （21）
由上述式子可设计出RPR杆组运动分析子程序（见程序单），在子程序中，以+m代替前面各式中出现的±计算符。
m称之为型参数，在设计主程序时，应根据各类Ⅱ级杆组不同的布置型式，确定m的取值（m可取+1，-1和0）。
5．PRP杆组运动分析子程序
图5所示PRPⅡ级杆组中，已知导路1，2两外接点P1，P2的运动，h1，h2分别为未知运动点P3至导路1，2的垂直距离，导路1，2的方位角、角速度、角加速度（θ1，θ’1，θ’’1，θ2，θ’2，θ’’2）均已知，要求确定导路1，2移动的位移、速度及加速度（l1，l2，l’1，l’2，l’’1，l’’2）以及P3点的运动（x3，x’3，x’’3，y3，y’3，y’’3）。
1）位置分析
推导l1，及l2的方程式：
x1+l1cosθ1+h1sinθ1=x2+l2cosθ2-h2sinθ2
y1+l1sinθ1-h1cosθ1=y2+l2sinθ2+h2cosθ2
整理得：
l1cosθ1-l2cosθ2=E1
l1sinθ1-l2sinθ2=F1（22）
其中：
E1=u-A3h1-A4l2，F1=v+A1h1+A2h2，
A1=cosθ1，A2=cosθ2，A3=sinθ1，A4=sinθ2。
由于θ1，θ2均已知，由此解得：
l1=（F1cosθ2-E1sinθ2）/D8
l2=（F1cosθ1-E1sinθ1）/D8（23）
其中：
D8=A2A3-A1A4=sin（θ1-θ2）
P3点的位置为：
x3=x1+l1cosθ1+h1sinθ1
y3=y1+l1sinθ1-h1cosθ1（24）
2）速度分析
对式（22）求导一次，整理得：
l’1cosθ1-l’2cosθ2=E2图5
l’1sinθ1-l’2sinθ2=F2（25）
其中：
E2=u’+A6θ’1–A8θ’2，F2=v’-A5θ’1–A7θ’2，A5=l1cosθ1+h1sinθ1，
A6=l1sinθ1-h1cosθ1，A7=l2cosθ2-h2sinθ2，A8=l2sinθ2+h2cosθ2。
由（25）解得：
l’1=（F2cosθ2-E2sinθ2）/D8
l’2=（F2cosθ1-E2sinθ1）/D8（26）
P3点的速度为对式（24）求导得：
x’3=x’1+l’1cosθ1+A6θ’1
y’3=y’1+l’1sinθ1-A5θ’1（27）
3）加速度分析
对式（25）求导一次，整理得：
l’’1cosθ1-l’’2cosθ2=E3
l’’1sinθ1-l’’2sinθ2=F3（28）
其中：
E3=u’’+2A3l’1θ’1+A5θ’12+A6θ’’1–2A4l’2θ’2–A7θ’22–A8θ’’2，
F3=v’’-2A1l’1θ’1+A6θ’12-A5θ’’1+2A2l’2θ’2–A8θ’22+A7θ’’2。
解（28）式得：
l’’1=（F3cosθ2–E3sinθ2）/D8
l’’2=（F3cosθ1–E3sinθ1）/D8（29）
P3点的加速度为对式（27）求导得：
x’’3=x’’1+A1l’’1-2A3l’1θ’1-A5θ’12-A6θ’’1
y’’3=y’’1+A3l’’1-2A1l’1θ’1-A6θ’12-A5θ’’1（30）
由上述式子可设计出PRP杆组运动分析子程序（见程序单）。
6．RPP杆组运动分析子程序
图6所示RPPⅡ级杆组中，已知导路1参考点P1和外转动副P2的运动，h为外副P2至导路2的垂直距离，导路1的方位角、角速度、角加速度（θ1，θ’1，θ’’1）已知，导路1与导路2间的夹角为。
要求确定导路1，2移动的位移、速度及加速度（l1，l2，l’1，l’2，l’’1，l’’2）以及导路中心P3，P4点的运动（x3，x4，x’3，x’4，x’’3，x’’4，y3，y4，y’3，y’4，y’’3，y’’4）。
1）位置分析
推导l1，及l2的方程式：
x1+l1cosθ1+l2cos（θ1+）=x2+hsin（θ1+）
y1+l1sinθ1+l2sin（θ1+）=y2-hcos（θ1+）
整理得：
l1cosθ1+l2cos（θ1+）=E1
l1sinθ1+l2sin（θ1+）=F1（31）
其中：
E1=u+A1h，F1=v–A2h，
A1=sin（θ1+），A2=cos（θ1+）。
由于θ1，均已知，由此解得：
l1=（E1sin（θ1+）-F1cos（θ1+））/D8
l2=（F1cosθ1-E1sinθ1）/D8（32）
其中：
D8=A1A4-A2A3=sin，A3=sinθ1，A4=cosθ1图6
P3、P4点的位置为：
x3=x1+l1cosθ1，y3=y1+l1sinθ1
x4=x2+hsin（θ1+），y4=y2-hcos（θ1+）（33）
当给定P1、P2点的位置，杆长h的大小和导路的方向角θ1、后，RPP杆组可能有两种形式，即图6中的实线和虚线两种形式，这可用h为“+”（实线机构）和h为“-”（虚线机构）来确定。
此外，从式（32）可以看出，为保证机构能够正常运动，两导路之间的夹角不能为0，再考虑到加工和装配等因素以及摩擦的存在，工程实际中，一般要求sin0.1。
2）速度分析
对式（31）求导一次，整理得：
l’1cosθ1+l’2cos（θ1+）=E2
l’1sinθ1+l’2sin（θ1+）=F2（34）
其中：
E2=u’+θ’1（A2h+A3l1+A1l2），F2=v’-θ’1（A1h-A4l1-A2l2）。
由式（34）解得：
l’1=（E2sin（θ1+）-F2cos（θ1+））/D8
l’2=（F2cosθ1-E2sinθ1）/D8（35）
P3、P4点的速度为对式（33）求导得：
x’3=x’1+A4l’1–A3l1θ’1，y’3=y’1+A3l’1+A4l1θ’1
x’4=x’2+A2hθ’1，y’4=y’2+A1hθ’1（36）
3）加速度分析
对式（34）求导一次，整理得：
l’’1cosθ1+l’’2cosθ2=E3
l’’1sinθ1+l’’2sinθ2=F3（37）
其中：
E3=u’’+θ’’1（A2h+A3l1+A1l2）-θ’12（A1h-A4l1-A2l2）+2θ’1（A3l’1+A1l’2）
F3=v’’+θ’’1（A1h-A4l1-A2l2）+θ’12（A2h–A3l1–A1l2）-2θ’1（A4l’1+A2l’2）
解（37）式得：
l’’1=（E3sin（θ1+）-F3cos（θ1+））/D8
l’’2=（F3cosθ1–E3sinθ1）/D8（38）
P3、P4点的加速度为对式（36）求导得：
x’’3=x’’1+A4l’’1-A3l1θ’’1-2A3l’1θ’1–A4l1θ’12
y’’3=y’’1+A3l’’1+A4l1θ’’1+2A4l’1θ’1–A3l1θ’12
x’’4=x’’2+A2hθ’’1–A1hθ’12
y’’4=y’’2+A1hθ’’1+A2hθ’12（39）
由上述式子可设计出RPP杆组运动分析子程序（见程序单）。
/*机械原理平面机构运动分析子程序*/
/*（含单杆，RRR，RRP，RPR，PRP，RPP杆组）*/
#definePI3.1415926
#include
#include
doublel,l1,l2,lv1,lv2,la1,la2,r,af,ct,cv,ca,ct1,cv1,ca1,ct2,cv2,ca2;
doubleu,v,u1,v1,u2,v2,x1,y11,xv1,yv1,xa1,ya1,x2,y2,xv2,yv2,xa2,ya2;
doublex3,y3,xv3,yv3,xa3,ya3,x4,y4,xv4,yv4,xa4,ya4,a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8;
doublec,d,d7,d8,dt,e,e1,e2,e3,f,f1,f2,f3,g,h,h1,h2,i1,k,k1,k2,n,n7,w;
intm;
/*各公共子程序*/
/*单杆运动分析子程序*/
voidSSL（）
{
x2=x1+l*cos（ct）;
y2=y11+l*sin（ct）;
x3=x1+r*cos（ct+af）;
y3=y11+r*cos（ct+af）;
xv2=xv1-l*sin（ct）*cv;
yv2=yv1+l*cos（ct）*cv;
xa2=xa1-l*sin（ct）*ca-l*cos（ct）*cv*cv;
ya2=ya1+l*cos（ct）*ca-l*sin（ct）*cv*cv;
xv3=xv1-（y3-y1）*cv;
yv3=yv1+（x3-x1）*cv;
xa3=xa1-（y3-y11）*ca-（x3-x1）*cv*cv;
ya3=ya1+（x3-x1）*ca-（y3-y11）*cv*cv;
}
/*RRR杆组运动分析子程序*/
voidRRR（）
{
u=x2-x1;
v=y2-y11;
u1=xv2-xv1;
v1=yv2-yv1;
u2=xa2-xa1;
v2=ya2-ya1;
c=（u*u+v*v+l2*l2–l1*l1）/2/l2;
k=v*v+u*u-c*c;
if（k<0）
Cout<<（"DYDACANNOTBEASSEMBLED\n"）;
else
{n7=v+m*sqrt（k）;
d7=u–c;
ct2=2*atan（n7/d7）;
if（d7<0&&n7>0）ct2+=2*PI;
elseif（d7<0&&n7<0）ct2-=2*PI;
{n=v+l2*sin（ct2）;
d=u+l2*cos（ct2）;
ct1=atan（n/d）;
}
if（d<0&&n>0）ct1+=PI;
elseif（d<0&&n<0）ct1-=PI;
a1=-l1*sin（ct1）;
a2=l1*cos（ct1）;
a3=l2*sin（ct2）;
a4=-l2*cos（ct2）;
d=a1*a4-a2*a3;
if（fabs（d）<1e-9）
cout<<（"DYADISINUNCERTAINTY\n"）;
else
{cv1=（a4*u1-a3*v1）/d;
cv2=（a1*v1-a2*u1）/d;
e=u2+a2*cv1*cv1+a4*cv2*cv2;
f=v2-a1*cv1*cv1-a3*cv2*cv2;
ca1=（a4*e-a3*f）/d;
ca2=（a1*f-a2*e）/d;
}
}
}
/*RRP杆组运动分析子程序*/
voidRRP（）
{
u=x2-x1;
v=y2-y11;
u1=xv2-xv1;
v1=yv2-yv1;
u2=xa2-xa1;
v2=ya2-ya1;
k1=l1*l1-pow（（u*sin（ct2）-v*cos（ct2））,2）;
if（k1<0）
cout<<（"DYADCANNOTBEASSEMBLED\n"）;
else
{k2=u*cos（ct2）+v*sin（ct2）;
l2=-k2+m*sqrt（k1）;
n=v+l2*sin（ct2）;
d=u+l2*cos（ct2）;
ct1=atan（n/d）;
if（d<0&&n>0）ct1+=PI;
elseif（d<0&&n<0）ct1-=PI;
a1=-l1*sin（ct1）;
a2=l1*cos（ct1）;
a5=-cos（ct2）;
a6=-sin（ct2）;
g=u1+l2*a6*cv2;
h=v1–l2*a5*cv2;
d8=a1*a6-a2*a5;
If（fabs（d8）<=1e-9）
cout<<（"DYADISINUNCERTAINTY\n"）;
else
{cv1=（a6*g-a5*h）/d8;
lv2=（a1*h-a2*g）/d8;
e1=u2+a2*cv1*cv1+2*a6*lv2*cv2+l2*a5*cv2*cv2+l2*a6*ca2;
f1=v2-a1*cv1*cv1-2*a5*lv2*cv2+l2*a6*cv2*cv2–l2*a5*ca2;
ca1=（a6*e1-a5*f1）/d8;
la2=（a1*f1-a2*e1）/d8;
}
}
}
/*RPR杆组运动分析子程序*/
VoidRPR（）
{
u=x2-x1;
v=y2-y11;
u1=xv2-xv1;
v1=yv2-yv1;
u2=xa2-xa1;
v2=ya2-ya1;
i1=u*u+v*v-（l1-w）*（l1-w）;
if（i1<0）
cout<<（"DYADCANNOTBEASSEMBLED\n"）;
else
{l2=sqrt（i1）;
n=v+m*（l1-w）;
d=u–l2;
ct2=2*atan（n/d）;
if（d<0&&n>0
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