北师大版九年级上册数学 第四章教学资源包北师大版九年级上第四章图形的相似导学案.docx

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北师大版九年级上册数学第四章教学资源包北师大版九年级上第四章图形的相似导学案

第四章图形的相似

4.1成比例线段

学习目标、重点、难点

【学习目标】

1、两条线段的比；

2、成比例线段；

3、比例的基本性质.

【重点难点】

1、两条线段的比；

2、成比例线段；

3、比例的基本性质.

知识概览图

线段的比

新课导引

在现实生活中，我们经常见到形状相同的图形，如下图所示，是我们平时所用的三角板，但同学们手中的三角板和老师手中的三角板有大小之分．

【问题探究】通过观察上面的图形可以知道这两组三角板有形状相同这一特点．那么，你能知道这两组三角板的对应线段有什么关系吗?

【点拨】形状相同的两组三角板的对应线段成比例．

教材精华

知识点1两条线段的比

通俗地说，所谓两条线段的比，就是把两条线段的长度相除所得的结果（比值）．

例如：

线段AB＝3cm，CD＝5cm，那么线段AB与CD的比是

或3∶5.

如果选用同一个长度单位量得两条线段AB，CD的长度分别是m，n，那么就说这两条线段的比AB∶CD＝m∶n，或写成

=

．其中，线段AB，CD分别叫做这个线段比的前项和后项.

拓展

（1）定义中所说的“选用同一个长度单位”应格外引起注意．如果线段AB＝9mm，线段CD＝10cm．那么我们就不能说线段AB与线段CD的比是9∶10，而应先把它们化成相同单位后再求比值，实际上这里AB与CD的比是9∶100．

（2）从本质上讲，m∶n表示的是两数的相除关系，因此也写成

．既然是相除关系，那么就可以“约分”，如线段AB与线段CD的比是15∶5，我们就可以说AB与CD的比是3∶1．（3）两条线段的比是有先后顺序的．若写线段AB与CD的比，就必须把表示AB长度的数写在前面或分数线上面（前项），表示CD长度的数写在后面或分数线下面（后项）．

规律方法小结本节中所说的“比”是“两条线段的比”，实际上，单纯的两个数之间也可以建立比的关系．例如：

甲数为m，乙数为n，那么甲数与乙数的比就是m∶n或

．

知识点2成比例线段

四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即

＝

，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．

拓展1．

（1）比例线段所表示的是四条线段的关系，应该注意这个“四”字，一条线段不能构成比例线段，两条线段也不能，三条线段在不重复使用其中某一条的情况下也构不成比例线段．五条和五条以上的线段，只能就其中的某四条来研究是否构成比例线段．

（2）比例线段所表示的是一种相等关系，因此表示比例线段的式子中必须有等号存在．

2．

（1）为了讨论问题方便，我们再给出两个相关定义：

如果线段a，b，c，d成比例，即

＝

，或a∶b＝c∶d，则a，d叫做比例外项，b，c叫做比例内项．

（2）四个数之间也可以构成比例关系．例如：

甲数为m，乙数为n，丙数为p，丁数为q，若甲数与乙数的比值恰好等于丙数与丁数的比值，即

＝

，我们就说这四个数成比例.

知识点3比例的基本性质

比例的基本性质：

如果

＝

，那么以ad＝bc.

等比性质：

如果

＝

=…＝

（b+d+…+n≠0），那么

＝

．

合比性质：

如果

＝

，那么

＝

．

拓展

（1）将比例式转化为乘积式是有条件的，并不是比例式的四个字母中任意两个字母的乘积都等于另外两个字母的乘积．那么你认真观察一下，其中有什么规律呢？

这个规律是：

比例的外项乘积等于内项乘积．

（2）使用等比性质时，要注意b+d+…+n≠0这个条件．

课堂检测

基础知识应用题

1、下列长度的四条线段中，不能成比例的是（）

A．a=3，b=6，c=2，d=4B．a=1，b=

，c=

，d=

C．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10D．a＝2，b＝

，c＝

，d＝2

2、如果把ad＝bc写成线段的比例式，那么下列式子中错误的是（）

A．a∶b＝c∶dB．a∶c＝b∶dC．b∶a＝d∶cD．b∶d＝c∶a

综合应用题

3、在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A=45°，求BC∶AC和BC∶AB的值.

探索创新题

4、如果

，且x+y+z=12，求x，y，z的值.

体验中考

1、小刚身高1.7m，测得他站立在阳光下的影子长为0.85m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1m，那么小刚举起的手臂超出头顶（）

A．0.5mB．0.55mC．0.6mD．2.2m

2、在比例尺为1∶2000的地图上测得A，B两地间的图上距离为5cm，则A，B两地间的实际距离为m．

学后反思

附：

课堂检测及体验中考答案

课堂检测

1、答案：

C

【解题策略】解此类问题，若有单位，应先将四条线段的长度单位统一，然后把四条线段按从小到大（或从大到小）的顺序排列，再看中间两数的积与两边两数的积是否相等，若相等，说明这四条线段成比例，否则，不成比例．

2、答案：

D

【解题策略】比例的基本性质的逆用（即：

等积式转化为等比式）．

3、

解：

如图4-2所示，在Rt△ABC中，

因为∠C=90°，∠A=45°，

所以△ABC为等腰直角三角形.

所以AC=BC，所以BC∶AC=1∶1.

又因为AB=

=

=

BC.

所以BC∶AB=BC∶

BC=1∶

.

【解题策略】由此题可知等腰直角三角形三边的比为1∶l∶

．

4、解：

设

=k，则x=3k-4，y=2k-3，z=4k-8.

代入x+y+z＝12，得3k-4+2k-3+4k-8＝12，解得k＝3，

所以x＝3k-4＝3×3-4＝5，

y＝2k-3＝2×3-3＝3，

z＝4k-8＝4×3-8＝4．

【解题策略】解此题的巧妙办法就是设连比式的值为K，则用含k的代数式表示其中的x，y，z，再利用题中的等式求出k的值，进而达到解题的目的.

体验中考

1、分析本题考查将实际问题转化为数学问题的能力．根据物高：

影长＝另一物高：

另一影长，可求出小刚手臂举起后的总高度（h）．根据题意，得

，所以h＝

（m），所以小刚举起的手臂超出头顶2.2-1.7＝0.5（m）．故选A.

2、分析根据比例尺＝

列方程．设实际距离为xcm，则可知

，则x＝10000，即10000cm＝100m．故填100．

4.2黄金分割

学习目标、重点、难点

【学习目标】

1、黄金分割的定义；

2、黄金分割的求法及画法.

【重点难点】

1.黄金分割的定义；

2.黄金分割的求法及画法.

知识概览图

黄金分割

新课导引

五角星是我们常见的图形，如右图所示，它让你感受到了一种美．现实生活中还有很多这样的图案，你能举出一些例子吗?

【点拨】在现实生活中，正五边形也会让你感受到一种美，还有许多雕塑、绘画等艺术作品都会给人一种美的享受.

教材精华

知识点1黄金分割的定义

如图4-6所示，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果

，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比，由计算可知，AC∶AB＝

∶1≈0.618∶1．

黄金分割的应用：

黄金分割不仅应用于艺术创作，还广泛应用于服装设计、汽车制造、建筑设计、几何图形创作等各类工艺造型中．

知识点2黄金分割的画法

画法1：

如图4-7所示，设AB是已知线段，以AB为边作正方形ABCD；取AD的中点E，连接EB；延长DA至F，使EF＝EB；以线段AF为边作正方形AFGH．点H就是AB的黄金分割点．

画法2：

如图4-8所示，已知线段AD，经过点B作BD⊥AB，使BD＝

AB，连接AD，在DA上截取DE＝DB，在AB上截取AC＝AE，则点C是线段AB的黄金分割点；

课堂检测

基础知识应用题

1、已知线段AB，点P是它的黄金分割点，AP＞PB，设以AP为边的正方形的面积为S1，以PB和AB为邻边的矩形面积为S2，则S1与S2之间的大小关系是（）

A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．无法确定

2、已知点C将线段AB黄金分割，且AC＜BC，则BC等于（）

A．

ABB．

ABC．

ABD．

AB

综合应用题

3、以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上，如图4-10所示．

（1）求AM，DM的长；

（2）试说明AM2=AD·DM；

（3）根据

（2）的结论，你能找出图中的黄金分割点吗?

探索创新题

4、如图4-13所示，作线段AB的黄金分割点C．

方法如下：

（1）过点B作BD⊥AB，使BD＝

AB；

（2）连接AD，在AD上截取DE＝BD；

（3）在AB上截取AC＝AE，则点C是线段AB的黄金分割点．即AC2＝AB·BC．

你能证明这样得到的C点是黄金分割点吗?

体验中考

1、宽与长的比是

的矩形叫黄金矩形，心理学测试表明，黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调、匀称的美感，现将同学们在教学活动中，折叠黄金矩形的方法归纳出以下作图步骤（如图4-14所示）．

第一步：

作一个任意正方形ABCD；

第二步：

分别取AD，BC的中点M，N，连接MN；

第三步：

以N为圆心，ND为半径画弧，交BC的延长线于点E；

第四步：

过点E作EF⊥AD，交AD的延长线于点F，

请你根据以上作法，证明矩形DCEF为黄金矩形（可取AB＝2）．

学后反思

附：

课堂检测及体验中考答案

课堂检测

1、答案：

B.

【解题策略】黄金分割点把线段分成两部分，较长线段是较短线段和整个线段的比例中项．

2、答案：

A.

【解题策略】理解由黄金分割点得到的三条线段的关系．

3、分析抓住题中的作图过程：

便抓住了问题中的数量关系，根据作图过程，层层推进．

解：

（1）因为正方形ABCD的边长为2，P是AB的中点，

所以AD＝AB＝2；AP＝1，∠BAD＝90°，

所以PD＝

．

因为PF＝PD，所以AF＝

-1．

在正方形AMEF中，AM＝AF＝

-l，

所以MD＝AD-AM＝3-

.

（2）由

（1）得AD·DM＝2×（3-

）＝6-2

，

AM2=（

-1）2＝6-2

．所以AM2＝AD·DM.

（3）图4-10中的M点是线段AD的黄金分割点．

【解题策略】根据数形结合思想，逐步推理．

4、解：

设AB＝a，AC＝x，则AD＝AE+ED＝x+

．

在Rt△ABD中，由勾股定理，得

，

整理，得x2＝a（a-x），即AC2＝AB·BC，所以点C是线段AB的黄金分割点．

【解题策略】解此题的关键是利用、黄金分割的定义来证明．

体验中考

1、证明：

在正方形ABCD中，取AB＝2．

∵N为BC的中点，∴NC＝

BC＝1．

在Rt△DNC中，ND＝

＝

＝

．

又∵NE=ND，∴CE=NE-NC=

-1，∴

．

故矩形DCEF为黄金矩形．

【解题策略】理解黄金分割的意义．

4.3相似三角形

学习目标、重点、难点

【学习目标】

1、对相似三角形的理解和认识

2、相似三角形的定义

3、相似三角形与全等三角形的区别和联系.

【重点难点】

3.相似三角形的定义

4.相似三角形与全等三角形的区别和联系.

知识概览图

相似三角形

新课导引

前面我们学习了全等三角形，即两个三角形的三角对应相等、三边对应相等，那么根据上节课所学习的相似多边形的概念，你能类比推理出相似三角形的概念吗?

【点拨】根据前面学习的有关全等三角形及相似多边形的概念，可以类比推出相似三角