版高中数学人教版A版必修三学案2 章末复习提升.docx
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版高中数学人教版A版必修三学案2章末复习提升
1．关于抽样方法
（1）用随机数法抽样时，对个体所编号码位数要相同，当问题所给位数不同时，以位数较多的为准，在位数较少的数前面添“0”，凑齐位数．
（2）用系统抽样法时，如果总体容量N能被样本容量n整除，抽样间隔为k＝
；如果总体容量N不能被样本容量n整除，先用简单随机抽样剔除多余个体，抽样间隔为k＝
（其中K＝N－多余个体数）．
（3）三种抽样方法的异同点
类别
共同点
各自特点
相互联系
适用范围
简单随机抽样
抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同
从总体中逐个抽取
总体中的个体数较少
系统抽样
将总体平均分成几部分，按事先确定的规则分别在各部分中抽取
在起始部分抽样时，采用简单随机抽样
总体中的个体数较多
分层抽样
将总体分成几层，按各层个体数之比抽取
各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样
总体由差异明显的几部分组成
2.关于用样本估计总体
（1）用样本频率分布估计总体频率分布时，通常要对给定的一组数据进行列表、作图处理，作频率分布表与频率分布直方图时要注意其方法步骤．
（2）茎叶图刻画数据有两个优点：
一是所有信息都可以从图中得到；二是茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，便于记录和表示．
（3）平均数反映了样本数据的平均水平，而标准差反映了样本数据的波动程度．
3．变量间的相关关系
（1）除了函数关系这种确定性的关系外，还大量存在因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系——相关关系，对于一元线性相关关系，通过建立回归方程就可以根据其部分观测值，获得对这两个变量之间的整体关系的了解，主要是作出散点图，写出回归方程．
（2）求回归方程的步骤：
①先把数据制成表，从表中计算出
，
，
，
iyi；
②计算回归系数
，
.公式为
③写出回归方程
＝
x＋
.
题型一 抽样方法的运用
1．抽样方法有：
简单随机抽样、系统抽样、分层抽样．
2．三种抽样方法比较
例1
（1）某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名，现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（ ）
A．6B．8C．10D．12
（2）问题：
①某小区有800户家庭，其中高收入家庭200户，中等收入家庭480户，低收入家庭120户，为了了解有关家用轿车购买力的某个指标，要从中抽取一个容量为100的样本；②从10名学生中抽取3人参加座谈会．方法：
（1）简单随机抽样；
（2）系统抽样；（3）分层抽样．则问题与方法配对正确的是（ ）
A．①
（1），②
（2）B．①（3），②
（2）
C．①
（2），②（3）D．①（3），②
（1）
答案
（1）B
（2）D
解析
（1）分层抽样的原理是按照各部分所占的比例抽取样本．设从高二年级抽取的学生数为n，
则
＝
，得n＝8.
（2）问题①中的总体是由差异明显的几部分组成的，故可采用分层抽样方法；问题②中总体的个数较少，故可采用简单随机抽样．故匹配正确的是D.
跟踪训练1 某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为（ ）
A．11B．12C．13D．14
答案 B
解析 抽样间隔为
＝20.设在1,2，…，20中抽取号码x0（x0∈[1,20]）．在[481,720]之间抽取的号码记为20k＋x0，则481≤20k＋x0≤720，k∈N*.
所以24
≤k＋
≤36.因为
∈
，所以k＝24,25,26，…，35，
所以k的值共有35－24＋1＝12（个），即所求人数为12.
题型二 用样本的频率分布估计总体分布
此类问题通常要对样本数据进行列表、作图处理．这类问题采取的图表主要有：
条形图、直方图、茎叶图、频率分布折线图、扇形图等．它们的主要优点是直观，能够清楚表示总体的分布走势．除茎叶图外，其他几种图表法的缺点是原始数据信息有丢失．
例2 如图所示的是某学校抽取的学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第2小组的频数为10，则抽取的学生人数为（ ）
A．20B．30C．40D．50
答案 C
解析 前3组的频率之和等于1－（0.0125＋0.0375）×5＝0.75，第2小组的频率是0.75×
＝0.25，设样本容量为n，则
＝0.25，则n＝40.故选C.
跟踪训练2 某市民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：
（1）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？
（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w＝3时，估计该市居民该月的人均水费．
解
（1）如题图所示，用水量在[0.5,3）的频率的和为：
（0.2＋0.3＋0.4＋0.5＋0.3）×0.5＝0.85.
∴用水量小于等于3立方米的频率为0.85，又w为整数，
∴为使80%以上的居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为3.
（2）当w＝3时，该市居民该月的人均水费估计为：
（0.1×1＋0.15×1.5＋0.2×2＋0.25×2.5＋0.15×3）×4＋0.15×3×4＋[0.05×（3.5－3）＋0.05×（4－3）＋0.05×（4.5－3）]×10＝7.2＋1.8＋1.5＝10.5（元）．
即该市居民该月的人均水费估计为10.5元．
题型三 用样本的数字特征估计总体的数字特征
为了从整体上更好地把握总体的规律，我们还可以通过样本数据的众数、中位数、平均数和标准差等数字特征对总体相应的数字特征作出估计．众数就是样本数据中出现次数最多的那个值；中位数就是把样本数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，中位数为处于中间位置的数，如果数据的个数是偶数，中位数为中间两个数据的平均数；平均数就是所有样本数据的平均值，用
表示；标准差是反映样本数据分散程度大小的最常用统计量，其计算公式是
s＝
.有时也用标准差的平方（s2－方差）来代替标准差．
例3
（1）若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分茎叶图如图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是（单位：
分）（ ）
A．91.5和91.5B．91.5和92
C．91和91.5D．92和92
（2）从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为（ ）
分数
5
4
3
2
1
人数
20
10
30
30
10
A.3B.
C．3D.
答案
（1）A
（2）B
解析
（1）将这组数据从小到大排列，得87,89,90,91,92,93,94,96（单位：
分）．故平均数
＝
×（87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋96）＝91.5（分），中位数为
＝91.5（分）．故选A.
（2）∵
＝
＝3，
∴s2＝
[（x1－
）2＋（x2－
）2＋…＋（xn－
）2]
＝
（20×22＋10×12＋30×12＋10×22）
＝
＝
⇒s＝
.
跟踪训练3 为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如图．
（1）若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率（60分及60分以上为及格）；
（2）设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为
1，
2，估计
1－
2的值．
解
（1）设甲校高三年级学生总人数为n.
由题意，知
＝0.05，解得n＝600.
样本中甲校高三年级学生数学成绩不及格的人数为5，据此估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率为1－
＝
.
（2）设甲、乙两校样本平均数分别为
，
.
根据样本茎叶图知，30（
－
）＝30
－30
＝（7－5）＋（55＋8－14）＋（24－12－65）＋（26－24－79）＋（22－20）＋92
＝2＋49－53－77＋2＋92＝15.
因此
－
＝0.5，所以
－
的估计值为0.5分．
题型四 变量间的相关关系
1．分析两个变量间的相关关系时，我们可根据样本数据散点图确定两个变量之间是否存在相关关系，还可利用最小二乘法求出回归方程．把样本数据表示的点在直角坐标系中作出，构成的图叫做散点图．从散点图上，我们可以分析出两个变量是否存在相关关系．如果这些点大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，那么就说这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线，直线方程叫做回归方程．
2．回归方程的应用
利用回归方程可以对总体进行预测，虽然得到的结果不是准确值，但我们是根据统计规律得到的，因而所得结果的正确率是最大的，所以可以大胆地利用回归方程进行预测．
例4 某地连续十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：
年份
2006
2008
2010
2012
2014
需求量（万吨）
236
246
257
276
286
（1）利用所给数据求年需求量与年份之间的回归方程
＝
x＋
；
（2）利用
（1）中所求出的直线方程预测该地2016年的粮食需求量．
解
（1）由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来求回归方程．为此对数据预处理如下：
年份－2010
－4
－2
0
2
4
需求量－257
－21
－11
0
19
29
对预处理后的数据，容易算得
＝0，
＝3.2，
＝
＝
＝6.5，
＝
－
＝3.2.
由上述计算结果，知所求回归方程为
－257＝
（x－2010）＋
＝6.5（x－2010）＋3.2.
即
＝6.5（x－2010）＋260.2.①
（2）利用直线方程①，可预测2016年的粮食需求量为
6．5×（2016－2010）＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2（万吨）≈299（万吨）．
跟踪训练4 理论预测某城市2020到2024年人口总数与年份的关系如下表所示：
年份202x（年）
0
1
2
3
4
人口数y（十万）
5
7
8
11
19
（1）请画出上表数据的散点图；
（2）指出x与y是否线性相关；
（3）若x与y线性相关，请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的回归方程
＝b
＋
；
（4）据此估计2025年该城市人口总数．
（参数数据：
0×5＋1×7＋2×8＋3×11＋4×19＝132,02＋12＋22＋32＋42＝30）
解
（1）数据的散点图如图：
（2）由散点图可知，样本点基本上分布在一条直线附近，故x与y呈线性相关．
（3）由表知
＝
×（0＋1＋2＋3＋4）＝2，
＝
×（5＋7＋8＋11＋19）＝10.
∴
＝
＝3.2，
＝
－
＝3.6，
∴回归方程为
＝3.2x＋3.6.
（4）当x＝5时，
＝19.6（十万）＝196万．
故2025年该城市人口总数约为196万．
题型五 数形结合思想
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