专题06对数与对数函数及其复合函数题型归纳.docx

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专题06对数与对数函数及其复合函数题型归纳

专题06对数与对数函数及其复合函数综合问题

重难点一对数的概念

如果，=入9>0,且。

壬1）,那么X叫做以。

为底N的对数，记作x=bgaN,其中。

叫做对数的底数，N叫做真数.

重难点二对数的性质、换底公式与运算性质

（1）对数的性质：

①心如"=M②lo歆/=60>0,且岸1）.

（2）对数的运算法则：

如果。

>0且启1,MX）,2>0,那么

（3）换底公式：

=b均大于零且不等于i）.

log,a

重难点三对数函数及其性质

（1）概念：

y=gQ>0,且存1）叫做对数函数,其中x是自变量，定义域是（0,+oo）.

（2）对数函数的图象与性质

a>\

0<^7<1

图象

[:

=1）=1。

》

oM（1.0）5

[:

=1

11尸1。

区人

性质

定义域：

（0，4-oo）

值域：

R

当x=l时，y=0,即过定点（1,0）

当x>l时，y>0：

当Ovxvl时，3<0

当X>1时，产0；

当（Xx0

在（0,+8）上是增函数

在（0,+8）上是减函数

一、重难点题型突破

重难点1对数与对数式的化简求值

如果心0，且存1,除0,3>0,那么：

M

（1）log^（A/A|T）=logaM+log^V：

（2）lo即『=lo电必一log0：

（3）1。

耿AT=®23/（〃£R）.

例1-L

（1）（2017,全国高一课时练习）已知lg9=a,10b=5,则用a,b表示log3«45

fllg45Ig5+lg9b+a

【解析】由已知得〃=怆5,则।*45=氤=箕而=孔京

KPlog.3645=--~/?

-a-2b+2

（2）（四川省绵阳市南山中学.8Mg学年高一上期中）若共5匕25,则壮

【解析】•••3°=5h=225・.・a=log3225,b=log5225则

1■/=log）”3+log）255=1°§225^=T，故选：

A.

ab一.2

例1・2.

（1）（2020.成都市.成都实外高一月考）（log43+logs3）・（log32+log92）（lgl00）

[解析]dog43+log83）・（log?

2+log92）.（IglOO）

2lg2lg32

=（工log,3+1log,3）（log32+glog）2）X2=2Xglog,3・：

log"=23262

（2）（2019.四川省成都市郸都区第四中学高一期中）22

10g3--10g3--l0g23-10g94-J7

2

[^Jf]^=log32-l-（log32-2）-log23-=0

【变式训练】

（1）lg500+lg^-1lg64+（lg2+lg5）2

【详解】由对数的运算性质，可得原式=怛5+怆100+怆8-怛5.lg64；+l=lglOO+lg8-lg8+l=lglO2+l=2+l=3.

log.5

⑵（2。

当成都七中实验学校高一期中）计算：

^^+32+3叫

log75333

（详解］।］八+Ig2~log48+3幅2=lg5+lg2-二+2=1-二+2二一.

logJO222

（3）（2020.四川成都市.成都七中高一月考）已知2"=3/=/og318.

（1）求。

（2—与的值；

（2）求4。

-5（6广''的值.

【解析】

（1）由2。

=3得，。

=log?

3.

所以c/（2-0）=log23・（2-log318）=log23・（log39Tog318）

=-log23•（log318-log39）=-log23log.2=-l；

（2）由b=log318得?

=18,

所以4"/网”=4.（2户去=4x3x-^==36x-L=18>/2yJSJ18v2

【变式训练2】

（1）已知21oga（M-2N）=log〃M+log〃N,则一的值为（）N

A.-B.4C.1D.4或1

4

【解析】因为21oga（M-2N）=logaM+logflN,

所以logn（M—2N）2=log「（MN）,（M-2N）2=MN,

（——>-5——+4=0,NN

解得三二1（舍去），三=4,故选B.AA

【解析】由题意得。

=log212,0=IogJ2,则1=10gp2,?

=log>3,ah

21

所以1+石=21呜22+1呜23=1呜2（2~3）=1.

重难点2对数函数图像

例2.

（1）（2018.四川省新津中学高一开学考试）当“>1时，在同一坐标系中，函数

1

【解析】由于">1,所以y=「=1为R上的递减函数，且过（0,1）:

），=—log°xa

为（0,+"）上的单调递减函数，且过。

0）,故只有D选项符合,故选：

D.

（2）已知函数y=log0（x+c）（〃,c为常数，其中=的图象如图，则下列结

论成立的是（

D.0<6/<150

A.a>0,c>1B.tz>l,01

【解析】由图象可知当x=0时，logjx+c）=lognc>0,得0

•四川高一期中）函数丫=1。

80@-3）+1（。

>0且。

工1）的图

像恒过定点P,则点P的坐标是（

【解析】V函数丁=1。

80*-3）+1,（。

>0且。

。

1）・・・・令工—3=1,解得了=4

当x=4,y=l,.・.函数），=1窕々。

-3）+1（。

>0且4工1）的图像恒过定点尸（4,1）.

故选:

A.

【变式训练】

（1）（2020.绵阳•三台中学实验学校高一期末）

函数/（X）=log?

「一”的图

【详解】•••/（x）=Iog2|2'—l

log2（l-2v）,x<0

log2（2'-l）,x>0

由复合函数的单调性可知，函数丁=/（工）的单调递减区间为（-8,0），单调递增区间为

（0,小），排除B、C选项.当x<0时，0<2'<1，则Ovl—2'vl,此时/（x）=log2（l-2v）<0,排除D选项,故选：

A.

（2）（2019.四川遂宁市.高一期末）

已知函数y=/m>0且4W1）是增函数，那么函数

【详解】由题意，函数y="（〃>0且。

工1）是增函数，可得

又由函数/（幻=1。

&」一满足一^>。

，解得x>l,排除c、。

项,

x-1X-1

又由函数/（x）=log。

—=Toga（xT），x-1

根据复合函数的单调性，可得函数/（x）为单调递减函数.故选：

B.

（3）（2019.四川成都市.成都外国语学校高一期中）函数），=1。

8<2工一5）-1恒过定点的

坐标为•

【解析】函数y=loga（2x-5）-l,当x=3时，y=logd（2x3-5）-l=-l,

所以定点坐标为（3,—1）,故答案为：

（3,—1）

重难点3对数函数定义域

例3.

（1）（2019.四川泸州市.高一期中）函数/'（x）=［o,,；的定义域为

【解析】由卜（“一4°得x>2jM3,x-2>0

所以函数〃］）=西上3y的定义域为{£x>2且用3}.

（2）（2。

2。

.四川绵阳市.高二期末（文））已知函数〃x）=/丽工，则函数“X）的定义域为.

x>0,、rr

【解析】（>0=北1，所以函数的定义域为［L+S）.故答案为：

［L+8）

（3）（2019•四川高一期末（文））已知函数/*）=怆（〃齐一"优一〃?

+3）的定义域为R,则实数〃？

的取值范围为.

【解析】函数/"）=1g（〃吠2-〃?

X—〃?

+3）的定义域为R等价于对于任意的实数x£R,

nix2-nix-m+3>0恒成立，当〃？

=0时成立

【变式训练】

（1）（2019.四川成都市•川大附中分校高一期中）函数），=41~+卜,（1；7

的定义域是.

x-l>0

【解析】要使函数有意义，需满足13-a>0,解得l«x<2或2Vx<3,，g（3r）工。

*

故答案为[1,2）=（2,3）

（2）（2020.四川眉山市.仁寿一中高一期中）函数）'=Jlog;（5x—4）的定义域是（

（3）202。

.四川成都市.成都七中高一期中）函数/（X）=Ex+J=的定义域为（）

A.[0,2]

B.（0,2]C.（0,+s）D.（2,竹）

x>0

【解析】由题意得，函数的定义域需满足〈

c八，解得：

0

2-x>0

所以函数的定义域是（0,2］,故选8

（4）函数/（x）=lg（/+2x+a）,若它的定义域为H，则《

【解析】函数/（x）=lg（/+2x+a）的定义域为R,则『+2工+〃>0恒成立,

故△=4—4。

<0,即a>1：

重难点4对数函数单调性例4.

（1）（2020.四川成都市.成都实外高一月考）已知函数/（X）=Jk）go,5（4x—3）,

该函数的单调递减区间是（）

【解析】要使函数/（力=/。

80.5（4工-3）有意义,

因为，=4x—3在［|上递增，〃=logos，在（。

+8）递减，y=在［。

+℃）递

增,

所以/（X）=Jlogg（4x_3）在（g/］上递减,故选：

C.

⑵（202。

.四川成都市.成都七中高一期中）若函数f3=logl（r、4;v+5）,则“幻的3

单调递增区间为（）

A.（2,5）B.（-1.2）c.（2,+co）D.（-00,2）

回抛物线，=-厂+4x+5的开口向下，对称轴x=2,

回/=_/+4工+5在区间（―1,2）上单调递增，在区间（2,5）上单调递减，

又回>'=i°gJ在定义域上单调递减，由复合函数的单调性可得：

3

/*）=叫:

（-/+4、+5）的单调递增区间为（2,5）.故选：

A.

（3）（2019.四川省泸州高级中学校高一月考）已知函数），=1。

8式1一，戊）在（1,2）上是增函

数，则。

的取值范围是（）

【详解】回y=log/l-〃x）在（1,2）上是增函数，回〃>0,回函数/=l—ar在（1,2）上是减

（4）（2020.四川成都市.树德中学高一月考）若函数/（司=1。

^卜2―a—3"）在区间

（-S,-2］上是减函数，则实数。

的取值范围是（）

A.（口,4）B.（<4]C.[<4）D.（V,-4）U[-2,2）

【解析】函数/'（切=1。

82卜2一女一34）在区间（一,—2］上是减函数,

则内函数u=V—ax—3a区间（一8,-2］上是减函数，且〃>0在区间（—s,-2］上恒

/、/（M）—/（占）八

【解析】因为函数/（“满足玉工9时恒有2一.一＞0成立,

不一&

【变式训练】

（1）（2020.四川攀枝花市.攀枝花七中高三月考（理））函数f（x）=ln

（——2x—3）的递增区间为（）

【解析】求得函数的定义域为（—s，-l）U（3,+s）,设内函数，=/一2工一3,

x£（-s,-1）u（3,+s）,外函数为y=lnf,外函数在（0,s）单调递增，内函数

在xe（3,2）单调递增，根据复合函数单调性〃同增异减〃，所以函数f（x）在区间xe（3,2）上单调递增，选C.

⑵（2019.四川绵阳市.三台中学实验学校高一月考）函数/（x）=log,M-3）在［1,3］上

单调递增，则〃的取值范围是（）

【解析】•//（x）=log.（av-3）在［1,3］上单调递增，而函数（）=内-3在［1,3］上单调递

增，复合函数的单调性得"1,且。

—3＞0,解得。

＞3,即。

£（3,+8）,故选:

D.

⑶（2020.四川成都市.成都外国语学校高一期中）函数丁=1。

8式/-6+2）在区间

（-8,1］上是减函数，则。

的取值范围是（）

A.（0,1）B.【2,-Ko）C.［2,3）D.（1,3）

【解析】若则/=』_康+2在区间（-8』上为增函数，不可能，舍去：

若

£＞1

则一仪+2在区间（口』上为减函数，且，＞0,.“2一

1一。

+2>0

即。

的取值范围是［2,3）.故选:

C.

（4）（2020.四川绵阳市.高一期末）已知。

＞0,且。

W1,若函数/（x）=loga（ox2-2x+l）

＜3上是增函数，则实数。

的取值范围为（

所以外层函数/x=log,/注定义域内是单调增函数,

上是增函数,

若函数/（x）=loga（a？

-2x+l）在仕

则内层函数，=⑪2—21+1在，,3上是增函数,

解得实数。

的取值范围为[3,+8）,故选：

B.

（5）（2019.四川省南充高级中学高一月考）已知函数/（"=

（2a-l）x+a,xN2

logo（x-l）,l

（1.+8）上的减函数，则实数〃的取值范围是（）

重难点5对数函数值域

例5.

（1）（2011.四川攀枝花市.高二月考（理））函数/'（衿=1°8，（3-2工一工2）的值域为

2

（）

A.[-2,+oo）B.[-b+oo）C.（0,+s）D.[-1,0）

【解析】由3-2工一％2>0得一3cxe1或x>l,

所以函数/*）=l°g|（3_2工.一/）的定义域为（—3,1）,

2

当工£（-3』），y=3-2x-AT=-（/+1）2+440,4]

又）'=%”在（0,+8）上单调递减，%in=log；4=-2,

所以函数/（©=l°gJ3-2工一/）在（_3,1）上的取值范围是卜2,七力）.故选a.

⑵（2019.四川成都市.树德中学高一月考）已知/（X）=lg（尔—2x+"）的值域为R,

则实数。

的取值范围为（）

A.1）U。

"）B.（1.“）C.[-1,1]D.[0,1]

【解析】因为/（x）=lg（ax2-2x+a）的值域为R,所以函数y=-2工+。

可以取到

a>0

任意的正实数，若c/=0,该式为2x,符合题意，若则《，，，，八

A=4-4（r>0

解得0<。

41,所以实数。

的取值范围是［0』］,故选：

D.

【变式训练】

（1）（2018.成都市.成都外国语学校高一月考）若函数

/。

）=10氏（。

/+6+1）的值域为/?

的函数，则。

的取值范围是（）

A.（4,+co）B.（-8,4）C.［4,+eo）D.（7,4］

【详解】设丫=2乂2+赤+1,根据题意（0,+8）［?

］｛y|y=ax2+ax+l｝；

a>0

回〈，）八：

解得a4：

目实数a的取值范围为［4,+8）.故选c.

△=〃.一4。

NO

（2）函数/（x）=】g（Y+2x+a）,若它的值域为R,则。

.

【解析】函数〃x）=lg（x2+2x+a）为R,则（0,+s）是函数y=Y+2x+a值域的子集，

则△=4一4。

20,即故答案为：

<1.

重难点6对数函数最值

例6.

（1）（2020.四川宜宾市.高一期末）若函数〃x）=log,x（。

>0,且。

工1）在区间

［2,4］上的最小值为2,则实数a的值为（）

A.4B.y/2C.2D.点或2

【解析】由题：

函数/（x）=log.x（。

>0,且。

工1）在区间［2,4］上的最小值为2,当”1时，〃工）=1殁产在［2,4］单调递增，所以最小值/

（2）=log〃2=2,解得a=y/2i当0<〃<1时，/（x）=log“x在［2,4］单调递减，

所以最小值〃4）=log“4=2,解得。

=2,不合题意，所以〃=应.故选：

B

（2）（2。

2。

.南昌市第三中学高一期中）已知0vx<3,求函数/'（幻=1。

81刀・1。

81：

的

224

最小值为.

【详解】

x

函数/W=logix,logi7=logi工log）x-log,4=log]Xlog,x+2,0

■\r\

令/=log]Xtlog13,",则力（f）=«/+2）=U+l『-l,/elog13,+oo,

2L27L2J

所以当1=—1即x=2时，函数/?

（1）的最小值为一1，即.f（x）的最小值为—1，答案为：

-1.

【变式训练】

（1）（2020.眉山市・仁寿一中高一期中）已知函数/"）=l°g1（2/-3x+8）.

2

求函数/（X）在4,2］上的值域;

4x2x8-3255

乙

【解析】/（X）的定义域为；,2.因为y=2/—3x+8的最小值为

最大值为2x22-3x2+8=10,故函数f（x）在；,2上的值域为

log,10,log,:

（2）（2019.四川遂宁市.高一期中）设函数/（x）=log2（4x）・log2（2x）,」Wx<4.

16

（1）若，=log2L求/取值范围；

（2）求/（X）的最值，并给出最值时对应的X的值.

解析：

（1）v

（2）由

（1）nJW/（^）=log2（4x）-log2（2x）=（2+log2x）（l+log2x）

（ai33二万

=r+3t+2=t+——,—不，可得log）x=-不，解得x=2?

=—■时，

I2；4224

川口=一；，当7=2即x=4时，〃x）a=12.

重难点7比较大小

431

例7T.图中曲线是对数函数>=10瓦］的图象，己知。

取而四个值，则相

JOX

应于G，g,g,G的。

值依次为（）

4D.-

3

10

【解析】由已知中曲线是对数函数y=logqX的图象，

由对数函数的图象和性质，可得G，c2,G，g的。

值从小到大依次为：

。

4，G，

J/N1

。

2，G，由。

取，—9—>7四个值，

A]

故。

1，C?

G，C』的。

值依次为、，二，7，故选：

A.

例72

（1）（2021.四川遂宁市•高一期末）已知3。

=*=12,c=lognb,则a*,c的大小

关系为（）

A.a

【解析】因为3"=4'=12,所以2=log39va=log312vlog327=3,

1=log44

c=logflb

B

（2）（2020.四川成都市•成都实外高一月考）已知C=log20.8,b=log3n,

C=log76,则a,byC的大小关系是（）

A.a

【详解】f/=log20.8

Z?

=log3^>log33=l,即/?

>1：

0=log71vlog76

所以avcv〃.故选：

C【变式训练】

（1）（2020.四川成都市.成都外国语学校高一期中）已知。

=log35,

”=log三2,c=5«2,则。

也c的大小关系为（）

3

A.a>c>bB.a>h>cC.c>b>aD.c>a>b

【解析】因为。

=1吗5>1%3=1,0=log“c>b,故选：

A

（2）（2020.四川成都市•成都七中高一期中）已知“=log3（）.3,b=301,c=0.1\贝1J

（）

A.a

【详解】由函数丁=1。

83%在（0，~）上单调递增，0.3<1,□«=log30.3

由函数y=3、在R上单调递增，0.1>0,0Z?

=3（,J>3°=1：

由指数函数丁=0.1、在H上单调递减，3>0,（D0

回“<0

C.

例7-3.（2021.四川省成都市玉林中学高一期末）己知奇函数/（X）在/?

上是减函数.若

tz=./（log24.6）,h=-flog,|,c=-f（-2*'9）,则a、b.c的大小关系为（）

A.a>b>cB.c>b>aC.b>a>cD.c>a>b

【解析】因为奇函数/（X）在R上是减函数.

若a=〃log24.6）,/?

=-/^10g21=f-log2^=/^log21^

c=~f（-2*'9）=/（2。

"），目log,4.6>log,|>2>2。

"，

gf（log24.6）

B.

【变式训练】

（1）（2018.四川成都市.双流中学（理））若定义在（口,y）上的偶函数/（X）在区间（7,0］上单调递减，设。

=/（1%7）,/7=71log,3j,c=/（2L6）,则a,4c的大小关系是（）

A.c

【解析】•••/（工）是定义在（-4+00）上的偶函数，/X

：

・b=flog（3=f（-log23）=/（log23）,

\2）

v12,216>log49>log47,

・偶函数/（x）在［0,一）上为减函数，，“X）在（y>,0］上是增函数，/X

所以/（log,？

）"logl3

（2）（蓉城名校联盟2020年高一期中联考）设/（X）是定义域为R的偶函数，且在（0,+8）单调递减，则（）

AN11J-i

A./（33）>/（3^）>/（log2-）B./（log2-）>/（34）>/（33）

143_3A1

C./dog2l）>/（33）>/（34）D./（3n>/（33）>/（log2l）

【解析】・・・/*）是定义域为区的偶函数，.・・/（咋23=/（-咋23）=/（1华23），

43

又）=3工是R上的增函数，，3万<3:

<1<咋23,因为f（x）在（0,+8）单调递减，

、-1

所以/（