第一章 勾股定理.docx

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第一章勾股定理

§1.1探索勾股定理（第一课时）

【学习目标】：

1、用数格子（或割、补、拼等）的办法体验勾股定理的探索过程并理解勾

股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系

2、会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用．

【学习方法】：

自主探究与合作交流相结合．

【学习过程】：

环节一：

读学与研学：

请同学们认真阅读书第2页的“情景问题”和“做一做”，完成下面问题：

①“情景问题”中的图形是_________三角形（填“直角、钝角、锐角”），

题目中已知了哪些边的长度？

求哪条边的长度？

在直角三角形中，任意两条边确定了，另外一条边也随之确定，那么三边之间一定存在着某种联系，接下来，我们一起来探究吧！

②观察书图1-2，将直角三角形放在方格中，分别以直角边和斜边为边长向外作正方形，则边长的平方=正方形的面积，请你根据图形求每个正方形的面积，填下表：

A的面积

B的面积

C的面积

左图

右图

通过观察，你发现了什么？

______________________

③观察书图1-3，并填下表：

A的面积

B的面积

C的面积

左图

右图

通过观察，你又发现了什么？

_____________________

想一想：

你是怎样计算正方形C的面积呢？

与同伴交流。

C

④对一般的直角三角形，是否存在一样的结论呢？

请你在下方用三角板画一个直角三角形，验证自己的猜测

是否成立：

环节二、学习新知：

由上述的探究，我们归纳出：

直角三角形两直角边的__________等于______________，这就是著名的勾股定理。

其中，我国古代，把直角三角形中较短的直角边称为_______，较长的直角边称为________，斜边称为____________。

（书第3页）

概念升华：

a、勾股定理的前提是____________三角形；

b、勾股定理揭示了直角三角形的___________关系。

勾股定理的符号表达：

请你尝试用新知解决书第2页的情境问题：

需要多长的钢索呢？

环节三、巩固新知：

基础训练：

1、在直角三角形中，根据

，可变为

在Rt△ABC中，∠C=90°，如果

（1）

（2）

（3）

2、完成书第3页的随堂练习。

3、如图，小张为测量校园内池塘A，B两点的距离，他在池塘边选定一点

C，使∠ABC＝90°，并测得AC长26m，BC长24m，则A，B两点间的距离

为　　　　m．

4、如图，阴影部分是一个半圆，则阴影部分的面积为　　　　　．（

不取

近似值）

5、如图，在

是斜边AB上的高，求CD的长。

§1.1探索勾股定理（第二课时）

【学习目标】:

1、通过拼图验证勾股定理并体会其中数形结合的思想；

2、应用勾股定理解决一些实际问题，体会勾股定理的应用价值

3、增强应用数学解决实际问题意识和能力，为后面的学习打下基础.

【学习方法】：

自主探究与合作交流相结合．

【学习过程】：

环节一：

复习设疑，激趣引入：

1、勾股定理的内容是什么？

2、上节课我们仅仅是通过测量和数格子，对具体的直角三角形探索发现了勾股定理，对一般的直角三角形，勾股定理是否成立呢？

这需要进一步验证，如何验证勾股定理呢？

事实上，现在已经有几百种勾股定理的验证方法，这节课我们也将去验证勾股定理.

环节二：

小组交流，合作探究：

如图1-1，先自主探究完成下面问题，并与同伴交流。

（1）

将所有三角形和正方形的面积用

的关系式表示出来：

；

；

;

你怎么计算Rt△BEF面积的？

请说明理由：

图1-1

同理，

（2）正方形ABCD的面积是多少？

你有哪些表示方式？

与同伴进行交流。

（3）你能利用图1-1验证勾股定理吗？

练一练：

请你根据上图验证勾股定理的方法，尝试由图1-2验证勾股定理：

图1-2

环节三、追溯历史激发情感：

活动内容：

由学生利用所搜集的与勾股定理相关的资料进行介绍.

环节四、勾股定理的应用：

例：

我方侦查员小王在距离东西向公路400m处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶，他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400m，10s后，汽车与他相距500m，你能帮小王计算敌方汽车的速度吗？

练习：

书第6页随堂练习。

环节五：

课后训练

1．某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2m，宽为1.5m，现需要在相对的顶点间用一块木棒加固，木板的长为.

2．直角三角形两直角边长分别为5cm，12cm，则斜边上的高为.

3．等腰三角形的腰长为13cm，底边长为10cm，则面积为（）．

A．30cm2B．130cm2C．120cm2D．60cm2

4．轮船从海中岛A出发，先向北航行9km，又往西航行9km，由于遇到冰山，只好又向南航行4km，再向西航行6km，再折向北航行2km，最后又向西航行9km，到达目的地B，求AB两地间的距离.

5．折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的F点处，若AB=8cm，BC=10cm，求EC的长.

§1.2一定是直角三角形吗？

【学习目标】：

1、学习勾股定理逆定理的具体内容及勾股数的概念；

2、能根据所给三角形三边的条件判断三角形是否是直角三角形。

【学习方法】：

自主探究与合作交流相结合．

【学习过程】：

环节一：

回顾旧知：

1、一个三角形只要确定了三边，就能确定三角形的形状，回顾怎样用尺规作一个三角形。

请你用尺规作一个三角形，使三边长分别为：

3cm、4cm、5cm：

判断你画的三角形的形状：

_______三角形

2、如果一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形吗？

接下来，让我们一起来探究吧！

环节二：

情景探究：

下面的每组数分别是一个三角形的三边长

，而且都满足

：

5,12,13；8,15,17；7,24,25.

分别以每组数为三边长画出三角形，它们都是直角三角形吗？

你是怎么想的？

与同伴交流。

画图如下：

你可以得出什么结论呢？

环节三：

学习新知：

勾股定理逆定理：

如果三角形的三边长

满足

，那么这个三角形是直角三角形。

满足

的三个正整数，称为勾股数。

至此，我们已经学习了两种判断三角形是否为直角三角形的方法：

第一种，由角度判断；

第二种，由三边的关系判断，即勾股逆定理。

环节四：

小试牛刀：

1、下列哪几组数据能作为直角三角形的三边长？

请说明理由。

①9，12，15；②15，36，39；③12，35，36；④12，18，22

2、一个零件的形状如图2所示，按规定这个零件中

都应是直角。

工人师傅量得这个零件各边尺寸如图3所示，这个零件符合要求吗？

图2图3

3、一块土地如图4，AD=12m，CD=9m，∠ADC=90°，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积。

§1.3勾股定理的应用

【学习目标】：

1、学会观察图形，勇于探索图形间的关系，将立体图形问题转化为平面图形

问题。

2、探索、发现事物中隐含的勾股定理及其逆及理，利用数学中的建模思想构造直角三角形，解决实际问题．

【学习过程】：

环节一：

情景探究：

1、情景一：

请认真阅读书第13页的“情景问题”，自己独立思考，动手做一做，完成书上的提问。

我们发现，圆柱体的侧面是曲面，我们没有办法在曲面上测量长度，因此，只有把立体图形展开成平面图形才能测量长度进行计算和比较。

根据情景回答问题：

①已知圆柱体底面圆的半径为r，则底面圆的周长表示为_________。

圆柱侧面展开图是一个_______形，它的长=圆柱体的_________，宽=圆柱体的________

②在平面上，两点间_________最短；

③以最短线路为边构造________三角形，可以利用勾股定理求出线段的______。

2、情景二：

如右图，在棱长为10厘米的正方体的一个顶点A处有一只蚂蚁，现要向顶点B处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是1厘米/秒，且速度保持不变，问蚂蚁能否在20秒内从A爬到B？

请你画出图形并计算比较，与同伴交流。

3、（难点）情景三：

如下图，有一个长方体盒子，长6cm，宽4cm，高3cm，一只蚂蚁要从长方体的顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和点A相对的顶点B处吃食，那么它需要爬行的最短路线是什么？

请你动手做一做，尝试画出图形，比较并求出最短的路程长的平方。

与同伴合作交流。

（提示：

可以借助类似长方体的实物探究）

归纳：

1、对长方体而言，从表面的一个顶点到它相对的顶点，求它的最短路线，应把长方体展开成平面图形，展开的情况有很多，归根结底，有3种：

“前-上”、“前-右”、“下-右”，

请同学们分别画出三种展开图。

2、如果长、宽、高分别表示为

，则点A到点B的路程可以表示成什么?

请分别表示三种展开图下的长度。

B

c

b

A

环节二：

典型例题：

例1、如图所示圆柱体玻璃容器，高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm点S处有一只蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm的点F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度。

例2、如图，长方体的底面是边长为1cm的正方形，高为3cm，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，请计算所用细线最短需要多少cm？

第一章勾股定理复习与思考

【全章知识】：

【专题讲解】：

专题一：

勾股定理及逆定理的基本应用：

（1）已知直角三角形的两边，求第三边；

（2）已知直角三角形的一边，求另两边的数量关系，（3）勾股定理逆定理主要用于证明两条直线垂直。

1、木工要做一个长方形桌面，若量得桌面长为60cm，宽为32cm，对角线为68cm，那么这个桌面_________________（填“合格”或“不合格”）

2、直角三角形三边长是连续偶数，则它的周长是______________。

3、在△ABC中，若AC=15，BC=13，AB边上的高CD=12，则△ABC的面积为____________

4、三角形的三边长

满足

，试判断这个三角形的形状。

5、如果△ABC的三边长分别为

，满足

，

判断△ABC的形状。

专题二:

数学思想方法在勾股定理中的应用：

（1）如果不能直接用勾股定理求出直角三角形的边，那么应引入未知数，建立方程求解，即方程思想；

（2）立体图形上两点的最短路程问题应转化为平面图形解决；非直角三角形的边长问题可作辅助线（如作垂线等）构造Rt△解决，即转化思想；

（3）注意割补法，整体思想的应用。

1、

如图，将长方形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在

处，

交

于E，AD=8,AB=4，求DE的长。

2、有一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为55dm，10dm和6dm，A和B是这

个台阶的两个相对端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去，请你想一想，蚂蚁从点A

出发，沿着台阶面爬到点B，最短路程是多少？

3、等腰三角形ABC的底边长为8cm，腰长为5cm，一动点P在底边上从B向C以0.25cm/s的速度移动，请你探究：

当P运动几秒时，P点与顶点A的连线PA与腰垂直。

4、如图，在四边形ABCD中，AB=AD=8，∠A=60°，∠ADC=150°，已知四边形ABCD的周长为32，求CD的长度。