求根公式专题.docx

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求根公式专题

求根公式专题

阅读与思考

一元二次方程是解数学问题的重要工具，在因式分解、代数式的化简与求值，应用题，各种代数方程，几何问题、二次函数等方面有广泛的应用.

初学一元二次方程，需要注意的是：

1、熟练求解

解一般形式的一元二次方程，因式分解法是基础，它体现了“降次求解”的基本设想，公式法具有一般性，是解一元二次方程的主要方法，对于各项系数较大的一元二次方程，可以先从分析方程的各项系数特征入手，通过探求方程的特殊根来求解，常用的两个结论是：

①若a+b+c=O，贝y方程ax?

+bx+c=0（ahO）必有一根为1.

②若a-b+c=0,贝y方程ax?

+bx+c=O（aK0）必有一根为-1.

2、善于变形

解有些与一元二次方程相关的问题时，直接求解常给解题带来诸多不便，若运用整体思想，构造零值多项式，降次变形等相关思想方法，则能使问题获得简解.

思想精髓

元二次方程的求根公式为观2「&±2：

"°这个公式形式优美，内涵丰富:

1公式展示了数学的抽象性，一般性与简洁美；

2公式包含了初中阶段所学过的全部六种代数运算；

3公式本身回答了解一元二次方程的全部的三个问题，方程有没有实数根？

有实根时共有几个？

如何求出实根？

例题与求解

例1阅读下列的例题

解方程：

X2—|x|—2=0

解：

①当x>0时，原方程化为X2-X-2=0，解得为=2,X2=—1（舍）

①当x<0时，原方程化为x2+x—2=0，解得xi=1（舍）,X2=—2

请参照例题解方程:

X?

—|x-3|—3=0,则方程的根是.

（晋江市中考试题）解题思路：

通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解.

例2方程|x2—1|=（4-2Q（x+2）的解的个数为（

C、3个

D、4个

（全国初中数学联赛试题）解题思路：

通过去绝对值，将绝对值方程转化为一元二次方程求解.

例3已知m,n是二次方程X2+1999X+7=0的两个根，求（m2+1998m+6）（n2+2000n+8）

的值.

（“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：

若求出m,n值或展开待求式，则计算繁难，由方程根的定义可得关于m,n的等

式，不妨从变形等式入手.

反思：

一元二次方程常见的变形方法有:

例4解关于x的方程：

（m-1）x2+（2m-1）x+m-3=0

解题思路：

因未指明关于x的方程的类型，故首先分m-1=0及m-1工0两种情况，当m-1工

0时，还考虑就b2-4ac的值的三种情况加以讨论.

例5已知三个不同的实数a，b，c满足a_b+c=3,方程x2+ax+1=0和x2+bx+c=0.

有一个相同的实根，方程x2+x+a=0和x2+cx+b=0也有一个相同的实根，求a，b，c的值.

解题思路：

这是一个一元二次方程有公共根的问题，可从求公共根入手

方法指导：

公共根问题是一元二次方程常见问题，解这类问题的基本方法是:

1若方程便于求出简单形式的根，则利用公共根相等求解.

2设出公共根，设而不求，消去二次项.

例6已知a是正整数，如果关于x的方程X3+（a+17）x2十（38—a）x-56=0的根都是整数,

求a的值及方程的整数根.

（全国初中数学联赛试题）解题思路：

本题有两种解法，由方程系数特点发现1为隐含的根，从而将试题进行降次处理，

或变更主元，将原方程整理为关于a的较低次数的方程.

能力训练

1、已知方程x2-6x+q=0可以配成（X-Pj=7的形式，那么x2-6x+q=2可以配成.

（杭州市中考试题）

（天津市中考试题）

3、设方程X2+1993x-1994=0,和（1994x）2-1993iggSx-1=0的较小的根分别为a,3,

（上海市竞赛试题）

4、方程lx?

+4x-5|=6-2x的解应是.

5、方程（X2+X-1）心=1的整数解的个数是.

C、4个

（山东省选拔赛试题）

C、

（德州市中考试题）

（江苏省竞赛试题）

8、方程X2—|x|-1=0的解是

（荆州市竞赛试题）

11、是否存在某个实数m,使得方程x2+mx+2=0和x2+2x+m=0有且只有一个公共根?

如果存在，求出这个实数m及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由

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12、已知关于X的方程（4-k）（8-k）x2-（80-12k）x+32=0的解都是整数，求整数k的值.

6、

方程XIx|-3|x|+2=0的实根的个数为（

C、3个

D、4个

42

（X—2）+（XT）T的值为（）（x-1）（x—2）

A、1996

B、1997

C、1998

D、1999

&已知三个关于x的一元二次方程

222

ax+bx+c=O,bx+cx+a=O,cx+ax+b=O恰有一个

2b22

公共实根，则—+—的值为（

bccaab

C、2

3

（全国初中数学联赛试题）

9、已知X=，求

432

X2-8x+15

x—6x—2x+18x+23的值

（“祖冲之杯”邀请赛试题）

10、设方程X2-|2x-1|r=0，求满足该方程的所有根之和

（重庆市竞赛试题）

11、首项系数不相等的两个二次方程

（a-1）x2-（a2+2）x+（a2+2a）=0

及（b-1）x2-（b2+2）x+（b2+2b）=0

②（其中a，b为正整数）

有一个公共根，求

b+/

a+b

a+b

的值.

（全国初中数学联赛试题）

的解，并把你的解答过程填写在下面的表格中.

12、小明用下面的方法求出方程2丘-3=0的解，请你仿照他的方法求出下面另外两个方程

方程

换元法得新方程

解新方程

检验

求原方程的解

2仮-3=0

令7X=t,

则2t-3=0

3t=—

2

3

t=—>0

2

厂3.9

寸X=—,x=—

24

X+24x-3=0

X+Jx-2-4=0

专题02从求根公式谈起

例2C提示：

当X2—1>0时，即x<—1或x>1时，原方程化为

X2—（4—273）x+7—価

—9=0，解得X1=4—3/3,X2=J3，均符合；当X2—1<0时,

即一1

化为

X2+（4—243）X+7—4J3=0,解得X3=73—2,满足题意.

1991

211

①当m=1时，解得X=2.②当m工1时，b2—4ac=12m—11.当m>—时，x12=

12

1—2m±｛伽-11；当m=H时，X=5；当m<—时，原方程无实根.

1212

2（m-1）

5为叙述方便，该题设中的四个方程依次为①、②、③、④，设方程①和方程②的公共根

fot2+aa+1=0C-1

a,则｛2'两式相减，得a=三丄•同理可得，方程③和方程④的公共根为

[ot+ba+c=0.a-b

a—b

.•••aP=1•注意到方程①的两根之积为1,则卩也是方程①的根，从而P2+前+1

c-1

=0•又tP2+P+a=0,两式相减，得（a—1）3=a—1•若a=1，则方程①无实根，这与

方程①有根有矛盾，•••a工1..•.卩=1,a=1•于是a=—2,b+c=—1•又ta—b+c=3,a

b=—3,c=2.

例6解法一：

•••1+（a+17）+（38—a）—56=0，二X=1为原方程的一个根，从而原方程

可化为（X—1）X2+（a+18X+56]=0•①tX为正整数，•方程X2+（a+18）x+56=0的判

别式A=（a+182—224必为完全平方数.设（a+18『—224=m2（m为非负整数），则3+18丫

—224=224，即（a+m+18）（a—m+18）=224=112x2=56X4=28X8.又ta+m+18与

a—m+18具有相同的奇偶性，且a+m+18>a—m+18,a+m+18>18,^m十18"112,

la—m+18=2

或『+m+18=56,或『+m+18=28,解得『=39,或『=12,或『=0,又玄为正整数，•.|a-m+18=4ia-m+18=8im=55[m=26[m=10.

fa=39fa=12

'或｛'.当a=39时，方程①的根为一1和一56;当a=12时，方程①的根为一2

Im=55Im=26

和一28.综上所述，当a=39时，原方程的三个根为1,—1和一56;当a=12时，原方程的三

个根为1，-2和—28•解法二：

原方程可化为（X2—X）a=56—38x—17x2—x3②，显然x工0.当x=1时，②式恒

23

2

x—x

成立.当X工1时，方程②可化为a=56-38X2—ex-X=—X—18—兰.Va为正整数，•

X

5656..

—x—18—上>0,•••X+18+艺V0.显然x<0,•••x2+18x+56>0,解得xv—J35—9或J35xx

—9

（-1）=（—28）X（—2）,若—56和—1为方程②的两个根，则—（a+18）=—56—1,即a=39;若—28和—2为方程②的两个根，则—（a+18）=—28—2,即a=12.综上所述，当

a=39时，原方程的三个根为1,—1

和一56;当a=12时，原方程的三个根为1,—2和一28.

10.m=19提示：

由已知得

2

1

a+一=—4.

a

11.假设存在符合条件的实数

m,且设这两个方程的公共实根为a,则

a+ma+2=0①，

2①一

a+2a+m=0②，

②得（m—2）（a-1）=0,

•••m=2或a=1.当m=2时，已知两个方程为同一个方程，且没

有实数根，故m=2舍去；当a=1时，代入①得m=—3,可求得公共根为x=1.

12.当k=4或k=8，分别求得x=1或x=—2.当k工4且k工8时，原方程可化为

U-kX-8】如—kk—4=0,.・.为=89,x2=4.Vk为整数，且x1,x2均为整数，

4-k8-k

•••4—k=±1,±2,±4,±8且8—k=±1,±2,±4,.・.k=6,12.故k=4,6,8,12时,

原方程的根为整数.

1.42.—1

3.—3提示：

代入根得（7+2a+b）+（—4—a）J3=0.

4.C提示：

由题给方程x—3=2x].又xX,则x—3W2x,.x—2x—3w0,则一1W

xw3，二x］只可能取值为—1,0,1,2,3.分别代入原方程解得x=—1,47,3，故原方程

共有三个解.

5.D6.C7.D8.D

9.5提示：

由x=4—>；3，得X—8x+13=0.

12

10.当2x—1>0即x>—时，原方程化为X2—2x—3=0,解得X1=3,X?

=—1（舍去）；当2x

2

111

—1=0即x=—时，X2—4=——4工0，舍去；当2x—1<0即X<—时，原方程化为X2+2x—

242

L1

5=0,解得x1=—1—V6,X2=—1+76>-（舍去），故所有根之和为3+

2

（-1-J6）=

2—（6.

11.由条件知

a+2

a>1,b>1,a工b,解得①的两个根为a,——，②的两个根为

a—1

b,出.•••ab-1

工b，…a=

b+2a+2

——③或b=④，由③④均得ab—a—b—2=0,即（a—1）

b-1a-1

（b—1）=3.因

为a,b均为正整数，则有P—仁1,或P—仁3,解得F=2,或］a=4,代入所求值得表达式化lb-1=3b-1=1ib=4ib=2

简得涔=abba=256.

12.

x+2Jx—3=0

则t2+2t—3=0

t2=—3<0（舍）

Jx=1,•••x=1

令JX-2=t,

t1=1,t2=—2

t1=1>0,

则t2+t—2=0

t2=—2<0（舍）

x—2=1,x=3