普通高等学校招生全国统一考试课标全国卷2.docx
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普通高等学校招生全国统一考试课标全国卷2
普通高等学校招生全国统一考试
全国卷（新课标Ⅱ 理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合M＝{x|（x－1）2<4，x∈R}，N＝{－1，0，1，2，3}，则M∩N＝（ ）
A．{0，1，2} B．{－1，0，1，2}
C．{－1，0，2，3}D．{0，1，2，3}
2．设复数z满足（1－i）z＝2i，则z＝（ ）
A．－1＋iB．－1－i
C．1＋iD.1－i
3．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝（ ）
A.
B．－
C.
D．－
4．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则
（ ）
A．α∥β且l∥α
B．α⊥β且l⊥β
C．α与β相交，且交线垂直于l
D．α与β相交，且交线平行于l
5．已知（1＋ax）（1＋x）5的展开式中x2的系数为5，则a＝（ ）
A．－4B．－3
C．－2D．－1
6．执行右面的程序
第6题图
框图，如果输入的N＝10，那么输出的S＝（ ）
A．1＋
＋
＋…＋
B．1＋
＋
＋…＋
C．1＋
＋
＋…＋
D．1＋
＋
＋…＋
7．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，
1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为（ ）
8．设ɑ＝log36，b＝log510，c＝log714，则（ ）
A．c＞b＞aB．b＞c＞a
C．a＞c＞bD．a＞b＞c
9．已知a＞0，x，y满足约束条件
，若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝（ ）
A.
B.
C．1D．2
10．已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是（ ）
A．∃x0∈R，f（x0）＝0
B．函数y＝f（x）的图象是中心对称图形
C．若x0是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（－∞，x0）单调递减
D．若x0是f（x）的极值点，则f′（x0）＝0
11．设抛物线C：
y2＝2px（p>0）的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过
点（0，2），则C的方程为（ ）
A．y2＝4x或y2＝8xB．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16xD．y2＝2x或y2＝16x
12．已知点A（－1，0），B（1，0），C（0，1），直线y＝ax＋b（a>0）将△ABC分割为面积相等的
两部分，则b的取值范围是（ ）
A．（0，1）B.
C.
D.
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）
13．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则
·
＝________．
14．从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率
为
，则n＝________．
15．设θ为第二象限角，若tan
＝
，则sinθ＋cosθ＝________．
16．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10＝0，S15＝25，则nSn的最小值为________．
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcosC＋csinB.
（1）求B；
（2）若b＝2，求△ABC面积的最大值．
18．（本小题满分12分）如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，
AA1＝AC＝CB＝
AB.
（1）证明：
BC1//平面A1CD.
（2）求二面角D－A1C－E的正弦值．
19．（本小题满分12分）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出
1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品．以X（单位：
t，100≤X≤150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：
元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．
（1）将T表示为X的函数；
（2）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率；
（3）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：
若需求量X∈[100，110），则取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100，110）的频率）．求T的数学期望．
20．（本小题满分12分）平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：
＋
＝1（a>b>0）右焦点的直线
x＋y－
＝0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为
.
（1）求M的方程；
（2）C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．
21．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝ex－ln（x＋m）．
（1）设x＝0是f（x）的极值点，求m，并讨论f（x）的单调性；
（2）当m≤2时，证明f（x）>0.
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分，作答时请写清题号。
22．（本小题满分10分）选修4－1：
几何证明选讲
如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E、F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AE＝DC·AF，B，E，F，C四点共圆．
（1）证明：
CA是△ABC外接圆的直径；
（2）若DB＝BE＝EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．
23．（本小题满分10分）选修4－4；坐标系与参数方程
已知动点P、Q都在曲线C：
（t为参数）上，对应参数分别为t＝α与t＝2α（0＜α＜2π），M为PQ的中点．
（1）求M的轨迹的参数方程；
（2）将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．
24．（本小题满分10分）选修4－5；不等式选讲
设a、b、c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：
（1）ab＋bc＋ac≤
；
（2）
＋
＋
≥1.
参考答案
全国卷（新课标Ⅱ 理科）
1．解析：
先求出集合M，然后运用集合的运算求解．
集合M＝{x|－1答案：
A
2．解析：
先设出复数z＝a＋bi，然后运用复数相等的充要条件求出a，b的值．
设z＝a＋bi，则（1－i）（a＋bi）＝2i，即（a＋b）＋（b－a）i＝2i.
根据复数相等的充要条件得
解得
∴z＝－1＋i.故选A.
答案：
A
3．解析：
先设出公比q，然后根据已知条件列出方程组，求出a1.
设公比为q，∵S3＝a2＋10a1，a5＝9，
∴
∴
解得a1＝
，故选C.
答案：
C
4．解析：
结合给出的已知条件，画出符合条件的图形，然后判断得出．
根据所给的已知条件作图，如图所示．
由图可知α与β相交，且交线平行于l，故选D.
答案：
D.
5．解析：
先求出（1＋x）5含有x与x2的项的系数，从而得到展开式中x2的系数．
（1＋x）5中含有x与x2的项为T2＝C
x＝5x，T3＝C
x2＝10x2，∴x2的系数为10＋5a＝5，∴a＝－1，故选D.
答案：
D
6．解析：
根据程序框图所给的已知条件逐步求解，直到得出满足条件的结果．
当输入N＝10时，由于k＝1，S＝0，T＝1，因此T＝
＝1，S＝1，k＝2，此时不满足k>10；
当k＝2时，T＝
＝
，S＝1＋
，k＝3，此时不满足k>10；
当k＝3时，T＝
＝
，S＝1＋
＋
，k＝4，此时不满足k>10；
当k＝4时，T＝
＝
，S＝1＋
＋
＋
，k＝5，此时不满足k>10；
……
当k＝10时，T＝
＝
，S＝1＋
＋
＋
＋…＋
，k＝11，此时满足k>10.
因此输出S＝1＋
＋
＋
＋…＋
，故选B.
答案：
B
7．解析：
结合已知条件画出图形，然后按照要求作出正视图．
根据已知条件作出图形：
四面体C1－A1DB，标出各个点的坐标如图
（1）所示，
可以看出正视图是正方形，如图
（2）所示．故选A.
答案：
A
8．解析：
结合对数的运算性质进行整理，利用对数函数的性质求解．
a＝log36＝log33＋log32＝1＋log32，
b＝log510＝log55＋log52＝1＋log52，
c＝log714＝log77＋log72＝1＋log72，
∵log32>log52>log72，∴a>b>c，故选D.
答案：
D
9．解析：
本题可先画出可行域，然后根据图形确定出最小值点进行解答．
作出不等式组表示的可行域，如图（阴影部分）．
易知直线z＝2x＋y过交点A时，z取最小值．
由
得
∴zmin＝2－2a＝1，
解得a＝
，故选B.
答案：
B
10．解析：
结合函数与导数的基础知识进行逐个推导．
A项，因为函数f（x）的值域为R，所以一定存在x0∈R，使f（x0）＝0.A正确．B项，假设函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c的对称中心为（m，n），按向量a＝（－m，－n）将函数的图象平移，则所得函数y＝f（x＋m）－n是奇函数．所以f（x＋m）＋f（－x＋m）－2n＝0，化简得（3m＋a）x2＋m3＋am2＋bm＋c－n＝0.上式对x∈R恒成立，故3m＋a＝0，得m＝－
，n＝m3＋am2＋bm＋c＝f
，所以函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c的对称中心为
，故y＝f（x）的图象是中心对称图形．B正确．C项，由于f′（x）＝3x2＋2ax＋b是二次函数，f（x）有极小值点x0，必定有一个极大值点x1，若x1答案：
C
11．解析：
本题结合拋物线的定义以及圆的基础知识进行求解．
设M（x0，y0），A（0，2），MF的中点为N.
由y2＝2px，F
∴N点的坐标为
.
由拋物线的定义知，x0＋
＝5，
∴x0＝5－
.∴y0＝
.
∵|AN|＝
＝
，∴|AN|2＝
.
∴
＋
＝
.
即
＋
＝
.
∴
－2＝0.整理得p2－10p＋16＝0.
解得p＝2或p＝8.∴拋物线方程为y2＝4x或y2＝16x.
答案：
C
12．解析：
根据题意画出图形，根据面积相等得出a，b的关系式，然后求出b的取值范围．
由题意画出图形，如图
（1）．
由图可知，直线BC的方程为x＋y＝1.
由
解得M
.
可求N（0，b），D
.
∵直线y＝ax＋b将△ABC分割为面积相等的两部分，
∴S△BDM＝
S△ABC.
又S△BOC＝
S△ABC，∴S△CMN＝S△ODN，
即
×
×b＝
（1－b）×
.
整理得
＝
.
∴
＝
，∴
－1＝
，∴
＝
＋1，
即b＝
，可以看出，当a增大时，b也增大．
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