《如何求二面角 综合法求二面角》.docx

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《如何求二面角综合法求二面角》

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综合法求二面角

一、基本知识

1.二面角图形的识别与思考途径：

①找二面角的棱；②找二面角的两个半平面；③观察是否有直线⊥半平面；④观察是否有平面⊥半平面；⑤观察是否有直线⊥棱.2.立体几何中，几种常用的平面图形的计算：

①4：

2：

1矩形中的垂直；②rtΔ中，斜边上的高的计算；③rtΔ中，直角边上一点向斜边引垂线，垂线段的计算.

3.若∠poa＝∠pob，则po在α内的射影是∠aob的平分线；

二、求直线与平面所成的角、求二面角的三种基本模式：

1.模式一：

夹在二面角内的一条直线垂直于其中的一个半平面.

题1（09、湖北、理）如图，四棱锥s－abcd的底面是正方形，sd⊥平面abcd，sd＝2a，ad＝√2a，点e是sd上一点，且de＝λa（0＜λ≤2）.

（1）求证：

对任意的λ∈（0，2]，都有ac⊥be；

（2）设二面角c－ae－d的大小为θ，直线be与平面abcd所成的角为Φ.若tanθ·tanΦ＝1，求λ的值.

解：

（1）ac⊥bd，ac⊥sd，所以ac⊥平面sbd，又be在平面sbd内，∴ac⊥be（图1）；【二面角的识图：

①找二面角的棱；②找二面角的两个半平面；③找图形特征（二面角的三种模式特征）】

【斜线与平面所成的角的识图：

①找斜线；②找垂线；③找射影】

（2）图2：

【夹在二面角c－ae－d的直线cd⊥半平面ade】

作dh⊥ae于h，由三垂线定理知：

ch⊥ae，所以∠chd＝θ，在rtΔade中，dh＝

de·daae

λa2aλa+2a

2·λa

，tanθ＝cd：

dh＝2a：

2·λa

λa

2a

又∠ebd＝Φ，则tanΦ＝de：

bd＝＝

.由tanθ·tan

Φ＝1，有

解得：

λ＝√2.

评注：

①本题把“平面的斜线与平面所成的角”、“二面

角”融合为一道题，结合08、湖北考题，可以估测湖北考

题方向及武汉市2、4月模拟考题方向；②解答这类问题，首先要认识图形，掌握“平面的斜线与平面所成的角”、“二面角”的识图方法；③本题的图形模式是最简单的，“平面的斜线与平面所成的角”中，有一条直线⊥平面；④“二面角”的图形中，夹在二面角内的一条直线垂直于其中的一个半平面.

2.模式二：

夹在二面角内的一条直线垂直于棱.

题2（08、全国Ⅰ）四棱锥a－bcde中，底面bcde为矩形，侧面abc⊥底面bcde，bc＝2，cd＝√2，ab＝ac.

（1）求证：

ad⊥ce；

（2）设侧面abc为等边三角形，求二面角c－ad－e的大小.

（1）证明：

作ah⊥bc于h，

则ah⊥底面bcde.所以：

dh是ad在底面bcde上的射影.易证：

ce⊥dh，由三垂线定理：

ad⊥ce.

（2）【①所求二面角c－ad－e的棱是ad；②两个半平面分别是cad、ead；③图形特征是：

夹在二面角c－ad－e内的一条直线ce⊥棱ad】

解作cf⊥ad于f，∵ad⊥ce，∴ad⊥面efc.所以：

ef⊥ad，cf⊥ad，∴∠efc是二面角c－ad－e的平面角【找、作、证→算】

①ah＝dh＝√3，得ad＝√6，得ae＝√6；②由此△acd为rt△，∴cf·ad＝ac·dc；③sade＝

de·a2＝ad·ef.从而求出ef、cf.

④在△efc中，用余弦定理，求∠efc.

评注：

①夹在二面角e－ad－c内的一条直线ce垂直于棱，是作二面角的平面角的依托；②空间图形的分解，是基本功；

3.模式三：

夹在二面角内的一个平面⊥其中的一个半平面.题3（08、湖南、理17）：

四棱锥p－abcd的底面是边长为1的菱形，∠bcd＝600，e是cd的中点，pa⊥底面abcd，pa＝2.（1

求证：

平面pbe⊥平面pab；

（2）求平面pad和平面pbe所成锐二面角的大小.

（1）证明：

【证明α经过β的一条垂线】

be⊥cd，cd∥ab，所以：

be⊥ab.又be⊥pa，所以：

be⊥面pab.又be在平面pbe内，∴平面pbe⊥平面pab；

（2）解【无棱二面角pad－pbe】

设be与ad交于f，

由

（1）知：

面pab⊥二面角a－pf－b的一个半平面pbf.

作ag⊥pb于g，则pf⊥ag.

作gh⊥pf于h，则pf⊥面ahg.∴∠ahg是二面角a－pf－b的平面角.在rt△agh中，ah＝2，ag＝

，所

以sin∠ahg＝ag：

ah＝.

评注：

①无棱二面角的棱的作法，有两条依据；②凭借“夹在二面角a－pf－b内的一个平面pab⊥其中的一个半平面pbf”，作出二面角的平面角；③如果在图形中，出现“三条直线两两垂直”，可考虑向量法.

高考试题巩固练习

1.（08、陕西、文19）：

三棱锥被平行于底面abc的平面截得的几何体如图所示，截面为a1b1c1，∠bac＝900，a1a⊥平面abc，a1a＝√3，ab＝ac＝2a1c1＝2，d为bc的中点.（1

）求

证：

平面a1ad⊥平面bcc1b1；

（1）证明：

bc⊥ad，bc⊥a1a，所以：

bc⊥面a1ad.又∵bc在平面bcc1b1内，所以：

平面a1ad⊥平面bcc1b1；

（2）求二面角a－cc1－b的大小。

【①找二面角a－cc1－b的棱；②找半平面；③找图形特点】

【存在一个半平面abc与二面角的半平面a－cc1－a1垂直】

解。

过a作ae⊥cc1于e，连be。

∵ba⊥面cc1a1a，cc1在平面cc1a1a內，∴ba⊥c1c。

又cc1⊥ae，∴cc1⊥be⇒∠aeb是二面角a－cc1－b的平面角。

在rtΔabe中，tan∠

aeb=

abae

所以：

二面角a－cc1－b的平面角为

2.（09、全国2）如图，直三棱柱abc－a1b1c1中，ab⊥ac，de分别为aa1、b1c的中点，de⊥平面bcc1.

（1）求证：

ab＝ac；

（2）设二面角a－bd－c为60°，求b1c与平面bcd所成的角的大小.

解：

（1）连结be，∵abc－a1b1c1为直三棱柱，∴∠b1bc＝90.∵e为b1c的中点，∴be＝ce（矩形的对角线相等）.

又de⊥平面bcc1，∴bd＝cd（射影相等的两条斜线段相等）.而da⊥平面abc，

∴ab＝ac（相等的斜线段的射影相等）.

（2）求b1c与平面bcd所成的线面角，只需求点b1到面bcd的距离即可.

作ag⊥bd于g，连gc，则gc⊥bd，∠agc为二面角a－bd－c的平面角.∠agc＝600.不妨设ac＝23，则ag＝2，gc＝4.在rt△abd中，由ad·ab＝bd·ag，易得ad＝√6.

设点b1到面bdc的距离为h，b1c与平面bcd所成的角为α.由vd-b1bc=vb1-bdc，∴

s∆b1bc·de＝s∆bdc·h，可求得

h

=bc＝2√6，∴b1c＝4√3.

所以：

sinα＝h：

b1c

3.（09、重庆）如图，在四棱锥s-abcd中，ad∥bc且ad⊥cd；平面csd⊥平面abcd，cs⊥ds，cs=2ad=2；e为bs

的中点，

ce=

as=

（1）点a到平面bcs的距离；

解：

（1）【a点到平面bcs的距离=d点到平面bcs的距离=ds】

在rt∆

ads中，ds=

=∴点a到平面bcs的距离

。

【

（2）二面角e-cd-a的大小】

（2）过e作eg⊥cd，交cd于点g，又过g点作gh⊥cd，交ab于h，故∠

为

二面角e-cd-a的平面角，记为θ，过e点作ef//bc，交cs于点f，连结gf，因平面

abcd⊥平面csd，gh⊥cd，易知gh⊥gf，故θ=-∠egf.

由于e为bs边中点⇒f为cs的中点⇒ef=1。

cd=

effg

⇒gf=

在rt∆

feg中，tanegf=的大小为θ=

=可得∠egf=，故所求二面角

4（09、湖北、文）四棱锥p－abc的底面是正方形，pd⊥底面abcd，点e在棱pb上.

（1）求证：

平面aec⊥平面pdb；

（2）当pd＝√2ab，且e为pb的中点时，求ae与平面pdb所成的角的大小.解：

（1）∵四边形abcd是正方形，∴ac⊥bd，∵pd⊥底面abcd，∴pd⊥ac，∴ac⊥平面pdb，∴平面aec⊥平面pdb；

（2）设ac∩bd=o，连接oe，由（Ⅰ）知ac⊥平面pdb于o，∴∠aeo为ae与平面pdb所的角。

∵o，e分别为db、pb的中点，∴oe//pd，oe＝

pd。

1又∵pd⊥面abcd，∴oe⊥底面abcd，oe⊥ao，在rt△aoe中，oe＝pd＝

2ab

＝ao，∴∠aoe＝450

即ae与平面pdb所成的角的大小为450

5.（09、安徽）如图，四棱锥f－abcd的底面abcd是菱形，其对角线ac=2，

bd=

，ae、cf都与平面abcd垂直，ae=1，cf=2。

（1）求二面角b－af－d的大小；解：

（i）连接ac、bd交于菱形的中心o，过o作og⊥af，g为垂足.连接bg、dg.由bd⊥ac，bd⊥cf得bd⊥平面acf，故bd⊥af.

于是af⊥平面bgd，所以bg⊥af，dg⊥af，∠bgd为二面角b－af－d的平面角.由fc⊥ac，fc=ac=2，得∠fac=

，og=

由ob⊥og，ob=od=

，得∠bgd=2∠bgo=

【

（2）求四棱锥e－abcd与四棱锥f－abcd公共部分的体积.】

解：

连eb、ec、ed，设直线af与直线ce相交于点h，则四棱锥e-abcd与四棱锥f-abcd的公共部分为四棱锥h－abcd.过h作hp⊥平面abcd，p为垂足.因为ea⊥平面abcd，fc⊥平面abcd，，所以平面acfe⊥平面abcd，从而p∈ac，hp⊥ac.由

hpcf==apac

hpaehpcf

pcachp

，两式相加：

=apac

+pcac

ae23

得hp=.

ac⋅bd=

又因为s菱形abcd=

故四棱锥h-abcd

的体积v=

s菱形abcd⋅hp=

6.在直四棱柱abcd-a1b1c1d1中，底面abcd为等腰梯形，ab//cd，ab=4，bc=cd=2，aa1=2，e、e1、f分别是棱ad、aa1、ab的中点。

（1）证明：

直线ee1//平面fcc1；

解：

（1）在直四棱柱abcd-a1b1c1d1中，取a1b1的中点f1，连接a1d，c1f1，cf1，因为ab=4，cd=2，且ab//cd，//

所以cd=a1f1，a1f1cd为平行四边形，所以cf1//a1d，

又因为e、e1分别是棱ad、aa1的中点，所以ee1//a1d，所以cf1//ee1，又因为ee1⊄平面fcc1，cf1⊂平面fcc1，所以直线ee1//平面fcc1.【

（2）求二面角b-fc1-c的余弦值】

（2）因为ab=4，bc=cd=2，f是棱ab的中点，所以bf=bc=cf，△bcf为正三角形。

取cf的中点o，则ob⊥cf，又因为直四棱柱abcd-a1b1c1d1中，cc1⊥平面abcd，所以cc1⊥bo，所以ob⊥平面cc1f，过o在平面cc1f内作op⊥c1f，垂足为p，连接bp，则∠opb为二面角b-fc1-c的一个平面角，在△bcf为正三角形中

，ob=

opcc1

ofc1f

在rt△cc1f中，△opf∽△cc1f，∵

∴op=

在rt△opf中

，bp==

，cos∠opb=

opbp

=，所以

二面角b-fc1-c

内容仅供参考