第5讲教师角平分线北师大版.docx

第5讲教师角平分线北师大版.docx

《第5讲教师角平分线北师大版.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第5讲教师角平分线北师大版.docx（15页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

第5讲教师角平分线北师大版

第5讲角平分线

学习目标:

能够证明角平分线的性质定理、判定定理。

能够利用尺规作已知角的平分线。

能够运用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题。

重点：

角平分线的性质定理、判定定理。

难点：

利用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题。

学习过程

知识精讲

．知识点

角的平分线：

一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

1、点到直线的距离：

这点向直线引垂线，这点到垂足间线段的长叫做这点到直线的距离。

2.角平分线的性质及判定

（1）角平分线的性质：

文字表达：

角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

几何表达：

∵OP平分∠MON（∠1＝∠2），PA⊥OM，PB⊥ON，（已知）

∴PA＝PB．（角平分线的性质）

思考：

这一性质定理的根据是什么？

（2）角平分线的判定：

文字表达：

到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．

几何表达：

∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB（已知）

∴∠1＝∠2（OP平分∠MON）（角平分线的判定）

思考：

这一判定定理的根据是什么？

3、三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

4、点P是△ABC的三条角平分线的交点，且PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，PD⊥AB于D，则有。

二、典型例题

例1.如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，DA平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，AB=10求△BDE的周长

例2、如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，DE平分∠ADC．求证：

AE是∠DAB的平分线．

过点E作EH⊥AB于点H，反向延长EH交DC的延长线于点G，过点E作EF⊥AD于点F，

∵AB∥CD，EH⊥AB，

∴EG⊥DC，

∵点E是BC的中点，

∴CE=BE，

在△CGE与△BHE中，

∠GCE＝∠B

CE＝EB

∠CEG＝∠BEH

∴△CGE≌△BHE，

∴GE=EH，

∵DE平分∠ADC，

∴GE=EF，

∴GE=EH，

∴EF=EH，

∴AE是∠DAB的平分线．

例3、如图所示，已知△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，那么AP能否平分∠BAC？

请说明理由．由此题你能得到一个什么结论？

思考：

画一个任意三角形并作一个内角、一个外角的平分线相交；两个外角的平分线相交，观察交点到这个三角形三条边所在直线的距离的关系．

例4、如图4，在△ABC中，∠ABC=100°，∠ACB=20°，CE平分∠ACB，D是AC上一点，若∠CBD=20°，求∠ADE的度数.

图4

分析：

由于CE平分∠ACB，可过点E作∠ACB的两边的垂线，通过证明DE是∠ADB的平分线解决问题.

解：

作EN⊥CA，EM⊥BD，EP⊥CB，垂足分别是N、M、P.

因为∠ABD=∠ABC-∠CBD=100°-20°=80°，∠PBA=180°-100°=80°，

所以∠PBA=∠ABD，

因为EM⊥BD于M，EP⊥CB于P，所以EP=EM，

又CE平分∠ACB，EN⊥CA，EP⊥CB，所以EN=EP，

所以EN=EM，

所以ED平分∠ADB，

所以∠ADE=

∠ADB=

×40°=20°.

需要添加辅助线构造全等三角形的题目,较为常用的构造法有:

（1）作平行线.

（2）作垂线.

（3）延长特殊线段构造相等线段.

（4）连接图形中的特殊点.

（5）求作特殊图形的对角线.

二探究

1、如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于O，且∠1=∠2。

求证：

OB=OC。

2、如图，AB=AC，DE为△ABC的AB边的垂直平分线，D为垂足，DE交BC于E。

求证：

BE+EC=AB。

∵DE是AB的垂直平分线，

∴AE＝BE

∵AE＋EC＝AC

∴BE＋EC＝AC

又∵AB=AC

∴BE+EC=AB

3、如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E。

（1）已知CD=1cm，求AC的长；

（2）求证：

AB=AC+CD。

（1）解：

∵∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，

∴DE=CD=1，

∵AC=BC，∠C=90°，

∴∠B=45°，

∴△BDE是等腰直角三角形，

∴BD=

DE=

，

∴AC=BC=CD+BD=

+1

（2）证明：

在△ACD和△AED中，

AD＝AD

DE＝CD

∴△ACD≌△AED（HL），

∴AC=AE，

∵△BDE是等腰直角三角形，

∴BE=DE=CD，

∵AB=AE+BE，

∴AB=AC+CD．

4、用尺规作图法作下列各个角的平分线。

5、如图，求作一点P，使PC=PD，并且点P到∠AOB两边的距离相等。

6、

（1）利用角平分线的性质，找到△ABC内部距三边距离相等的点。

（2）在右图△ABC所在平面中，找到距三边所在直线距离相等的点。

三提升

1、如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于O，且OB=OC。

求证：

∠1=∠2。

2、如右图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若BD=CD。

求证：

AD平分∠BAC。

证明：

∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F， 

∴∠BFD=∠DEC=90°，

在△BDF和△CDE中，

∴△BDF≌△CDE（AAS）， 

∴DE=DF，

又∵BE⊥AC，CF⊥AB，

∴AD平分∠BAC。

3、填空：

（1）如图1，点P为△ABC三条角平分线交点，PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，则PD__________PE__________PF.

（2）如图2，P是∠AOB平分线上任意一点，且PD=2cm，若使PE=2cm，则PE与OB的关系是__________.

（3）如图3，CD为Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线分别交CD、CB于点E、F，FG⊥AB，垂足为G，则CF__________FG，∠1+∠3=__________度，∠2+∠4=__________度，∠3__________∠4，CE__________CF.

图1图2图3

4、已知：

如图在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若BC=32，且BD∶CD=9∶7，求：

D到AB边的距离.

过点D作DE⊥AB，则DE是点D到AB的距离

∵BD：

CD=9：

7，

∴CD=BC×7/16=32×7/16=14，

∵AD平分∠CAB，

∴DE=CD=14．

分析：

画图分析（如下图），由题意可得：

由角平分线性质可得：

.故点

到

边的距离为14.故填14.

练习

1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是角平分线，若BC＝10，BD∶CD＝3∶2，则点D到AB的距离是（  ）

A.4   B.6     C.8   D.10

2.到三角形三边距离相等的点是（  ）

A.三条高的交点  B.三条中线的交

C.三条角平分线的交点  D.不能确定

3.如图所示，三条公路两两相交，交点分别为A、B、C，现计划修一个油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地址有（  ）

A.一处  B.二处 C.三处   D.四处

∵△ABC内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，

∴△ABC内角平分线的交点满足条件；

如图：

点P是△ABC两条外角平分线的交点，

过点P作PE⊥AB，PD⊥BC，PF⊥AC，

∴PE=PF，PF=PD，

∴PE=PF=PD，

∴点P到△ABC的三边的距离相等，

∴△ABC两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个；

综上，到三条公路的距离相等的点有4个．

∴可供选择的地址有4个．

故选D．

4.如图，AB∥CD，点P到AB,BC,CD距离都相等，则∠P=

∵点P到AB、BC、CD距离都相等，

∴BP、CP分别是∠ABC和∠BCD的平分线，

∴∠CBP=

∠ABC，∠BCP=

∠BCD，

∴∠CBP+∠BCP=

（∠ABC+∠BCD），

∵AB∥CD，

∴∠ABC+∠BCD=180°，

∴∠CBP+∠BCP=

×180°=90°，

∴∠P=180°-（∠CBP+∠BCP）=180°-90°=90°．

故答案为：

90°．

5、如图，已知AB∥CD，0为∠CAB、∠ACD的平分线的交点．OE⊥AC，且OE=2，则两平行线AB、CD间的距离等于

过O做MN⊥CD交AB于M,交CD于N

∵AB∥CD

∴MN⊥AB

即OM⊥AB,ON⊥CD

∵OA平分∠BAC

OE⊥AC,OM⊥AB

∴OM=OE=2

∵OC平分∠ACD

OE⊥AC,ON⊥CD

∴OE=ON

∴MN=OM+ON=4

作业

1、填空

（1）、如图，若点P在∠AOB的角平分线上，PE⊥OA，PD⊥OB。

则有。

（2）、如图，若PE⊥OA，PD⊥OB，且PD=PE，则点P在上。

2、如图，E是线段AC上的一点，AB⊥EB于B，AD⊥ED于D，且∠1=∠2，CB=CD。

求证：

∠3=∠4。

3、如图，在△ABC中，BE⊥AC，AD⊥BC，AD、BE相交于点P，AE=BD。

求证：

P在∠ACB的角平分线上。

证明：

连结PC．

∵BE⊥AC，AD⊥BC，

∴∠AEB=∠BDA=90°．

在Rt△ADB和Rt△BEA中

AB＝AB

BD＝AE

∴∠BAD=∠ABE，∠ABD=∠BAE，

∴AP=BP，AC=BC．

在△APC和△BPC中

AP＝BP

AC＝BC

PC＝PC

∴△APC≌△BPC（SSS），

∴∠ACP=∠BCP，

∴点P在∠ACB的角平分线上．

角平分线作法：

在角AOB中，画角平分线

方法一：

1.以点O为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交角AOB两边于点M，N。

2.分别以点M，N为圆心，以大于1/2MN的长度为半径画弧，两弧交于点P。

3.作射线OP。

则射线OP为角AOB的角平分线。

当然，角平分线的作法有很多种。

下面再提供一种尺规作图的方法供参考。

方法二：

1.在两边OA、OB上分别截取OM、OA和ON、OB，且使得OM=ON，OA=OB；

2.连接AN与BM，他们相交于点P；

3.作射线OP。

则射线OP为角AOB的角平分线。

1.已知：

如图，AD⊥BC于D，EF⊥BC于F，交AB于G，交CA延长线于E，∠1=∠2

求证：

AD平分∠BAC，填写分析和证明中的空白．

分析：

要证明AD平分∠BAC，只要证明______=______，

而已知∠1=∠2，所以应联想这两个角分别和∠1、∠2的关系，由已知BC的两条垂线可推出______∥______，这时再观察这两对角的关系已不难得到结论．

证明：

∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）

∴______∥______（______）

∴______=______（两直线平行，内错角相等），

______=______（两直线平行，同位角相等）

∵______（已知）

∴______，即AD平分∠BAC（______）

证明：

∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）

∴EF∥AD（在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行）

∴∠1=∠BAD（两直线平行，内错角相等）

∠2=∠CAD（两直线平行，同位角相等）

∵∠1=∠2（已知）

∴∠BAD=∠CAD，

即AD平分∠BAC（角平分线的定义）

2.如图，已知D是BC的中点，过点D作BC的垂线交∠A的平分线于点E，EF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G。

求证BF＝CG  

分析：

本题需先连接EC、EB，根据AE是∠CAB的平分线，得出EG=EF，再根据ED垂直平分BC，得出Rt△CGE≌△BFE，从而证出BF=CG。

证明：

连接EC、EB．

∵AE是∠CAB的平分线，

EF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，

∴EG=EF，

又∵ED垂直平分BC，

∴EC=EB

∴Rt△CGE≌Rt△BFE，

∴BF=CG。

3.已知：

如图，AF平分∠BAC，BC⊥AF，垂足为点E，点D与点A关于点E对称，PB分别与线段CF、AF相交于点P、M.  

（1）求证：

AB=CD；

（2）若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由． 

（1）证明：

∵AF平分∠BAC，

∴∠CAD=∠DAB=

∠BAC． 

∵点D与点A关于点E对称∴E为AD中点．BC⊥AD，

∴BC为AD的中垂线，

∴AC=CD

∵在Rt△ACE和Rt△ABE中，∠CAD+∠ACE=∠DAB+∠ABE=

．∠CAD=∠DAB.

∴∠ACE=∠ABE，

∴AC=AB，

∴AB=CD.

（2）∵∠BAC=2∠MPC，

又∵∠BAC=2∠CAD,

∴∠MPC=∠CAD．

∵AC=CD,

∴∠CAD=∠CDA,

∵∠MPC=∠CDA.

∴∠MPF=∠CDM，

∵AC=AB,AE⊥BC,

∴CE=BE，

∴AM为BC的中垂线，

∴CM=BM

∵EM⊥BC,

∴EM平分∠CMB，（等腰三角形三线合一）

∴∠CME=∠BME．

∴∠BME=∠PMF,∠PMF=∠CME, 

∴∠MCD=∠F（三角形内角和）．