第5章 第2节 动能定理.docx
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第5章第2节动能定理
第2节 动能定理
一、动能
1．定义：
物体由于运动而具有的能。
2．公式：
Ek＝
mv2，v为瞬时速度，动能是状态量。
3．单位：
焦耳，1J＝1N·m＝1kg·m2/s2。
4．标矢性：
动能是标量，只有正值。
5．动能的变化量：
ΔEk＝Ek2－Ek1＝
mv
－
mv
。
二、动能定理
1．内容：
合外力对物体所做的功等于物体动能的变化。
2．表达式：
W＝ΔEk＝
mv
－
mv
。
3．物理意义：
合外力对物体做的功是物体动能变化的量度。
4．适用条件
（1）既适用于直线运动，也适用于曲线运动。
（2）既适用于恒力做功，也适用于变力做功。
（3）力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以不同时作用。
1．思考辨析（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）一定质量的物体动能变化时，速度一定变化，但速度变化时，动能不一定变化。
（√）
（2）物体的合外力对物体做的功为零，动能一定不变。
（√）
（3）物体在合外力作用下做变速运动，动能一定变化。
（×）
（4）物体的动能不变，其所受的合外力必定为零。
（×）
2．（鲁科版必修2P27T1改编）（多选）关于动能，下列说法正确的是（ ）
A．公式Ek＝
mv2中的速度v一般是物体相对于地面的速度
B．动能的大小由物体的质量和速率决定，与物体运动的方向无关
C．物体以相同的速率向东和向西运动，动能的大小相等但方向不同
D．物体以相同的速率做匀速直线运动和曲线运动，其动能不同
AB [动能是标量，与速度的大小有关，而与速度的方向无关。
公式中的速度一般是相对于地面的速度，故A、B正确。
]
3．（人教版必修2P74T1改编）在下列几种情况下，甲、乙两物体的动能相等的是（ ）
A．甲的速度是乙的2倍，甲的质量是乙的
B．甲的质量是乙的2倍，甲的速度是乙的
C．甲的质量是乙的4倍，甲的速度是乙的
D．质量相同，速度大小也相同，但甲向东运动，乙向西运动
[答案] D
4．（人教版必修2P75T4改编）如图所示，倾角θ＝37°的斜面AB与水平面平滑连接于B点，A、B两点之间的距离x0＝3m，质量m＝3kg的小物块与斜面及水平面间的动摩擦因数均为μ＝0.4。
当小物块从A点由静止开始沿斜面下滑的同时，对小物块施加一个水平向左的恒力F（图中未画出），取g＝10m/s2。
若F＝10N，小物块从A点由静止开始沿斜面运动到B点时撤去恒力F，求小物块在水平面上滑行的距离x为（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）（ ）
A．5.7mB．4.7m
C．6.5mD．5.5m
B [小物块在斜面上受力如图所示，从A点开始沿ABC路径运动到C点停止过程中，由动能定理可得：
Fx0cosθ＋mgx0sinθ－Ffx0－μmgx＝0
Ff＝μFN
FN＋Fsinθ＝mgcosθ
代入数据解得：
x＝4.7m。
故选项B正确。
]
动能定理的理解及应用
1．关于动能概念及动能定理表达式W＝Ek2－Ek1的说法中正确的是（ ）
A．若物体速度在变化，则动能一定在变化
B．速度大的物体，动能一定大
C．W＝Ek2－Ek1表示功可以变成能
D．动能的变化可以用合力做的功来量度
D [速度是矢量，而动能是标量，若物体速度只改变方向，不改变大小，则动能不变，A错误；由Ek＝
mv2知B错误；动能定理表达式W＝Ek2－Ek1表示动能的变化可用合力做的功量度，但功和能是两个不同的概念，有着本质的区别，故C错误，D正确。
]
2．（2018·全国卷Ⅱ）如图所示，某同学用绳子拉动木箱，使它从静止开始沿粗糙水平路面运动至具有某一速度。
木箱获得的动能一定（ ）
A．小于拉力所做的功
B．等于拉力所做的功
C．等于克服摩擦力所做的功
D．大于克服摩擦力所做的功
A [由动能定理WF－Wf＝Ek－0，可知木箱获得的动能一定小于拉力所做的功，A正确。
]
3.如图所示，光滑斜面的顶端固定一弹簧，一质量为m的小球向右滑行，并冲上固定在地面上的斜面。
设小球在斜面最低点A的速度为v，压缩弹簧至C点时弹簧最短，C点距地面高度为h，则小球从A到C的过程中弹簧弹力做功是（ ）
A．mgh－
mv2B．
mv2－mgh
C．－mghD．－
A [小球从A点运动到C点的过程中，重力和弹簧的弹力对小球做负功，由于支持力与位移始终垂直，则支持力对小球不做功，由动能定理可得WG＋WF＝0－
mv2，重力做功为WG＝－mgh，则弹簧的弹力对小球做功为WF＝mgh－
mv2，所以正确选项为A。
]
1．对“外力”的两点理解
（1）“外力”指的是合外力，可以是重力、弹力、摩擦力、电场力、磁场力或其他力，它们可以同时作用，也可以不同时作用。
（2）“外力”既可以是恒力，也可以是变力。
2．公式W合＝ΔEk中“＝”体现的三个关系
动能定理与图象结合问题
1．解决物理图象问题的基本步骤
（1）观察题目给出的图象，弄清纵坐标、横坐标所对应的物理量及图线所表示的物理意义。
（2）根据物理规律推导出纵坐标与横坐标所对应的物理量间的函数关系式。
（3）将推导出的物理规律与数学上与之相对应的标准函数关系式相对比，找出图线的斜率、截距、图线的交点、图线下方的面积所对应的物理意义，根据对应关系列式解答问题。
2．图象所围“面积”和图象斜率的含义
如图甲所示，一竖直面内的轨道是由粗糙斜面AB和光滑轨道BCD组成，AB与BCD相切于B点，C为圆轨道的最低点，将物块置于轨道ABC上离地面高为H处由静止下滑，可用力传感器测出其经过C点时对轨道的压力FN。
现将物块放在ABC上不同高度处，让H从零开始逐渐增大，传感器测得物块每次从不同高度处下滑到C点时对轨道的压力FN，得到如图乙两段直线PQ和QI，且IQ反向延长线与纵轴交点坐标值为2.5N，g取10m/s2。
求：
甲 乙
（1）小物块的质量m及圆轨道的半径R；
（2）轨道BC所对圆心角；
（3）小物块与斜面AB间的动摩擦因数。
审题导引：
解此题的关键是把握图象的信息，并将图象信息与物理过程相对应，如下图所示。
[解析]
（1）小物块从圆轨道BC滑下，
由动能定理可知mgH＝
mv
在C点合力提供向心力
FN－mg＝m
FN＝
H＋mg
结合PQ段图象知mg＝2N，m＝0.2kg，
＝
解得R＝1m。
（2）由于图线Q点对应于轨道的B点，而此时H＝0.5m，则轨道BC所对圆心角θ由几何关系可知H＝R（1－cosθ），代入数据解得θ＝60°。
（3）小物块从A到C，由动能定理可得
mgH－
＝
mv2，
到达C点处由向心力公式可得
F′N－mg＝
，
联立得μ＝
。
[答案]
（1）0.2kg 1m
（2）60° （3）
动能定理与图象结合问题的分析方法
（1）首先看清所给图象的种类（如vt图象、Ft图象、Ekt图象等）。
（2）挖掘图象的隐含条件，得出所需要的物理量，如由vt图象所包围的“面积”求位移，由Fx图象所包围的“面积”求功等。
（3）分析有哪些力做功，根据动能定理列方程，求出相应的物理量。
1．（2019·全国卷Ⅲ）从地面竖直向上抛出一物体，物体在运动过程中除受到重力外，还受到一大小不变、方向始终与运动方向相反的外力作用。
距地面高度h在3m以内时，物体上升、下落过程中动能Ek随h的变化如图所示。
重力加速度取10m/s2。
该物体的质量为（ ）
A．2kgB．1.5kg
C．1kgD．0.5kg
C [设物体的质量为m，则物体在上升过程中，受到竖直向下的重力mg和竖直向下的恒定外力F，由动能定理结合题图可得－（mg＋F）×3m＝（36－72）J；物体在下落过程中，受到竖直向下的重力mg和竖直向上的恒定外力F，再由动能定理结合题图可得（mg－F）×3m＝（48－24）J，联立解得m＝1kg、F＝2N，选项C正确，A、B、D均错误。
]
2．（多选）放在粗糙水平地面上质量为0.8kg的物体受到水平拉力的作用，在0～6s内其速度与时间的关系图象和该拉力的功率与时间的关系图象分别如图甲、乙所示。
下列说法中正确的是（ ）
甲 乙
A．0～6s内拉力做的功为140J
B．物体在0～2s内所受的拉力为4N
C．物体与粗糙水平地面间的动摩擦因数为0.5
D．合外力在0～6s内做的功与0～2s内做的功相等
AD [由P＝Fv可知，物体在0～2s内所受的拉力F＝
＝
N＝6N，在2～6s内所受的拉力F′＝
＝
N＝2N，B错误；拉力在0～6s内做的总功W＝Fx1＋F′x2＝6×
×2J＋2×10×4J＝140J，A正确；由物体在2～6s内做匀速运动可知，F′＝μmg，可求得μ＝0.25，C错误；由动能定理可知，物体所受的合外力在0～6s内所做的功与0～2s内所做的功均为
mv2＝40J，D正确。
]
3．如图甲所示，在倾角为30°、长度为L＝5m的光滑斜面AB的A处连接一粗糙水平面OA，OA长为4m。
有一质量为m的滑块，从O处由静止开始受一水平向右的力F作用，F只在滑块处于水平面上时作用，并且按图乙所示的规律变化，最后滑块刚好到达斜面顶端B，g取10m/s2。
试求：
甲 乙
（1）滑块运动到A处的速度大小；
（2）滑块与OA间的动摩擦因数μ。
[解析]
（1）滑块冲上斜面的过程中重力做负功，由动能定理得－mg·L·sin30°＝0－
mv
代入数据解得vA＝5
m/s。
（2）由题图乙知，在前2m内，F1＝2mg，做正功，在第3m内，F2＝－0.5mg，做负功，在第4m内，F3＝0，滑动摩擦力的大小为Ff＝μmg，始终做负功，对于滑块在OA上运动的全过程，由动能定理得
F1x1＋F2x2＋fx＝
mv
－0
即2mg×2－0.5mg×1－μmg×4＝
mv
代入数据解得μ＝0.25。
[答案]
（1）5
m/s
（2）0.25
动能定理求解多过程问题
1．多过程问题的分析方法
（1）将“多过程”分解为许多“子过程”，各“子过程”间由“衔接点”连接。
（2）对各“衔接点”进行受力分析和运动分析，必要时画出受力图和过程示意图。
（3）根据“子过程”和“衔接点”的模型特点选择合理的物理规律列方程。
（4）分析“衔接点”速度、加速度等物理量的关联，确定各段间的时间关联，并列出相关的辅助方程。
（5）联立方程组，分析求解，对结果进行必要的验证或讨论。
2．利用动能定理求解多过程问题的基本思路
（2019·信阳模拟）如图所示AB和CDO都是处于竖直平面内的光滑圆弧形轨道，OA处于水平位置。
AB是半径为R＝1m的
圆周轨道，CDO是半径为r＝0.5m的半圆轨道，最高点O处固定一个竖直弹性挡板（可以把小球弹回，不损失能量，图中没有画出），D为CDO轨道的中点。
BC段是水平粗糙轨道，与圆弧形轨道平滑连接。
已知BC段水平轨道长L＝2m，与小球之间的动摩擦因数μ＝0.2。
现让一个质量为m＝1kg的小球从A点的正上方距水平线OA高H的P处自由落下。
（g取10m/s2）
（1）当H＝2m时，求此时小球第一次到达D点对轨道的压力大小；
（2）为使小球仅仅与弹性挡板碰撞一次，且小球不会脱离CDO轨道，求H的取值范围。
思路点拨：
解此题可按以下思路
（1）小球由P到D全过程，由动能定理列方程求小球第一次到达D点的速度。
（2）小球仅仅与弹性挡板碰撞一次且刚好不脱离CDO轨道的两个临界条件是在O点重力提供向心力，碰后再返回最高点恰能上升到D点。
[解析]
（1）设小球第一次到达D的速度为vD，对小球从P到D点的过程，根据动能定理得：
mg（H＋r）－μmgL＝
mv
－0
在D点轨道对小球的支持力FN提供向心力，则有：
FN＝m
联立解得：
FN＝84N
由牛顿第三定律得，小球对轨道的压力为：
F′N＝FN＝84N。
（2）为使小球仅仅与挡板碰撞一次，且小球不会脱离CDO轨道，H最小时必须满足能上升到O点，由动能定理得：
mgHmin－μmgL＝
mv
－0
在O点有：
mg＝m
代入数据解得：
Hmin＝0.65m
仅仅与弹性挡板碰撞一次，且小球不会脱离CDO轨道，H最大时，碰后再返回最高点能上升到D点，则有：
mg（Hmax＋r）－3μmgL＝0
代入数据解得：
Hmax＝0.7m
故有：
0.65m≤H≤0.7m。
[答案]
（1）84N
（2）0.65m≤H≤0.7m
应用动能定理求多过程问题的技巧
1．运用动能定理解决多过程问题时，有两种思路：
一种是全过程列式，另一种是分段列式。
2．全过程列式时，涉及重力、弹簧弹力，大小恒定的阻力或摩擦力做功，要注意运用它们的功能特点：
（1）重力做的功取决于物体的初、末位置，与路径无关；
（2）大小恒定的阻力或摩擦力做的功等于力的大小与路程的乘积。
（3）弹簧弹力做功与路径无关。
组合运动的多过程问题
1.如图所示，光滑的轨道ABO的AB部分与水平部分BO相切，轨道右侧是一个半径为R的四分之一的圆弧轨道，O点为圆心，C为圆弧上的一点，OC与水平方向的夹角为37°。
现将一质量为m的小球从轨道AB上某点由静止释放。
已知重力加速度为g，不计空气阻力。
（1）若小球恰能击中C点，求刚释放小球的位置距离BO平面的高度；
（2）改变释放点的位置，求小球落到轨道时动能的最小值。
[解析]
（1）设小球经过O点的速度为v0，从O点到C点做平抛运动，则有Rcos37°＝v0t，Rsin37°＝
gt2
从A点到O点，由动能定理得mgh＝
mv
联立可得，释放小球的位置距离BO平面的高度h＝
R。
（2）设小球落到轨道上的点与O点的连线与水平方向的夹角为θ，小球做平抛运动，
Rcosθ＝v′0t′ Rsinθ＝
gt′2
对此过程，由动能定理得mgRsinθ＝Ek－
mv′
解得Ek＝mgR
当sinθ＝
时，小球落到轨道时的动能最小，最小值为Ek＝
mgR。
[答案]
（1）
（2）
往复运动的多过程问题
2.（2019·东阳市月考）如图所示，ABCD为一位于竖直平面内的轨道，其中BC水平，A点比BC高出10m，BC长1m，AB和CD轨道光滑且与BC平滑连接。
一质量为1kg的物体，从A点以4m/s的速度开始运动，经过BC后滑到高出C点10.3m的D点速度为零。
求：
（g取10m/s2）
（1）物体与BC轨道间的动摩擦因数；
（2）物体第5次经过B点时的速度；
（3）物体最后停止的位置（距B点多少米）。
[解析]
（1）物体从A到D的运动过程只有重力、摩擦力做功，由动能定理可得
mg（H－h）－μmgLBC＝0－
mv
所以μ＝
＝
＝0.5。
（2）物体第5次经过B点时，物体在BC上运动的总位移x＝4LBC＝4m；
那么，对物体从A到物体第5次经过B点的运动过程应用动能定理可得
mgH－μmgx＝
mv2－
mv
，所以
v＝
＝4
m/s。
（3）由受力平衡可知物体最终停在BC上，设物体整个运动过程在BC上的总路程为x′，那么由动能定理可得mgH－μmgx′＝0－
mv
所以x′＝
＝21.6m＝21LBC＋0.6m，故物体最后停止的位置距B点LBC－0.6m＝0.4m处。
[答案]
（1）0.5
（2）4
m/s （3）距B点0.4m
含有弹簧弹力做功的多过程问题
3.如图所示，水平桌面上的轻质弹簧左端固定，右端与静止在O点质量为m＝1kg的小物块接触而不连接，此时弹簧无形变。
现对小物块施加F＝10N水平向左的恒力，使其由静止开始向左运动。
小物块在向左运动到A点前某处速度最大时，弹簧的弹力为6N，运动到A点时撤去推力F，小物块最终运动到B点静止。
图中OA＝0.8m，OB＝0.2m，重力加速度取g＝10m/s2。
求小物块：
（1）与桌面间的动摩擦因数μ；
（2）向右运动过程中经过O点的速度；
（3）向左运动的过程中弹簧的最大压缩量。
[解析]
（1）小物块速度达到最大时，加速度为零。
F－μmg－F弹＝0，μ＝
＝0.4。
（2）设向右运动通过O点时的速度为v0，从O→B，由动能定理得
－FfxOB＝0－
mv
，Ff＝μmg＝4N
解得v0＝
m/s≈1.26m/s。
（3）弹簧最大压缩量为xmax，对小物块运动的全过程，根据动能定理得
FxOA－Ff（2xmax＋xOB）＝0，代入数值得xmax＝0.9m。
[答案]
（1）0.4
（2）1.26m/s （3）0.9m
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