版高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语11集合的概念与运算学案理.docx
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版高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语11集合的概念与运算学案理
1．1 集合的概念与运算
[知识梳理]
1．集合与元素
（1）集合中元素的三个特征：
确定性、互异性、无序性．
（2）元素与集合的关系有属于或不属于两种，用符号∈或∉表示．
（3）集合的表示法：
列举法、描述法、图示法．
（4）常见数集的记法
2．集合间的基本关系
3．集合的基本运算
4．集合的运算性质
（1）并集的性质：
A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.
（2）交集的性质：
A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.
（3）补集的性质：
A∪（∁UA）＝U；A∩（∁UA）＝∅；∁U（∁UA）＝A；∁U（A∪B）＝（∁UA）∩（∁UB）；∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB）．
（4）若有限集A中有n个元素，则A的子集个数为2n个，非空子集个数为2n－1个，真子集有2n－1个，非空真子集的个数为2n－2个．
[诊断自测]
1．概念思辨
（1）直线y＝x＋3与y＝－2x＋6的交点组成的集合是{1,4}．（ ）
（2）若集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{（x，y）|y＝x2}，则A，B，C表示同一个集合．（ ）
（3）设集合A＝{0,1}，若B＝{x|x⊆A}，则A⊆B.（ ）
（4）设集合A＝{x|ax＝1}，B＝{x|x2＝1}，若A⊆B，则a＝1或－1.（ ）
答案
（1）×
（2）× （3）× （4）×
2．教材衍化
（1）（必修A1P12T5）若集合P＝{x|x≥5}，Q＝{x|5≤x≤7}，则P与Q的关系是（ ）
A．P＝QB．PQC．PQD．P⊄Q
答案 C
解析 因为集合P＝{x|x≥5}，Q＝{x|5≤x≤7}，所以QP.故选C.
（2）（必修A1P12T2）已知A＝{（x，y）|4x＋y＝6}，B＝{（x，y）|3x＋2y＝7}，则A∩B＝________.
答案 {（1,2）}
解析 A∩B＝{（x，y）|4x＋y＝6}∩{（x，y）|3x＋2y＝7}＝
＝{（1,2）}．
3．小题热身
（1）已知集合A＝{x|－3A．（0,3）B．（－3,4）C．（0,4）D．（3,4）
答案 B
解析 集合B＝（0,4），故A∪B＝（－3,4）．故选B.
（2）若集合A＝[2,3]，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，则A∩B＝（ ）
A．{2,3}B．∅C．（2,3）D．[2,3]
答案 A
解析 因为A＝{x|2≤x≤3}，B＝{2,3}，所以A∩B＝{2,3}．故选A.
题型1 集合的基本概念
（2016·四川高考）设集合A＝{x|－2≤x≤2}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
本题用列举法．
答案 C
故选C.
（2018·豫北名校联考）设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P⊗Q＝{z|z＝a÷b，a∈P，b∈Q}，若P＝{－1,0,1}，Q＝{－2,2}，则集合P⊗Q中元素的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
本题用分类讨论法，根据元素的互异性确定元素的个数．
答案 B
解析 当a＝0时，无论b取何值，z＝a÷b＝0；
当a＝－1，b＝－2时，z＝
；
当a＝－1，b＝2时，z＝－
；
当a＝1，b＝－2时，z＝－
；
当a＝1，b＝2时，z＝
.
故P⊗Q＝
，该集合中共有3个元素．故选B.
方法技巧
解决集合概念问题的一般思路
2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性．
3．集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．
冲关针对训练
1．已知集合A＝{x|y＝x2＋1}，B＝{y|y＝x2＋1}，则下列关系正确的是（ ）
A．A∩B＝∅B．A∩B＝A
C．A＝BD．A∩B＝B
答案 D
解析 A＝R，B＝[1，＋∞），故A∩B＝B.故选D.
2．已知a，b为两个不相等的实数，集合M＝{a2－4a，－1}，N＝{b2－4b＋1，－2}，f：
x→x表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a＋b等于（ ）
A．1B．2C．3D．4
答案 D
解析 因为集合M中的元素x映射到集合N中仍为x，所以
即
因为a，b为两个不相等的实数，则a，b为方程x2－4x＋2＝0的两根，∴a＋b＝4.故选D.
题型2 集合间的基本关系
（2017·资阳模拟）含有三个实数的集合可表示为
，也可表示为{a2，a＋b,0}，则a2017＋b2017的值为（ ）
A．0B．±1C．－1D．1
利用集合相等分类讨论，根据元素的互异性求解．
答案 C
解析 三个实数的集合可表示为
，也可表示为{a2，a＋b,0}，可得b＝0，a2＝1，因为集合含有三个实数，所以a＝－1，∴a2017＋b2017＝－1.故选C.
已知集合A＝{x|x<－3或x>7}，B＝{x|x<2m－1}，若
B⊆A，则实数m的取值范围是________．
本题可用数形结合方法．
答案 （－∞，－1]
解析 由题意知2m－1≤－3，m≤－1，∴m的取值范围是（－∞，－1]．
[条件探究1] 典例2中的B改为B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，其余不变，该如何求解？
解 当B＝∅时，有m＋1>2m－1，则m<2.
当B≠∅时，
或
解得m>6.综上可知m的取值范围是（－∞，2）∪（6，＋∞）．
[条件探究2] 典例2中的A改为A＝{x|－3≤x≤7}，B改为B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，又该如何求解？
解 当B＝∅时，满足B⊆A，此时有m＋1>2m－1，
即m<2；当B≠∅，要使B⊆A，则有
解得2≤m≤4.
综上可知m的取值范围是（－∞，4]．
方法技巧
1．集合相等的问题求解思路
首先分析已知元素与另一个集合中的哪个元素相等，一般要分类讨论，列出方程（组）求解，最后要验证是否满足互异性．例如典例1.
2．已知两个集合间的关系求参数时的关键点及注意点
（1）关键点：
将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系．例如条件探究1,2.
（2）注意点：
①利用数轴、Venn图帮助分析及对参数进行讨论；②注意区间端点的取舍．例如典例2.
提醒：
空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．
冲关针对训练
1．已知集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|－
}，则（ ）
A．A∩B＝∅B．A∪B＝R
C．B⊆AD．A⊆B
答案 B
解析 易得A＝{x|x>2或x<0}，又B＝{x|－
}，利用数轴表示A与B（略），易知A∩B＝{x|－
}，A项错误；A∪B＝R，B项正确；A与B没有包含关系，C项与D项均错误．故选B.
2．（2017·河北校级期中）已知集合A＝{2,3}，B＝{x|mx－6＝0}，若B⊆A，则实数m＝（ ）
A．3B．2
C．2或3D．0或2或3
答案 D
解析 因为B⊆A，所以根据B是否为空集分以下两种情况：
①当B＝∅时，mx－6＝0无解，即m＝0，
②当B≠∅时，mx－6＝0的解为2或3，则m的值分别为3,2.故选D.
题型3 集合的基本运算
角度1 求交集
（2016·全国卷Ⅰ）设集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，则A∩B＝（ ）
A.
B.
C.
D.
本题用数形结合法．
答案 D
解析 易知A＝（1,3），B＝
，∴A∩B＝
.故选D.
角度2 求并集
（2018·浙江模拟）已知集合P＝{x|－1{x|0A．（－1,2）B．（0,1）C．（－1,0）D．（1,2）
本题用数形结合法．
答案 A
解析 ∵P＝{x|－1∴P∪Q＝{x|－1角度3 交、并、补的综合运算
（2018·广东七校联考）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|y＝lg（x－1）}，则（∁UA）∩B＝（ ）
A．{x|x>2或x<0}B．{x|1C．{x|1本题用转化法、数形结合法．
答案 C
解析 解不等式x2－2x>0，即x（x－2）>0，得x<0或x>2，故A＝{x|x<0或x>2}．集合B是函数y＝lg（x－1）的定义域，由x－1>0，解得x>1，所以B＝{x|x>1}．易知∁UA＝{x|0≤x≤2}，所以（∁UA）∩B＝{x|0≤x≤2}∩{x|x>1}＝{x|1方法技巧
1．集合的基本运算的求解策略
（1）求解思路一般是先化简集合，再根据交、并、补的定义求解．例如角度1典例．
（2）求解原则一般是先算括号里面的，再按运算顺序求解．
（3）求解思想一般是注重数形结合思想的运用，利用数轴、Venn图等．例如角度2,3典例．
2．参数求解策略
一般来讲，若集合中的元素是离散的，则用Venn图表示，根据画出的Venn图得到关于参数的一个或多个方程，求出参数后要验证是否与集合元素的互异性矛盾；若集合中的元素是连续的，则用数轴表示，根据数轴得到关于参数的不等式，解之得到参数的范围，此时要注意端点的情况．见冲关针对训练2.
冲关针对训练
1．（2017·天津高考）设集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则（A∪B）∩C＝（ ）
A．{2}B．{1,2,4}
答案 B
2．（2017·合肥质检二）已知集合A＝[1，＋∞），B＝{x∈R
，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是（ ）
A．[1，＋∞）B.
C.
D．（1，＋∞）
答案 A
解析 因为A∩B≠∅，所以
解得a≥1，故选A.
影部分所表示的集合为（ ）
A．{1,2}B．{4,5}C．{1,2,3}D．{3,4,5}
答案 A
解析 图中阴影部分表示的集合中的元素是在集合A中，但不在集合B中，
∵∁UB＝{x|x<3}，∴（∁UB）∩A＝{1,2}，
则图中阴影部分表示的集合是{1,2}．故选A.
题型4 集合中的创新问题
已知数集A＝{a1，a2，…，an}（1≤a1对任意的i，j（1≤i≤j≤n），aiaj与
两数中至少有一个属于A，则称集合A为“权集”，则（ ）
C．“权集”中元素可以有0D．“权集”中一定有元素1
本题用排除法．
答案 B
解析 由于3×4与
均不属于数集{1,3,4}，故A不正确；由于1×2,1×3,1×6,2×3，故不能有0，同时不一定有1，C，D错误．故选B.
方法技巧
解决集合新定义问题的常用方法
1．紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题的关键所在．
2．用好集合的性质．集合的性质（概念、元素的性质、运算性质等）是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素．
3．对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错误选项，当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明，以达到快速判断结果的目的．见典例．
冲关针对训练
x－1∉A，且x＋1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，那么S中无“孤立元素”的非空子集的个数为（ ）
A．16B．17C．18D．20
答案 D
解析 ∵当x∈A时，若有x－1∉A，且x＋1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，∴单元素集合都含“孤立元素”．S中无“孤立元素”的2个元素的子集为{0,1}，{1,2}，{2,3}，{3,4}，{4,5}，共5个，S中无“孤立元素”的3个元素的子集为{0,1,2}，{1,2,3}，{2,3,4}，20个．故选D.
1．（2017·全国卷Ⅰ）已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}，则（ ）
A．A∩B＝{x|x<0}B．A∪B＝R
C．A∪B＝{x|x>1}D．A∩B＝∅
答案 A
解析 ∵B＝{x|3x＜1}，∴B＝{x|x＜0}．
又A＝{x|x＜1}，∴A∩B＝{x|x＜0}，A∪B＝{x|x＜1}．故选A.
2．（2017·全国卷Ⅲ）已知集合A＝{（x，y）|x2＋y2＝1}，B＝{（x，y）|y＝x}，则A∩B中元素的个数为（ ）
A．3B．2C．1D．0
答案 B
解析 集合A表示以原点O为圆心，半径为1的圆上的所有点的集合，集合B表示直线y＝x上的所有点的集合．
由图形可知，直线与圆有两个交点，所以A∩B中元素的个数为2.故选B.
3．（2018·武昌调研）设A，B是两个非空集合，定义集合A－B＝{x|x∈A，且x∉B}．若A＝{x∈N|0≤x≤5}，B＝{x|x2－7x＋10<0}，则A－B＝（ ）
A．{0,1}B．{1,2}
答案 D
4．（2018·湖北四校联考）已知集合A＝{x∈N|πx<16}，B＝{x|x2－5x＋4<0}，则A∩（∁RB）的真子集的个数为（ ）
A．1B．3C．4D．7
答案 B
解析 因为A＝{x∈N|πx<16}＝{0,1,2}，B＝{x|x2－5x＋4<0}＝{x|1[基础送分提速狂刷练]
一、选择题
1．（2017·山西八校联考）已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|0A．[－1,4]B．（0,3]
C．（－1,0]∪（1,4]D．[－1,0]∪（1,4]
答案 A
解析 A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|－1≤x≤3}，故A∪B＝[－1,4]．故选A.
2．（2018·石家庄质检）设集合A＝{x|（x＋1）（x－3）<0}，B＝{x|2A．{x|－1C．{x|1答案 D
解析 因为A＝{x|（x＋1）（x－3）<0}＝{x|－13．已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{y
，则集合M∩N的真子集的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
答案 B
解析 因为N＝{0,1,2}，所以M∩N＝{0,1}，其真子集的个数是3.故选B.
4．（2018·济南质检）已知集合A＝{x|x（x－1）<0}，B＝{x|ex>1}，则（∁RA）∩B＝（ ）
A．[1，＋∞）B．（0，＋∞）
C．（0,1）D．[0,1]
答案 A
解析 依题意得，A＝{x|00}，故（∁RA）∩B＝{x|x≥1}＝[1，＋∞）．故选A.
5．若集合M＝{x||x|≤1}，N＝{y|y＝x2，|x|≤1}，则（ ）
A．M＝NB．M⊆N
C．N⊆MD．M∩N＝∅
答案 C
解析 M＝{x||x|≤1}＝[－1,1]，N＝{y|y＝x2，|x|≤1}＝[0,1]，所以N⊆M.故选C.
6．（2017·山西模拟）设全集U＝R，集合A＝{x∈N|x2<6x}，B＝{x∈N|3C．{3,4}
答案 B
7．（2018·中山模拟）已知集合A＝{x
y＝
}，B＝{y
，则A∩B＝（ ）
A．（0,1]B．（0,1）
C．（－∞，0]D．[0,1]
答案 B
解析 由y＝
得
解得0x2－x＋
＝
（x－1）2≥0，得B＝[0，＋∞），故A∩B＝（0,1）．故选B.
8．（2017·湖南长沙模拟）已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|x2－3x＋a＝0，a∈A}，若A∩B≠∅，则a的值为（ ）
A．1B．2C．3D．1或2
答案 B
解析 当a＝1时，B中元素均为无理数，A∩B＝∅；
当a＝2时，B＝{1,2}，A∩B＝{1,2}≠∅；
当a＝3时，B＝∅，则A∩B＝∅，
所以a的值为2.故选B.
9．（2018·江西九江七校联考）设A是自然数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k2∉A，且
∉A，那么k是A的一个“酷元”，给定S＝{x∈N|y＝lg（36－x2）}，设M⊆S，集合M中有两个元素，且这两个元素都是M的“酷元”，那么这样的集合M有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
答案 C
由题意可知：
集合M不能含有0,1，且不能同时含有2,4.故集合M可以是{2,3}，{2,5}，{3,5}，{3,4}，{4,5}．故选C.
10．（2018·豫北名校联考）设集合A＝{x|x2＋2x－3>0}，集合B＝{x|x2－2ax－1≤0，a>0}，若A∩B中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D．（1，＋∞）
答案 B
解析 A＝{x|x2＋2x－3>0}＝{x|x>1或x<－3}，
设函数f（x）＝x2－2ax－1，因为函数f（x）＝x2－2ax－1图象的对称轴为x＝a（a>0），f（0）＝－1<0，根据对称性可知若A∩B中恰有一个整数，则这个整数为2，
所以有
即
所以
即
≤a<
.故选B.
二、填空题
11．（2017·南昌模拟）已知集合M＝{x|x2－4x<0}，N＝{x|m答案 7
解析 由x2－4x<0得012．（2017·洛阳模拟）已知集合A＝{x
，B＝{x|x<2m－1}，且A⊆（∁RB），则m的最大值是________．
答案
解析 依题意，A＝{x
＝{x
，∁RB＝{x|x≥2m－1}，又A⊆（∁RB），所以2m－1≤
，解得m≤
.故m的最大值为
.
性质P的集合A的个数是________．
答案 7
解析 由条件可知，有1必有5；有2必有4；3可单独也可与1,5或2,4在一起．满个．
14．已知集合A＝{a，b,2}，B＝{2，b2,2a}，且A∩B＝A∪B，则a＝________.
答案 0或
解析 由于A＝{2，a，b}，B＝{2a,2，b2}，
因A∩B＝A∪B，故A＝B，因此A，B中的元素对应相等，得
或
解得
或
或
由集合中元素的互异性，得
或
所以a的值为0或
.
三、解答题
15．（2018·运城模拟）设集合A＝{x|x2＋4x＝0，x∈R}，B＝{x|x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0，x∈R}．若B⊆A，求实数a的取值范围．
解 A＝{x|x2＋4x＝0，x∈R}＝{－4,0}．
∵B⊆A，∴B＝A或BA.
①当A＝B，即B＝{－4,0}时，则－4和0是方程x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0的两根，代入解得a＝1.
②当BA时，分两种情况：
若B＝∅，则Δ＝4（a＋1）2－4（a2－1）<0，
解得a<－1；
若B≠∅，则方程x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0有两个相等的实数根．
∴Δ＝4（a＋1）2－4（a2－1）＝0，解得a＝－1，此时B＝{0}，满足条件．
综上所述，所求实数a的取值范围为{a|a＝1或a≤－1}．
16．（2018·合肥模拟）设集合A＝{x
，B＝{x|x2－3mx＋2m2－m－1<0}．
（1）当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；
（2）若A⊇B，求实数m的取值范围．
解 化简得集合A＝{x|－2≤x≤5}，
集合B＝{x|（x－m＋1）（x－2m－1）<0}．
个数为28－2＝254.
（2）①m＝－2时，B＝∅⊆A；
②当m<－2时，（2m＋1）－（m－1）＝2＋m<0，
所以B＝（2m＋1，m－1），因此，要B⊆A，
则只要
⇒－
≤m≤6，所以m的值不存在；
③当m>－2时，B＝（m－1,2m＋1），因此，要B⊆A，
则只要
⇒－1≤m≤2.
综上所述，m的取值范围是{m|m＝－2或－1≤m≤2}．
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