第Ⅱ卷（非选择题）共90分）
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上.
13．（理）在正项等比数列{an}中，a2a8=
，a1+a9的最小值是m，且3a=m，其中a∈（k，k+1），则整数k=.
（文）在正项等比数列{an}中，a2a8=25，a1+a9的最小值是m=.
14．（理）一张厚度为0.1mm的矩形纸片，每次将此纸片沿一组对边的中点连线对折，则经过次这样的折叠后其厚度开始大于100m（假设这样的折叠是可以实现的，参考数据：
lg2=0.3010）.
（文）一种机械设备的价格为200000元，假设维护费第一年为1000元，以后每年增加1000元，当此设备的平均费用为最小时为最佳更新年限，那么此设备的最佳更新年限为
.
15．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且a2，b2，c2成等差数列，则sinB的最大值是.
16．（理）设正数数列{an}的前n项之和是bn，数列{bn}前n项之积是cn，且bn+cn=1，则数列
中最接近108的项是第项.
（文）在等比数列{an}中，a1=
，公比q=
，其前n项之和是Sn，x=S10（S20+S30），y=
，则x，y的大小关系是.
三、解答题：
本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分10分）
已知数列{an}是递增等差数列，前n项和为Sn，a1=2，且a1，a2，a4成等比数列.
（1）求{an}的通项公式；
（2）令
，
①当n为何正整数时，Tn>Tn+1？
②若对一切正整数n，总有Tn≤m，求m的取值范围.
18．（本小题满分12分）
（理）已知数列{an}是首项为q、公比为q的等比数列（其中q>0且q≠1），设
（其中n∈N*）.
（1）当q=2时，求数列{bn}的前n项和为Sn；
（2）在
（1）的条件下，求
的值；
（3）当
时，在数列{bn}中，是否存在最小的自然数n，使得对任意的m>n（m∈N*），都有bm>bn？
证明你的结论.
（文）数列{an}的通项公式是an=
（其中n∈N*），前n项和为Sn.
（1）化简数列{an}的通项公式an；
（2）求证：
19．（本小题满分12分）
医学上为了确定某种传染病在传播过程病毒细胞的生长规律及其预防方法，通常将这种病毒细胞m个注入一只小白鼠的体内进行试验.
在试验过程中，将病毒细胞的数量（个）与时间（h）的关系记录如下表：
时间（h）
1
2
3
4
5
6
7
…
病毒细胞总数（个）
m
2m
4m
8m
16m
32m
64m
…
已知该种病毒细胞在小白鼠体内的数量超过m×106个时，小白鼠将死亡，但有一种药物对杀死此种病毒有一定的效果，在最初使用此药物的几天内，每次用药可杀死其体内该病毒细胞的98%.
（1）为了使小白鼠在试验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物？
（2）第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命？
（答案精确到小时，参考数据：
lg2=0.3010）
20．（本小题满分12分）
已知函数f（x）=x+1，点
（n∈N*）在y=f-1（x）上，且a1=a2=1.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设
，若Sn>m恒成立，求常数m的取值范围.
21．（本小题满分12分）
已知数列{an}满足：
a1=2，a2=3，2an+1=3an-an-1（n≥2）.
（1）求数列{an}的通项公式an；
（2）求使不等式
成立的所有正整数m、n的值.
22．（本小题满分12分）
已知点P1、P2、P3、…、Pn、…
顺次为曲线xy=
（x>0）上的点（如图所示），
点Q1、Q2、Q3、…、Qn、…顺次为x轴上的点，
且△OP1Q1、△OP2Q2、△Qn-1PnQn、…均为等边三角形.
记点Qn（cn，0），Pn（an，bn）（其中n∈N*）.
（1）求数列{cn}（n∈N*）的通项公式；
（2）（理）求数列{an}（n∈N*）的通项公式及
的值；
（文）求数列{an}（n∈N*）的通项公式.
（3）（理）求证：
（其中n∈N*）.
（文）求证：
（其中n∈N*）.
参考答案
1．A由已知得an+1-an=
，an=14+（n-1）（
）=
，anan+2=
·
<0，（n-20）（n-22）<0，202．B由题意得an=
，由55<-10+2k<8，
3．（理）C由题意得an>0，
，当n<2006时，
>1，an+1>an且a2007=a2006；当n≥2007时，
<1，an+1（文）Ban+1-an=-（n+1）2+
（n+1）+n2-
n=
-2n-1<0得
<2n+1，其中n∈N*，因此
<3.
4．C由x2-x，选C.
5．C当n是奇数时，由an，a<1；当n是偶数时，由an，-a≤2，a≥-2，因此常数a的取值范围是
.
6．B设数列{an}的公差是d，由已知得a11>-a10，a11+a10>0，2a1+19d>0，2a1>-19d.令Sn=na1+
d=n·
>0即2a1+（n-1）d>0，而2a1+（n-1）d>-19d+（n-1）d
=（n-20）d，需（n-20）d≥0，又d>0，因此n≥20，选B.
7．（理）由题意得
（1-q2）S=（1-q2）·
=a（1+q）=q，
a=
=1-
，又0<|q|<1，∴0<1+q<2且1+q≠1，a<
且a≠0，选C.
（文）C由题意得该数列有1+3+…+（2n-1）=n2项的和是n，因此其前101项和开始大于10，选C.
8．B由an=-n2+12n-32=-n（n-4）（n-8）>0得49．B由Sp=ap得a1+a2+…+ap-1=
，a1+p-1=0.
又a1=2008>0，因此ap-1<0，数列{an}的公差小于零.当n>p时，Sn-1=a1+a2+…+an-1Sn.
10．B设数列{an}的公差是d，则
，
且a1
，d=-1且a1=2，an=2-（n-1）=3-n<-2006，n>2009，因此使an<-2006成立的最小正整数n=2010，选B.
11．C由题意得当a1=0时，0≤p=
≤
<
；
当a1=2时，
≥p≥
，即1>
≥p≥
.
因此结合各选项知选C.
12．A设一月份投入的建设资金与一月份的利润均为a，每月增加投入的百分率为r，则各月的利润依次组成一个数列{an}，其中an=na（1≤n≤12，n∈N*），各月的建设资金依次组成一个数列{bn}，其中bn=a（1+r）n-1（1≤n≤12，n∈N*），由于a1=b1，a12=b12，结合函数y=ax与y=a（z1+r）x-1的图象可知a2>b2，a3>b3，…，a11>b11，因此M>N.
13．（理）-1由题意得a1+a9≥
，3-1<3a=
<1=30，-1（文）10由题意得a1+a9>
14．（理）20由题意得，经过n次这样的折叠后其厚度是0.1×2nmm，令0.1×2n>100×103=105得，2n>106，n>
，因此经过20次这样的折叠后其厚度开始大于100m.
（文）20当此设备使用了n年时，此设备的平均费用是
≥500·
=20500，当且仅当
=n，即n=20时取得等号.
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