专题34 函数的应用一学年高一数学同步培优专练人教A版必修第一册.docx
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专题34函数的应用一学年高一数学同步培优专练人教A版必修第一册
专题3.4函数的应用
（一）
知识储备
1．函数的零点
（1）函数零点的定义
对于函数y＝f（x），我们把使f（x）＝0的实数x叫做函数y＝f（x）的零点．
（2）几个等价关系
方程f（x）＝0有实数根⇔函数y＝f（x）的图象与x轴有交点⇔函数y＝f（x）有零点．
（3）函数零点的判定（零点存在性定理）
如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）·f（b）<0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝0，这个c也就是方程f（x）＝0的根．
2．二次函数图象与零点的关系
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c（a>0）的图象
与x轴的交点
（x1,0），（x2,0）
（x1,0）
无
零点个数
_2_
_1_
0
3．几类函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f（x）＝ax＋b（a，b为常数，a≠0）
二次函数模型
f（x）＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0）
指数函数模型
f（x）＝bax＋c（a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1）
对数函数模型
f（x）＝blogax＋c（a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1）
幂函数模型
f（x）＝axn＋b（a，b为常数，a≠0）
“对勾”函数模型
y＝x＋
（a>0）
能力检测
姓名：
__________________班级：
______________得分：
_________________
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．一定范围内，某种产品的购买量y与单价x之间满足一次函数关系．如果购买1000吨，则每吨800元，购买2000吨，则每吨700元，那么一客户购买400吨，其价格为每吨（ ）
A．820元 B．840元
C．860元D．880元
【答案】C
【解析】设y＝kx＋b（k≠0），则1000＝800k＋b，且2000＝700k＋b，解得k＝－10，b＝9000，则y＝－10x＋9000.解400＝－10x＋9000，得x＝860（元）．
2．（2020·吉林东北师大附中高一月考）把长为6厘米的细铁丝截成两段,各自围成一个正三角形,那么这两个正三角形面积之和的最小值是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设其中一个正三角形的边长为
，面积之和为
，则另一个正三角形的边长为
，
，当
时，
取最小值为
.故选:
D.
3．某汽车销售公司在A，B两地销售同一品牌的汽车，在A地的销售利润（单位：
万元）y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润（单位：
万元）y2＝2x，其中x为销售量（单位：
辆），若该公司在两地共销售16辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润是（ ）
A．10.5万元B．11万元
C．43万元D．43.025万元
【答案】C
【解析】设该公司在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车（16－x）辆，所以可得利润y＝4.1x－0.1x2＋2（16－x）＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－0.1
＋32.因为x∈[0,16]且x∈N，所以当x＝10或11时，利润最大，最大利润为43万元．
4.某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为
，其中x代表拟录用人数，y代表面试人数，若面试人数为60，则该公司拟录用人数为（）
A．15B．40C．25D．13
【答案】C
【解析】令
，若
，则
，不合题意；
若
，则
，满足题意；若
，则
，不合题意．
故拟录用人数为25．故选：
．
5．某小区物业管理中心制订了一项节约用水措施，作出如下规定：
如果某户月用水量不超过10立方米，按每立方米m元收费；月用水量超过10立方米，则超出部分按每立方米2m元收费．已知某户某月缴水费16m元，则该户这个月的实际用水量为（ ）
A．13立方米B．14立方米
C．18立方米D．26立方米
【答案】A
【解析】由已知得，该户每月缴费y元与实际用水量x立方米满足的关系式为y＝
由y＝16m，得x>10，所以2mx－10m＝16m，解得x＝13.故选A.
6．某公园要建造一个直径为20m的圆形喷水池，计划在喷水池的周边靠近水面的位置安装一圈喷水头，使喷出的水柱在离池中心2m处达到最高，最高的高度为8m．另外还要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷来的水柱在此处汇合，则这个装饰物的高度应该为（ ）
A．5mB．3.5m
C．5.5mD．7.5m
【答案】D
【解析】 根据题意易知，水柱上任意一个点距水池中心的水平距离为x，与此点的高度y之间的函数关系式是：
y＝a1（x＋2）2＋8（－10≤x≤0）或y＝a2（x－2）2＋8（0≤x≤10），由x＝－10，y＝0，可得a1＝－
；由x＝10，y＝0，可得a2＝－
，于是所求函数解析式是y＝－
（x＋2）2＋8（－10≤x<0）或y＝－
（x－2）2＋8（0≤x≤10）．当x＝0时，y＝7.5，∴装饰物的高度为7.5m．故选D.
7.某工厂八年来某种产品总产量y（即前x年年产量之和）与时间x（年）的函数关系如图，下列五种说法中正确的是（ ）
A．前三年中，总产量的增长速度越来越慢
B．前三年中，年产量的增长速度越来越慢
C．第三年后，这种产品停止生产
D．第三年后，年产量保持不变
【答案】AC
【解析】由题中函数图象可知，在区间[0,3]上，图象是凸起上升的，表明总产量的增长速度越来越慢，A正确；由总产量增长越来越慢知，年产量逐年减小，因此B错误；在[3,8]上，图象是水平直线，表明总产量保持不变，即年产量
8．（多选）如图①是反映某条公交线路收支差额（即营运所得票价收入与付出成本的差）y与乘客量x之间关系的图象．由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图②③所示．
则下列说法中，正确的有（ ）
A．图②的建议：
提高成本，并提高票价
B．图②的建议：
降低成本，并保持票价不变
C．图③的建议：
提高票价，并保持成本不变
D．图③的建议：
提高票价，并降低成本
【答案】BC
【解析】根据题意和图②知，两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0但是支出变少了，即说明此建议是降低成本而保持票价不变，故B正确；由图③可以看出，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，即说明此建议是提高票价而保持成本不变，故C正确．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
9．端午节期间，某商场为吸引顾客，实行买100送20活动，即顾客购物每满100元，就可以获赠商场购物券20元，可以当作现金继续购物．如果你有1460元现金，在活动期间到该商场购物，最多可以获赠购物券累计________元．
【答案】360
【解析】由题意可知，1460＝1400＋20＋40,1400元现金可送280元购物券，把280元购物券当作现金加上20元现金可送60元购物券，再把60元购物券当作现金加上40元现金可获送20元购物券，所以最多可获赠购物券280＋60＋20＝360（元）．
10．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m（件）与售价x（元/件）之间的关系满足一次函数：
m＝162－3x.若要使每天获得最大的销售利润，则该商品的售价应定为________元/件．
【答案】42
【解析】设每天获得的销售利润为y元，则y＝（x－30）·（162－3x）＝－3（x－42）2＋432，所以当x＝42时，获得的销售利润最大，故该商品的售价应定为42元/件．
11.统计某种水果在一年中四个季度的市场价格及销售情况如下表.
季度
1
2
3
4
每千克售价（单位：
元）
19.55
20.05
20.45
19.95
某公司计划按这一年各季度“最佳近似值m”收购这种水果，其中的最佳近似值m这样确定，即m与上表中各售价差的平方和最小时的近似值，那么m的值为________．
【答案】20
【解析】设y＝（m－19.55）2＋（m－20.05）2＋（m－20.45）2＋（m－19.95）2＝4m2－2×（19.55＋20.05＋20.45＋19.95）m＋19.552＋20.052＋20.452＋19.952，
则当m＝
＝20时，y取最小值．
12.某在校大学生提前创业,想开一家服装专卖店,经过预算,店面装修费为10000元,每天需要房租水电等费用100元,受营销方法、经营信誉度等因素的影响,专卖店销售总收入P与店面经营天数x的关系是P（x）=
则总利润最大时店面经营天数是___.
【答案】200
【解析】设总利润为L（x）,则L（x）=
则L（x）=
当0≤x<300时,L（x）max=10000,当x≥300时,L（x）max=5000,
所以总利润最大时店面经营天数是200.
三、解答题（本大题共4小题，共40分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
13．为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月（30天）的通话时间x（单位：
分）与通话费用y（单位：
元）的关系如图所示．
（1）分别求出通话费用y1，y2与通话时间x之间的函数解析式；
（2）请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜．
【解析】
（1）由图象可设y1＝k1x＋29，y2＝k2x，把点B（30,35），C（30,15）分别代入y1＝k1x＋29，y2＝k2x，得k1＝
，k2＝
.
∴y1＝
x＋29（x≥0），y2＝
x（x≥0）．
（2）令y1＝y2，即
x＋29＝
x，则x＝96
.
当x＝96
时，y1＝y2，两种卡收费一致；
当x<96
时，y1>y2，使用“便民卡”便宜；
当x>96
时，y114．通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间一段时间，学生保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设f（t）表示学生注意力随时间t（min）的变化规律（f（t）越大，表明学生注意力越集中），经实验分析得知：
f（t）＝
（1）讲课开始多少分钟，学生的注意力最集中？
能持续多少分钟？
（2）讲课开始后5min与讲课开始后25min比较，何时学生的注意力更集中？
（3）一道数学难题，需要讲解24min，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需要的状态下讲完这道题目？
【解析】
（1）当0＜t≤10时，f（t）＝－t2＋24t＋100是增函数，当20＜t≤40时，f（t）＝－7t＋380是减函数，且f（10）＝f（20）＝240，所以讲课开始10min，学生的注意力最集中，能持续10min.
（2）因为f（5）＝195，f（25）＝205，
所以讲课开始后25min比讲课开始后5min学生的注意力更集中．
（3）当0＜t≤10时，令f（t）＝－t2＋24t＋100＝180，得t＝4，
当20＜t≤40时，令f（t）＝－7t＋380＝180，得t≈28.57，
又28.57－4＝24.57＞24，
所以经过适当的安排，老师可以在学生达到所需要的状态下讲完这道题目.
15．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润S（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和S与t之间的关系）．根据图象提供的信息解答下列问题：
（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润S（万元）与时间t（月）之间的函数关系式；
（2）求截止到第几个月末公司累积利润可达到30万元；
（3）求第八个月公司所获得的利润．
【解析】
（1）设S与t的函数关系式为S＝at2＋bt＋c（a≠0）．
由题中函数图象过点D（1，－1.5），C（2，－2），A（5,2.5），得
，解得
∴所求函数关系式为S＝0.5t2－2t（t≥0）．
（2）把S＝30代入，得30＝0.5t2－2t，解得t1＝10，t2＝－6（舍去），
∴截止到第十个月末公司累积利润可达到30万元．
（3）第八个月公司所获得的利润为
0．5×82－2×8－0.5×72＋2×7＝5.5（万元），
∴第八个月公司所获得的利润为5.5万元．
16.（2019·安徽六安一中高一月考）食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用给人民群众的健康带来了一定的危害．为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入资金
万元，搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入资金
万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜．根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入
、种黄瓜的年收入
与各自的资金投入
（单位：
万元）满足
，
．设甲大棚的资金投入为
（单位：
万元），每年两个大棚的总收入为
（单位：
万元）．
（1）求
的值；
（2）试问如何安排甲、乙两个大棚的资金投入，才能使总收入
最大．
【解析】
（1）当甲大棚的资金投入为50万元时，乙大棚资金投入为150万元，
则由足
，
．
可得总收益为
万元；
（2）根据题意，可知总收益为
满足
，解得
，
令
，
所以
，
因为
，
所以当
即
时总收益最大，最大收益为
万元，
所以当甲大棚投入资金为128万元，乙大棚投入资金为72万元时，总收益最大，最大收益为282万元.
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