六年级高斯学校竞赛几何综合一含答案.docx

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六年级高斯学校竞赛几何综合一含答案

第7讲几何综合一

内容概述

复杂的长度、角度计算；复杂的直线形比例关系；具有一定综合性的直线形计算问题．

典型问题

兴趣篇

1．图7-1中八条边的长度正好分别是1、2、3、4、5、6、7、8厘米．已知a=2厘米，b=4厘米，c=5厘米，求图形的面积．

2．如图7-2所示，∠l+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6等于多少度？

3．如图7-3，平行四边形ABCD的周长为75厘米，以BC为底时高是14厘米，以CD为底时高是16厘米．求平行四边形ABCD的面积。

4．如图7-4，一个边长为1米的正方形被分成4个小长方形，它们的面积分别是

平方米、

平方米、

平方米和

平方米．已知图中的阴影部分是正方形，那么它的面积是多少平方米？

5．如图7-5，红、黄、绿三块大小一样的正方形纸片，放在一个正方体盒内，它们之间相互重叠，已知露在外面的部分中，红色的面积是20，黄色的面积是14，绿色的面积是10.那么，正方体盒子的底面积是多少？

6．如图7-6，在三角形ABC中，IF和BC平行，GD和AB平行，HE和AC平行．已知AG：

GF：

FC=4:

3:

2，那么AH:

HI:

IB和BD:

DE:

EC分别是多少？

7．如图7-7，已知三角形ABC的面积为1平方厘米，D、E分别是AB、AC边的中点，求三角形OBC的面积．

8．在图7-8的正方形中，A、B、C分别是ED、EG、GF的中点．请问：

三角形CDO的面积是三角形ABO面积的几倍？

9．如图7-9，ABCD是平行四边形，面积为72平方厘米，E、F分别为边AB、BC的中点，则阴影部分的面积为多少平方厘米？

10．如图7-10，在三角形ABC中，CE=2AE，F是AD的中点，三角形ABC的面积是1，那么阴影部分的面积是多少？

拓展篇

1．如图7-11，A、B是两个大小完全一样的长方形，已知这两个长方形的长比宽长8厘米，图7-11中的字母表示相应部分的长度，问：

A、B中阴影部分的周长哪个长？

长多少？

2．如图7-12．ABCDE是正五边形，CDF是正三角形，∠BFE等于多少度？

3．一个各条边分别为5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形，将它的短直角边对折到斜边上去与斜边相重合，如图7-13所示，问：

图中的阴影部分（即折叠的部分）的面积是多少平方厘米？

4．在图7-14中大长方形被分为四个小长方形，面积分别为12、24、36、48.请问：

图中阴影部分的面积是多少？

5．三个面积都是12的正方形放在一个长方形的盒子里面，如图7-15，盒中空白部分的面积已经标出，求图中大长方形的面积．

6．如图7-16，三角形ABC的面积为1．D、E分别为AB、AC的中点．F、G是BC边上的三等分点．请问：

三角形DEF的面积是多少？

三角形DOE的面积是多少？

7．如图7-17，梯形ABCD的上底AD长10厘米，下底BC长15厘米．如果EF与上、下底平行，那么EF的长度为多少？

8．如图7-18，正六边形的面积为6，那么阴影部分的面积是多少？

9．两盏4米高的路灯相距10米，有一个身高1.5米的同学行走在这两盏路灯之间，那么他的两个影子总长度是多少米？

10．如图7-19，D是长方形ABCD一条对角线的中点，图中已经标出两个三角形的面积为3和4，那么阴影直角三角形的面积是多少？

11．如图7-20，在三角形ABC中，AE=ED，D点是BC的四等分点，阴影部分的面积占三角形ABC面积的几分之几？

12.如图7-21，在三角形ABC中，三角形AEO的面积是1，三角形ABO的面积是2，三角形BOD的面积是3，则四边形DCEO的面积是多少？

超越篇

1．如图7-22，长方形的面积是60平方厘米，其内3条长度相等且两两夹角为120°的线段将长方形分成了两个梯形和一个三角形．请问：

一个梯形的面积是多少平方厘米？

2．如图7-23，P是三角形ABC内一点，DE平行于AB，FG平行于BC，HI平行于CA，四边形AIPD的面积是12，四边形PGCH的面积是15，四边形BEPF的面积是20.请问：

三角形ABC的面积是多少？

3．如图7-24所示，正方形ABCD的面积为1．E、F分别是BC和DF的中点，DE与BF交于M点，DE与AF交于Ⅳ点，那么阴影三角形MFN的面积为多少？

4．如图7-25，三角形ABC的面积为1，D、E、F分别是三条边上的三等分点，求阴影三角形的面积．

5．如图7-26，小悦测出家里瓷砖的长为24厘米，宽为10厘米，而且还测出了边上的中间线段均为4厘米，那么中间菱形的面积是多少平方厘米？

6．如图7-27，ED垂直于等腰梯形ABCD的上底AD，并交BC于G，AE平行于BD，∠DCB=45°，且三角形ABD和三角形EDC的面积分别为75、45，那么三角形AED的面积是多少？

7．在长方形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA上的点，将长方形的四个角分别沿着HE、EF、FG、GH对折后，A点与B点重合，C点与D点重合．已知EH=3，EF=4，求线段AD与AB的长度比．

8．如图7-28，在长方形ABCD中，AE:

ED=AF:

AB=BG:

GC.已知△EFC的面积为20，△FGD的面积为16，那么长方形ABCD的面积是多少？

第7讲几何综合一

兴趣篇

1.图中八条边的长度正好分别是1、2、3、4、5、6、7、8厘米。

已知a=2厘米，b=4厘米，c=5厘米，求图形的面积。

【分析】S=2⨯7+1⨯6+5⨯3=14+6+15=35（cm2）

2.如图所示，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6等于多少度？

【分析】将这六个角用中心六边形的六个内角代换，利用六边形内角和为720，列方程得

（180-∠1）+（180-∠2）+（180-∠3）+（180-∠4）+（180-∠5）+（180-∠6）=720，所以∠1+∠2+∠3+∠4+∠5）+∠6=360

3.如图，平行四边形ABCD的周长为75厘米。

以BC为底时高是14厘米，以CD为底时

高是16厘米。

求平行四边形ABCD的面积。

【分析】BC+CD=75÷2=37.5,根据面积相等，底的比与高的比成反比例，所以

BC:

CD=16:

14=8:

7,因此BC=37.5÷（8+7）⨯8=20,平行四边形ABCD的面积是

20⨯14=280平方厘米

4.如图所示，一个边长为1米的正方形被分成4个小长方形，它们的面积分别是3平方

10

米、2平方米、1平方米和1平方米。

已知图中的阴影部分是正方形，那么它的面积是

5510

多少平方米？

【分析】CH

1

=5=2,因此CH=2

3

HD=1,AE=10=3,所以AE=3,EB=4,因此

HD11

10

33EB

2477

5

FG=2-3=5,那么它的面积是⎛=5⎫=25

⎝⎭

平方米

21

3721

ç⎪441

5.如图，红、黄、绿三块大小一样的正方形纸片，放在一个正方体盒内，它们之间相互重叠。

已知露在外面的部分中，红色的面积是20，黄色的面积是14，绿色的面积是10。

那么，正方体盒子的底面积是多少？

黄

红

绿

【分析】将黄色纸片推到左边，则每块纸片露出的形状如右上图.黄、绿两色的面积之和保持14+10=24不变，则在右图中这两块面积相等，均为24÷2=12.根据公式可知，空白处面积=黄⨯绿÷红=12⨯12÷20=7.2，则正方形盒底面积是

7.2+12+12+20=51.2.

6.如图，在三角形ABC中，IF和BC平行，GD和AB平行，HE和AC平行。

已知AG：

GF：

FC=4:

3:

2，那么AH：

HI：

IB和BD：

DE：

EC分别是多少？

A

H

G

IOF

BDEC

【分析】连接AO,BO.CO,设S

△AOG

=4a，则S

2

△GOF

=3a，S

△COF

=2a，那么S

△AOH

=4a，

S△COE=2a，根据相似

2

S△GOF

S△AIF

⎛=3⎫

ç⎪

⎝7⎭

==9

49

所以

S△GOF

SGOIA

2

=,则S△HOI=

40

16a，又

3

S△GOF

⎛3=⎫

ç⎪

=9,所以S

△DOE

=4a，S△AIF

⎛7=⎫

ç⎪

=49,因此S

9

BDOI

=16a，那么

S△GDC

⎝5⎭25

3S△ABC

⎝9⎭813

S△BOI

=S△BOD

=8a

3

，因此

AH:

HI:

IB=4a:

16a:

8a=3:

4:

2BD:

DE:

EC=8a:

4a:

2a=4:

2:

3

3333

7.如图，已知三角形ABC的面积为1平方厘米，D、E分别是AB、AC边的中点，求三角形OBC的面积。

【分析】因为DE是△ABC的中线，所以S=3,设S

=a，根据梯形蝴蝶定理有

四边形BCED4

△ODE

a+2a+4a+2a=9a=3，所以a=

1所以S=4⨯1=1

412

△OBC

123

8.在图中的正方形中，A、B、C分别是ED、EG、GF的中点。

请问：

三角形CDO的面积是三角形ABO面积的几倍？

【分析】设正方形的面积为1，则S=1,S

△ABO

1

=S△AOD=

所以S=1-1=

3,因

416

此三角形CDO的面积是三角形ABO面积的3倍

41616

9.如图，ABCD是平行四边形，面积为72平方厘米，E、F分别为边AB、BC的中点，则阴影部分的面积为多少平方厘米？

AGD

OE

H

M

BFC

【分析】设G、H分别为AD、DC的中点，连接GH、EF、BD．

可得S

AED

1

=4S平行四边形ABCD，

对角线BD被EF、AC、GH平均分成四段，又OM∥EF，所以

23

DO:

ED=

BD:

44

BD=2:

3，OE:

ED=（ED-OD）:

ED=（3-2）:

3=1:

3，

所以SAEO

=1⨯1S

34

平行四边形ABCD

=1⨯1⨯72=6

34

（平方厘米），

SADO=2⨯SAEO=12（平方厘米）．

同理可得SCFM

=6平方厘米，SCDM=12平方厘米．

所以SABC-SAEO-SCFM

=36-6-6=24（平方厘米），

于是，阴影部分的面积为24+12+12=48（平方厘米）．

10.如图，在三角形ABC中，CE=2AE，F是AD的中点，三角形ABC的面积是1，那么阴影部分的面积是多少？

A

33EF3

12

B

DC

【分析】连接CF，

根据燕尾定理，S△ABF=BD=1，S△ABF=AE=1,

S△ACF

DC2

S△CBFEC

设S△BDF=1份，则S△DCF=2份，S△ABF

=3份，S△AEF=S△EFC=3份，如图所标

所以SDCEF

55

=S△ABC=

1212

◇◇拓展篇◇◇

1.如图，A、B是两个大小完全一样的长方形，已知这两个长方形的长比宽长8厘米，图中的字母表示相应部分的长度。

问：

A、B中阴影部分的周长哪个长？

长多少？

A

【分析】C

=2（a+a-b）+2（b+2b）=4a+4b，C

=2（a+2b+a+b）=4a+6b，因此B的周长

大，长了2b,因为两个长方形的长比宽长8厘米，即（a+2b）-（a+b）=8，即b=8，所以长了2b=16厘米

2.如图，ABCDE是正五边形，CDF是正三角形，∠BFE等于多少度？

B

【分析】∠BCF=108-60=48=∠EDF

因为

BC=CF,DF=DE

所以

∠BFC=∠EFD=（180-48）÷2=66,因此∠BFE=360-66⨯2-60=168

3.一个各条边分别为5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形，将它的短直角边对折到斜边上去与斜边相重合，如图所示。

问：

图中的阴影部分（即折叠的部分）的面积是多少平方厘米？

A

D

x

B

C

【分析】设CD=x，有13x=（12-x）⨯5，解得x=10，所以S=1⨯10⨯5=25平方厘米

3阴影

233

4.图中大长方形被分成四个小长方形，面积分别为12、24、36、48。

请问：

图中阴影部分的面积是多少？

【分析】如图，阴影部分的面积等于1⨯EF⨯CD，所以，设大长方形的长为AB=a厘米，

2

宽为CD=b厘米，则有：

EF的长度为：

48a-12

a=5a所以，阴影部

48+3612+2421

分的面积为1⨯5a⨯b=1⨯5⨯120=100（平方厘米）

2212217

5.三个面积都是12的正方形放在一个长方形的盒子里面，如图，盒中空白部分的面积已经标出，求图中大长方形的面积。

【分析】将中间的正方形卡片往左移动，可得到新的下右图的长方形盒子

在移动的过程中，最下方空白部分的面积没有变动，仍为3；而且空白部分面积和相等。

移动后，左边和中间的正方形纸片共同拥有一个小正方形，则其各部分面积如下图：

3

6

3

令面积为3的正方形的边长为a，则有a2=3，而面积为6的长方形中的长为2a，即大的正

方方形纸片的边长为2a。

所以整个外面的长方形的长为5a，宽为3a。

所以其面积为

15a2=45.

6.如图，三角形ABC的面积为1。

D、E分别为AB、AC的中点。

F、G分别为BC边上的三等分点。

请问：

三角形DEF的面积是多少？

三角形DOE的面积是多少？

A

15a

DE

10a

BF

6aO

6a

4a

G

10a

C

1

【分析】连接GE,DE=1,DE=1BC,FG=1BC,所以FG=3=2,设S

=4a，则

BC22

3DE

S△ADE1

13

2

△OFG

S四边形DECB=4a+6a+9a+6a+10a+10a=45a

=

S△ABC4

所以

S△ADE=15a，因此

S=60a=1，即a=1，所以S

△ABC60

△DEF

=15a=1⨯15=1

604

△DOE

=9a=1⨯9=3

6020

7.如图，梯形ABCD的上底AD长10厘米，下底BC长15厘米。

如果EF与上、下底平行，那么EF的长度是多少？

【分析】AO=10=2,OF=3,所以OF=3⨯10=6厘米,EO=2,EO=2⨯15=6厘米,因

OC153

AD55

BC55

此EF=6+6=12厘米

8.如图，正六边形的面积为6，那么阴影部分的面积是多少？

【分析】连接FC，根据梯形蝴蝶定理，面积为4⨯6=8

93

AF

BE

CD

9.两盏4米高的路灯相距10米，有一个身高1.5米的同学行走在这两盏路灯之间，那么

他的两个影子总长度是多少米？

【分析】设每人的影子长为x米，根据相似有1.5=

4

x

x+5

，解得x=3，所以他的两个影子总

长度是2x=2⨯3=6米

10.如图，O是长方形ABCD一条对角线的中点，图中已经标出两个三角形的面积为3和4，那么阴影直角三角形的面积是多少？

ADE

O

B

FC

【分析】连接CO,根据题意有

2

S△COE=4-3=1

所以

DE=3OE,即

EF=BE=5,

S阴影

⎛5=⎫

ç⎪

=25,即S=25⨯8=25

CDBD

8S△BCD

⎝8⎭64

648

11.如图，在三角形ABC中，AE=ED，D点是BC的四等分点，阴影部分的面积占三角形ABC面积的几分之几？

A

3EF

31

BDC

【分析】设S=1,则S=S

=3,根据燕尾模型有S=1,AF=S△ABE

=3,所以

△CDE

△BDE

△ABE

△AEC

CFS△BCE4

3S阴影

3

3+73

S△AEF=,因此

△ABC

==

3+3+1+17

12.如图，在三角形ABC中，三角形AEO的面积是1，三角形ABO的面积是2，三角形BOD

的面积是3，则四边形DCEO的面积是多少？

A

1E

2O

3x

B

DC

【分析】连接OC,设S

=x，S△COD=DO=3,所以S

=2x，则S

=2x-1

△COD

S△AOCAO2

2x-1

△AOC3

△COE3

有S△BCO=S△COE,3+x=3，所以x=15，因此S

四边形DCEO

=5x-1=24

S△ABO

S△AOE213

◇◇超越篇◇◇

1.如图，长方形的面积是60平方厘米，其内3条长度相等且两两夹角为120°的线段将长

方形分成了两个梯形和一个三角形。

请问：

一个梯形的面积是多少平方厘米？

4

1

1

【分析】如图，添加辅助线，长方形被分成了12份。

梯形占5份，所以，梯形面积=60÷12×5=25（平方厘米）

2.如图，P是三角形ABC内一点，DE平行于AB，FG平行于BC，HI平行于CA，四边形AIPD的面积是12，四边形PGCH的面积是15，四边形BEPF的面积是20。

请问：

三角形ABC的面积是多少？

【解析】本题主要应用：

夹在平行线间的平行四边形面积之比等于底边长度之比（等高）。

由于SAIPD:

SPHCG=IP:

PH

所以，IP:

PH=12:

15=4:

5

同理可推，PD:

PE=3:

5，FP:

PE=4:

3

连接ID，即可利用共角定理求SPEH=12.5

同理，可求其余部分。

答案：

三角形ABC的面积是72平方厘米。

3.如图所示，正方形ABCD的面积为1。

E、F分别是BC和DF的重点，DE与BF交于

M点，DE与AF交于N点，那么阴影三角形MFN的面积为多少？

AD

NG

MF

BEC

【分析】

过F点做FG∥EC

则，FG=DF=1

ECDC2

又BC=2EC

∴AD=4FG,BE=2FG

∴FG

=1,FG=1

AD4BE2

FG//AD//BC

∴FN

=FG=1,FM

=FG=1

ANAD

4BMBE2

∴SFNM

=1⨯1=1

SABF

∴SFNM

5315

=1S=1⨯1=1

15ABF15230

4.如图，三角形ABC的面积为1，D、E、F分别是三条边上的三等分点，求阴影三角

形的面积。

答案：

1

7

5.如图，小悦测出家里的瓷砖的长为24厘米，宽为10厘米，而且还测出了边上的中间线段均为4厘米，那么中间菱形的面积是多少平方厘米？

AB

h1

M

4Nh2QP

CD

4

【分析】连接CD

则CD=24

∴AB:

CD=4:

24=1:

6

12

∴h:

h

=AB:

CD=1:

6

又h1+h2=3+4=7（cm）,∴h1=1（cm）

∴MP=10-2=8（cm）

同理，NQ=16（cm）

∴S菱形

=1⨯8⨯16=6（4cm2