六年级高斯学校竞赛几何综合一含答案.docx

1、六年级高斯学校竞赛几何综合一含答案第7讲几何综合一内容概述 复杂的长度、角度计算；复杂的直线形比例关系；具有一定综合性的直线形计算问题典型问题兴趣篇1图7-1中八条边的长度正好分别是1、2、3、4、5、6、7、8厘米已知a=2厘米，b=4厘米，c=5厘米，求图形的面积2如图7-2所示，l+2+3+4+5+6等于多少度？3如图7-3，平行四边形ABCD的周长为75厘米，以BC为底时高是14厘米，以CD为底时高是16厘米求平行四边形ABCD的面积。4如图7-4，一个边长为1米的正方形被分成4个小长方形，它们的面积分别是平方米、平方米、平方米和平方米已知图中的阴影部分是正方形，那么它的面积是多少平方

2、米？5如图7-5，红、黄、绿三块大小一样的正方形纸片，放在一个正方体盒内，它们之间相互重叠，已知露在外面的部分中，红色的面积是20，黄色的面积是14，绿色的面积是10.那么，正方体盒子的底面积是多少？6如图7-6，在三角形ABC中，IF和BC平行，GD和AB平行，HE和AC平行已知AG：GF：FC =4:3:2，那么AH: HI: IB和BD: DE: EC分别是多少？7如图7-7，已知三角形ABC的面积为1平方厘米，D、E分别是AB、AC边的中点，求三角形OBC的面积8在图7-8的正方形中，A、B、C分别是ED、EG、GF的中点请问：三角形CDO的面积是三角形ABO面积的几倍？9如图7-9，

3、ABCD是平行四边形，面积为72平方厘米，E、F分别为边AB、BC的中点，则阴影部分的面积为多少平方厘米？10如图7-10，在三角形ABC中，CE=2AE，F是AD的中点，三角形ABC的面积是1，那么阴影部分的面积是多少？拓展篇1如图7-11，A、B是两个大小完全一样的长方形，已知这两个长方形的长比宽长8厘米，图7-11中的字母表示相应部分的长度，问：A、B中阴影部分的周长哪个长？长多少？2如图7-12ABCDE是正五边形，CDF是正三角形，BFE等于多少度？3一个各条边分别为5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形，将它的短直角边对折到斜边上去与斜边相重合，如图7-13所示，问：图中的阴影部分

4、（即折叠的部分）的面积是多少平方厘米？4在图7-14中大长方形被分为四个小长方形，面积分别为12、24、36、48.请问：图中阴影部分的面积是多少？5三个面积都是12的正方形放在一个长方形的盒子里面，如图7-15，盒中空白部分的面积已经标出，求图中大长方形的面积6如图7-16，三角形ABC的面积为1D、E分别为AB、AC的中点F、G是BC边上的三等分点请问：三角形DEF的面积是多少？三角形DOE的面积是多少？7如图7-17，梯形ABCD的上底AD长10厘米，下底BC长15厘米如果EF与上、下底平行，那么EF的长度为多少？8如图7-18，正六边形的面积为6，那么阴影部分的面积是多少？9两盏4米高

5、的路灯相距10米，有一个身高1.5米的同学行走在这两盏路灯之间，那么他的两个影子总长度是多少米？10如图7-19，D是长方形ABCD一条对角线的中点，图中已经标出两个三角形的面积为3和4，那么阴影直角三角形的面积是多少？11如图7-20，在三角形ABC中，AE= ED，D点是BC的四等分点，阴影部分的面积占三角形ABC面积的几分之几？12.如图7-21，在三角形ABC中，三角形AEO的面积是1，三角形ABO的面积是2，三角形BOD的面积是3，则四边形DCEO的面积是多少？超越篇1如图7 - 22，长方形的面积是60平方厘米，其内3条长度相等且两两夹角为120的线段将长方形分成了两个梯形和一个三

6、角形请问：一个梯形的面积是多少平方厘米？2如图7-23，P是三角形ABC内一点，DE平行于AB，FG平行于BC，HI平行于CA，四边形AIPD的面积是12，四边形PGCH的面积是15，四边形BEPF的面积是20.请问：三角形ABC的面积是多少？3如图7 -24所示，正方形ABCD的面积为1E、F分别是BC和DF的中点，DE与BF交于M点，DE与AF交于点，那么阴影三角形MFN的面积为多少？4如图7 -25，三角形ABC的面积为1，D、E、F分别是三条边上的三等分点，求阴影三角形的面积5如图7-26，小悦测出家里瓷砖的长为24厘米，宽为10厘米，而且还测出了边上的中间线段均为4厘米，那么中间菱形

7、的面积是多少平方厘米？6如图7-27，ED垂直于等腰梯形ABCD的上底AD，并交BC于G，AE平行于BD，DCB =45，且三角形ABD和三角形EDC的面积分别为75、45，那么三角形AED的面积是多少？7在长方形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA上的点，将长方形的四个角分别沿着HE、EF、FG、GH对折后，A点与B点重合，C点与D点重合已知EH =3，EF =4，求线段AD与AB的长度比8如图7-28，在长方形ABCD中，AE: ED= AF:AB= BG: GC.已知EFC的面积为20，FGD的面积为16，那么长方形ABCD的面积是多少？第 7 讲 几何综合一兴趣篇1

8、. 图中八条边的长度正好分别是 1、2、3、4、5、6、7、8 厘米。已知 a = 2 厘米， b = 4 厘 米， c = 5 厘米，求图形的面积。【分析】 S = 2 7 +1 6 + 5 3 =14 + 6 +15 = 35(cm 2 )2. 如图所示， 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 等于多少度？【分析】将这六个角用中心六边形的六个内角代换，利用六边形内角和为 720 ，列方程得(180 - 1) + (180 - 2) + (180 - 3) + (180 - 4) + (180 - 5) + (180 - 6) = 720 ， 所以1 + 2 + 3 + 4 + 5)

9、+ 6 = 3603. 如图，平行四边形 ABCD 的周长为 75 厘米。以 BC 为底时高是 14 厘米，以 CD 为底时高是 16 厘米。求平行四边形 ABCD 的面积。【分析】 BC + CD = 75 2 = 37.5 , 根 据 面 积 相 等 ， 底 的 比 与 高 的 比 成 反 比 例 ， 所 以BC : CD = 16 : 14 = 8 : 7 ,因此 BC = 37.5 (8 + 7) 8 = 20 ,平行四边形 ABCD 的面积是20 14 = 280 平方厘米4. 如图所示，一个边长为 1 米的正方形被分成 4 个小长方形，它们的面积分别是 3 平方10米、 2 平方米

10、、 1 平方米和 1 平方米。已知图中的阴影部分是正方形，那么它的面积是5 5 10多少平方米？【分析】 CH1= 5 = 2 , 因此 CH = 23, HD = 1 , AE = 10 = 3 , 所以 AE = 3 , EB = 4 , 因此HD 1 1103 3 EB 2 4 7 75FG = 2 - 3 = 5 ,那么它的面积是 = 5 = 25 平方米213 7 21 4415. 如图，红、黄、绿三块大小一样的正方形纸片，放在一个正方体盒内，它们之间相互重 叠。已知露在外面的部分中，红色的面积是 20，黄色的面积是 14，绿色的面积是 10。那么，正方体盒子的底面积是多少？黄红绿【

11、分析】将黄色纸片推到左边，则每块纸片露出的形状如右上图.黄、绿两色的面积之和保 持 14+10=24 不变，则在右图中这两块面积相等，均为 24 2 = 12 .根据公式可知， 空 白 处 面 积 = 黄 绿 红 = 12 12 20 = 7.2 ， 则 正 方 形 盒 底 面 积 是7.2 + 12 + 12 + 20 = 51.2 .6. 如图，在三角形 ABC 中， IF 和 BC 平行， GD 和 AB 平行， HE 和 AC 平行。已知 AG ：GF ： FC =4:3:2，那么 AH ： HI ： IB 和 BD ： DE ： EC 分别是多少？AHGI O FB D E C【分析

12、】连接 AO, BO.CO ,设 S AOG= 4a ， 则 S2GOF= 3a ， SCOF= 2a ， 那么 S AOH= 4a ，SCOE = 2a ， 根据相似2SGOFSAIF =3 7 = = 949, 所以SGOFSGOIA2= , 则 S HOI =4016 a ，又3SGOF 3= = 9 ,所以 SDOE= 4 a ， S AIF 7= = 49 ,因此 S9 BDOI= 16 a ，那么SGDC 5 253 SABC 9 81 3SBOI= SBOD= 8 a3， 因 此AH : HI : IB = 4a : 16 a : 8 a = 3 : 4 : 2 BD : DE

13、: EC = 8 a : 4 a : 2a = 4 : 2 : 33 3 3 37. 如图，已知三角形 ABC 的面积为 1 平方厘米， D 、 E 分别是 AB 、 AC 边的中点，求三 角形 OBC 的面积。【分析】因为 DE 是 ABC 的中线，所以 S = 3 ,设 S= a ，根据梯形蝴蝶定理有四边形BCED 4ODEa + 2a + 4a + 2a = 9a = 3 ，所以a =1 所以 S = 4 1 = 14 12OBC12 38. 在图中的正方形中， A 、 B 、 C 分别是 ED 、 EG 、 GF 的中点。请问：三角形 CDO 的 面积是三角形 ABO 面积的几倍？【分

14、析】设正方形的面积为1 ，则 S = 1 , SABO1= SAOD =,所以 S = 1 - 1 =3 ,因4 16此三角形 CDO 的面积是三角形 ABO 面积的 3 倍4 16 169. 如图， ABCD 是平行四边形，面积为 72 平方厘米， E 、 F 分别为边 AB 、 BC 的中点， 则阴影部分的面积为多少平方厘米？A G DO EHMB F C【分析】设 G 、 H 分别为 AD 、 DC 的中点，连接 GH 、 EF 、 BD 可得 S AED1= 4 S平 行四边形ABCD ，对 角 线 BD 被 EF 、 AC 、 GH 平 均 分 成 四 段 ， 又 OM EF ， 所

15、 以2 3DO : ED =BD :4 4BD = 2 : 3 ， OE : ED = (ED - OD ) : ED = ( 3 - 2) : 3 = 1 : 3 ，所 以 S AEO= 1 1 S3 4平行四边形ABCD= 1 1 72 = 63 4( 平 方 厘 米 ) ，S ADO = 2 S AEO = 12 (平方厘米)同理可得 S CFM= 6 平方厘米， S CDM = 12 平方厘米所以 S ABC - S AEO - S CFM= 36 - 6 - 6 = 24 (平方厘米)，于是，阴影部分的面积为 24 + 12 + 12 = 48 (平方厘米)10. 如图，在三角形 A

16、BC 中，CE = 2AE ， F 是 AD 的中点，三角形 ABC 的面积是 1，那么 阴影部分的面积是多少？A3 3 E F 31 2BD C【分析】连接 CF ，根据燕尾定理， S ABF = BD = 1 ， S ABF = AE = 1 ,S ACFDC 2SCBF EC设 S BDF = 1 份，则 SDCF = 2 份， S ABF= 3 份， S AEF = SEFC = 3 份，如图所标所以 SDCEF5 5= SABC =12 12 拓展篇 1. 如图， A 、 B 是两个大小完全一样的长方形，已知这两个长方形的长比宽长 8 厘米，图 中的字母表示相应部分的长度。问： A

17、、 B 中阴影部分的周长哪个长？长多少？A【分析】 C= 2(a + a - b) + 2(b + 2b) = 4a + 4b ， C= 2(a + 2b + a + b) = 4a + 6b ，因此 B 的周长大，长了 2b ,因为两个长方形的长比宽长 8 厘米，即 (a + 2b ) - (a + b ) = 8 ，即 b = 8 ， 所以长了 2b = 16 厘米2. 如图， ABCDE 是正五边形， CDF 是正三角形， BFE 等于多少度？B【分析】 BCF = 108 - 60 = 48 = EDF, 因 为BC = CF , DF = DE, 所 以BFC = EFD = (18

18、0 - 48) 2 = 66 ,因此 BFE = 360 - 66 2 - 60 = 168 3. 一个各条边分别为 5 厘米、12 厘米、13 厘米的直角三角形，将它的短直角边对折到斜 边上去与斜边相重合，如图所示。问：图中的阴影部分（即折叠的部分）的面积是多少 平方厘米？ADxBC【分析】设 CD = x ，有13 x = (12 - x) 5 ，解得 x = 10 ，所以 S = 1 10 5 = 25 平方厘米3 阴影2 3 34. 图中大长方形被分成四个小长方形，面积分别为 12、24、36、48。请问：图中阴影部分 的面积是多少？【分析】如图，阴影部分的面积等于 1 EF CD ，

19、所以，设大长方形的长为 AB = a 厘米，2宽为 CD = b 厘米，则有： EF 的长度为： 48 a - 12a = 5 a 所以，阴影部48 + 36 12 + 24 21分的面积为 1 5 a b = 1 5 120 = 100 (平方厘米)2 21 2 21 75. 三个面积都是 12 的正方形放在一个长方形的盒子里面，如图，盒中空白部分的面积已 经标出，求图中大长方形的面积。【分析】将中间的正方形卡片往左移动，可得到新的下右图的长方形盒子在移动的过程中，最下方空白部分的面积没有变动，仍为 3；而且空白部分面积和相等。移动后，左边和中间的正方形纸片共同拥有一个小正方形，则其各部分面

20、积如下图：363令面积为 3 的正方形的边长为 a，则有 a2 = 3 ，而面积为 6 的长方形中的长为 2a，即大的正方方形纸片的边长为 2a 。所以整个外面的长方形的长为 5a ，宽为 3a 。所以其面积为15a 2 = 45 .6. 如图，三角形 ABC 的面积为 1。 D 、 E 分别为 AB 、 AC 的中点。 F 、 G 分别为 BC 边 上的三等分点。请问：三角形 DEF 的面积是多少？三角形 DOE 的面积是多少？A15aD E10aB F6a O6a4aG10aC1【分析】连接 GE , DE = 1 , DE = 1 BC , FG = 1 BC ,所以 FG = 3 =

21、2 ,设 S= 4 a ，则BC 2 23 DES ADE 1 1 32OFGS四边形DECB = 4a + 6a + 9a + 6a + 10a + 10a = 45a=SABC 4, 所 以SADE = 15 a ， 因 此S = 60a = 1 ，即 a = 1 ，所以 S ABC 60DEF= 15a = 1 15 = 160 4DOE= 9a = 1 9 = 360 207. 如图，梯形 ABCD 的上底 AD 长 10 厘米，下底 BC 长 15 厘米。如果 EF 与上、下底平行， 那么 EF 的长度是多少？【分析】 AO = 10 = 2 , OF = 3 ,所以 OF = 3

22、10 = 6 厘米, EO = 2 , EO = 2 15 = 6 厘米,因OC 15 3AD 5 5BC 5 5此 EF = 6 + 6 =12 厘米8. 如图，正六边形的面积为 6，那么阴影部分的面积是多少？【分析】连接 FC，根据梯形蝴蝶定理，面积为 4 6 = 89 3A FB EC D9. 两盏 4 米高的路灯相距 10 米，有一个身高 1.5 米的同学行走在这两盏路灯之间，那么他的两个影子总长度是多少米？【分析】设每人的影子长为 x 米，根据相似有 1.5 =4xx + 5，解得 x = 3 ，所以他的两个影子总长度是 2 x = 2 3 = 6 米10. 如图，O 是长方形 AB

23、CD 一条对角线的中点，图中已经标出两个三角形的面积为 3 和 4， 那么阴影直角三角形的面积是多少？A D EOBF C【分析】连 接 CO , 根 据 题 意 有2SCOE = 4 - 3 = 1, 所 以DE = 3OE , 即EF = BE = 5 ,S阴影 5= = 25 ,即 S = 25 8 = 25CD BD8 SBCD 8 6464 811. 如图，在三角形 ABC 中， AE = ED ， D 点是 BC 的四等分点，阴影部分的面积占三角 形 ABC 面积的几分之几？A3 E F3 1B D C【分析】设 S = 1 ,则 S = S= 3 ,根据燕尾模型有 S = 1 ,

24、 AF = SABE= 3 ,所以CDEBDEABEAECCF SBCE 43 S阴影33 + 7 3S AEF = ,因此 ABC= =3 + 3 +1 + 1 712. 如图，在三角形 ABC 中，三角形 AEO 的面积是 1，三角形 ABO 的面积是 2，三角形 BOD的面积是 3，则四边形 DCEO 的面积是多少？A1 E2 O3 xBD C【分析】连接 OC ,设 S= x ， SCOD = DO = 3 ,所以 S= 2 x ，则 S= 2 x -1CODS AOC AO 22 x -1AOC 3COE 3有 SBCO = SCOE , 3 + x = 3 ，所以 x = 15 ，

25、因此 S四边形DCEO= 5 x -1 = 24SABOSAOE 2 1 3 超越篇 1. 如图，长方形的面积是 60 平方厘米，其内 3 条长度相等且两两夹角为 120的线段将长方形分成了两个梯形和一个三角形。请问：一个梯形的面积是多少平方厘米？411【分析】如图，添加辅助线，长方形被分成了 12 份。 梯形占 5 份，所以， 梯形面积=60125=25（平方厘米）2. 如图， P 是三角形 ABC 内一点， DE 平行于 AB ， FG 平行于 BC ， HI 平行于CA ，四 边形 AIPD 的面积是 12，四边形 PGCH 的面积是 15，四边形 BEPF 的面积是 20。请问：三角形

26、 ABC 的面积是多少？【解析】 本题主要应用：夹在平行线间的平行四边形面积之比等于底边长度之比（等高）。 由于 S AIPD:S PHCG=IP:PH所以，IP:PH=12:15=4:5同理可推，PD:PE=3:5，FP:PE=4:3连接 ID，即可利用共角定理求 SPEH =12.5同理，可求其余部分。答案：三角形 ABC 的面积是 72 平方厘米。3. 如图所示，正方形 ABCD 的面积为 1。 E 、 F 分别是 BC 和 DF 的重点， DE 与 BF 交于M 点， DE 与 AF 交于 N 点，那么阴影三角形 MFN 的面积为多少？A DN GM FB E C【分析】过 F 点做

27、FGEC则， FG = DF = 1EC DC 2又 BC = 2EC AD = 4 FG, BE = 2 FG FG= 1 , FG = 1AD 4 BE 2 FG / / AD / / BC FN= FG = 1 , FM= FG = 1AN AD4 BM BE 2 S FNM= 1 1 = 1S ABFS FNM5 3 15= 1 S = 1 1 = 115 ABF 15 2 304. 如图，三角形 ABC 的面积为 1 ， D 、 E 、 F 分别是三条边上的三等分点，求阴影三角形的面积。答案： 175. 如图，小悦测出家里的瓷砖的长为 24 厘米，宽为 10 厘米，而且还测出了边上的中间线 段均为 4 厘米，那么中间菱形的面积是多少平方厘米？A Bh1M4 N h2 Q PC D4【分析】 连接 CD则 CD = 24 AB : CD = 4 : 24 = 1: 61 2h : h= AB : CD = 1: 6又h1 + h2 = 3 + 4 = 7(cm), h1 =1(cm)MP = 10 - 2 = 8(cm)同理，NQ = 16(cm)S菱形= 1 816=6（4 cm2