用样本的频率分布估计总体分布第一课时教案数学高一必修3第二.docx
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用样本的频率分布估计总体分布第一课时教案数学高一必修3第二
第二章统计
2.2用样本估计总体
2.2.1用样本的频率分布估计总体分布
一、学习目标
1．知识与技能
（1理解用样本的频率分布估计总体分布的方法．
（2会列频率分布表、画频率分布直方图、频率分布折线图、茎叶图．
（3能够利用图形解决实际问题，体会数学在生活中的广泛应用．
2．过程与方法
通过对现实生活的探究，感知应用数学知识解决问题的方法，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法．
3．情感、态度与价值观
通过对样本分析和总体估计的过程，感受数学对实际生活的需要，认识到数学知识源于生活并指导生活的事实，体会数学知识与现实世界的联系．
●重点难点
重点：
会列频率分布表，画频率分布直方图；
难点：
能通过样本的频率分布估计总体的分布．
三、专家建议
本节课重在教会学生绘制频率分布直方图，引导学生通过频率分布直方图分析总体的分布，体会统计的思想、方法,通过对样本分析和总体估计的过程，感受数学对实际生活的需要.
四、教学方法
自学-训练-点拨-练习-总结
五、教学过程
●课堂探究
知识点1频率分布表及频率分布直方图
【问题导思】
美国历届总统中，就任时年纪最小的是罗斯福，他于1901年就任，当时年仅42年；就任时年纪最大的是里根，他于1981年就任，当时69岁．下面按时间顺序（从1789年的华盛顿到2009年的奥巴马，共44任给出了历届美国总统就任时的年龄：
57，61，57，57，58，57，61，54，68，51，49，64，50，48，65，52，56，46，54，49，51，47，55，55，54，42，51，56，55，51，54，51，60，62，43，55，56，61，52，69，64，46，54，48
1．上述44个数据中最大值与最小值的差是多少？
【提示】 69－42＝27.
2．若将上述数据分成下列几组．[41.5，45.5，[45.5，49.5，[49.5，53.5，[53.5，57.5，[57.5，61.5，[61.5，65.5，[65.5，69.5．各组中数据个数是多少？
【提示】 各组数据的个数为2，7，8，16，5，4，2.
3．在直角坐标系中，能否将各组统计的数据直观地表示出来？
【提示】 能．
1．频率分布表编制的方法步骤：
2.
知识点2频率分布折线图、总体密度曲线
【问题导思】
1．如下图所示，在城市居民月均用水量样本数据的频率分布直方图中，各组数据的平均值大致是哪些数？
【提示】 大致是这小长方形下端的中点的横坐标，即0.25，0.75，1.25，1.75，2.25，2.75，3.25，3.75，4.25.
2．在频率分布直方图中，依次连接各小长方形上端的中点，就得到一条折线，这条折线称为频率分布折线图，你认为频率分布折线图能大致反映样本数据的频率分布吗？
【提示】 由于折线图是取了长方形上端的中点，即每一组数据平均值对应的频率，所以能大致反映样本数据的频率分布．
3．当总体中的个体数很多时（如抽样调查全国城市居民月均用水量，随着样本容量增加，作图时所分的组数增多，组距减少，你能想象出相应的频率分布折线图会发生什么变化吗？
【提示】 由于组数的增多，组距减少，长方形上端中点的数量增多，且相距越近，各相临长方形上端中点的折线越短，折线变得近似于曲线．
1．频率分布折线图
连接频率分布直方图中各个长方形上边的中点，就得到频率分布折线图．
2．总体密度曲线
设想如果样本容量不断增大，分组的组距不断缩小，则频率分布直方图实际上越来越接近于总体的分布，它可以用一条光滑曲线y＝f（x来描绘，这条光滑曲线就叫做总体密度归线.
知识点3茎叶图
【问题导思】
甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩（单位：
分如下：
甲组：
76908486818786828583；
乙组：
82848589798091897974；
1．从甲、乙两组得分情况能否得出甲、乙两组哪组的成绩更整齐？
【提示】 能．甲组的成绩更整齐．
2．上述两组数据能否用图形直观地分析？
【提示】 能．
典例精讲
类型1列频率分布表、画频率分布直方图、频率分布折线图
考察某校高二年级男生的身高，随机抽取40名高二男生，实测身高数据（单位：
cm如下：
171 163 163 166 166 168 168 160 168 165
171 169 167 169 151 168 170 160 168 174
165 168 174 159 167 156 157 164 169 180
176 157 162 161 158 164 163 163 167 161
（1作出频率分布表；
（2画出频率分布直方图和频率分布折线图．
【解析】（1最低身高151，最高身高180，它们的极差为180－151＝29.
确定组距为3，组数为10，列表如下：
分组
个数累计
频数
频率
150.5～153.5
1
0.025
153.5～156.5
1
0.025
156.5～159.5
4
0.1
159.5～162.5
5
0.125
162.5～165.5
8
0.2
165.5～168.5
11
0.275
168.5～171.5
6
0.15
171.5～174.5
2
0.05
174.5～177.5
1
0.025
177.5～180.5
1
0.025
合计
40
40
1
（2频率分布直方图和频率分布折线图如图所示．
1．在列频率分布表时，极差、组距、组数有如下关系：
①若为整数，则＝组数；
②若不为整数，则的整数部分＋1＝组数．
2．组距和组数的确定没有固定的标准，将数据分组时，组数力求合适，若样本容量不超过100，按照数据的多少常分为5～12组，一般样本容量越大，所分组数越多．
【变式训练】已知一个样本：
30，29，26，24，25，27，26，22，24，25，26，28，25，21，23，25，27，29，25，28.
（1列出样本的频率分布表；
（2画出频率分布直方图和频率分布折线图．
【解】 （1计算极差：
30－21＝9.
决定组距和组数：
取组距为2.
∵＝4，∴共分5组．
决定分点，使分点比数据多一位小数．
并把第1小组的分点减小0.5，即分成如下5组：
20．5～22.5，22.5～24.5，24.5～26.5，26.5～28.5，28.5～30.5.
列出频率分布表如下：
分组
个数累计
频数
频率
20.5～22.5
2
0.1
22.5～24.5
3
0.15
24.5～26.5
8
0.4
26.5～28.5
4
0.2
28.5～30.5
3
0.15
合计
20
20
1.00
（2作出频率分布直方图如图：
取各小长方形上的中点并用线段连接就构成了频率分布折线图，如上图.
类型2频率分布直方图的读图问题
为了解某校高一年级学生的体能情况，抽取部分学生进行一分钟跳绳测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图，图中从左到右各小长方形的面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12.
（1第二小组的频率是多少？
样本容量是多少？
（2若次数在110以上（含110为达标，则该校全体高一年级学生的达标率是多少？
【解析】（1频率分布直方图是以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小的，因此第二小组的频率为＝0.08.
又因为第二小组的频率＝，所以样本容量＝＝＝150.
（2由频率分布直方图可估计，该校高一年级学生的达标率为×100%＝88%.
1．本题考查由样本的频率分布估计总体的分布的相关计算，常用到的计算公式是频率＝，注意变形应用．
2．解决此类问题要充分理解频率分布直方图的性质：
（1因为小矩形的面积＝组距×频率/组距＝频率，所以各小矩形的面积表示相应各组的频率，这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小；
（2在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1；
（3频数/相应的频率＝样本容量．
【变式训练】从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：
厘米数据绘制成频率分布直方图（如图2－2－2所示．由图中数据可知a＝________．若要从身高在[120，130，[130，140，[140，150三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为________．
图2－2－2
【解】 因为直方图中的各个矩形的面积之和为1，所以有10×（0.005＋0.035＋a＋0.020＋0.010＝1，解得a＝0.030.由直方图可知三个区域内的学生总数为100×10×（0.030＋0.020＋0.010＝60，其中身高在[140，150]内的学生人数为10，所以从身高在[140，150]内的学生中选取的人数为×10＝3.
类型3茎叶图的绘制与应用
甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩（单位：
分如下：
甲组 76908486818786828583
乙组 82848589798091897974
用茎叶图表示两个小组的成绩，并判断哪个小组的成绩更整齐一些．
【解析】茎叶图如图所示（中间的茎为十位上的数字．
由茎叶图容易看出甲组的成绩是对称的，叶的分布有集中在茎8上，乙组的成绩也大致对称，叶的分布有集中在茎8上，从叶在茎上的分布情况看，甲组的成绩更整齐一些．
当数据个数较少时，用茎叶图可精确地记录每个数据．如果数据是两位数，则茎表示十位数，叶表示个位数，如果数据是三位数，则茎表示十位数和百位数，叶表示个位数．
【变式训练】
某班欲从甲、乙两名同学中选出一名参加数学奥林匹克竞赛，他们自高中以来每次数学考试成绩情况如下：
甲的得分：
95，81，75，91，86，89，71，65，76，88，94，110，107.
乙的得分：
83，86，93，99，88，103，98，114，98，79，101，97，102.
作出两人数学成绩的茎叶图，并根据茎叶图对两人成绩进行比较．
【解】 由已知数据可得：
选择6，7，8，9，10，11作为茎，个位数字为叶，则甲乙两名同学数学成绩的茎叶图如图所示．从茎叶图中可以看出乙同学得分情况大致对称，中位数是98，分数多集中在90多分．甲同学得分也大致对称，中位数是88，分数多集中在80多分，因此乙同学成绩较好，发挥比较稳定．
●课堂小结
1．总体的分布分两种情况：
当总体中的个体取值很少时，用茎叶图估计总体的分布；当总体中的个体取值较多时，将样本数据恰当分组，用各组的频率分布描述总体的分布，方法是用频率分布表或频率分布直方图．
2．茎叶图、频率分布表和频率分布直方图都是用来描述样本数据的分布情况的．茎叶图由所有样本数据构成，没有损失任何样本信息，可以在抽样的过程中随时记录；而频率分布表和频率分布直方图则损失了样本的一些信息，必须在完成抽样后才能制作．
六、板书设计
用样本的频率分布估计总体分布
小结：
作业
当堂检测反馈
典例分析
例1
例2
例3
学生练习
探究点
注意事项：
1
2．
3．
4.
学习目标
1.理解用样本的频率分布估计总体分布的方法.2.会列频率分布表、画频率分布直方图、频率分布折线图、茎叶图．（重点3.能够利用图形解决实际问题，体会数学在生活中的广泛应用．（难点
倍角公式
七．当堂检测
1．从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下（单位：
克：
125 120 122 105 130 114 116 95 120 134则样本数据落在[114.5，124.5内的频率为（
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5
【解析】 数据落在[114.5，124.5内的有：
120，122，116，120，共4个，故所求频率为＝0.4，故选C.
【答案】 C
2．某小学为了解学生数学课程的学习情况，在3000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图（如图所示2－2－3．根据频率分布直方图推测3000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是________．
图2－2－3
【解析】 首先计算成绩小于60的三个小矩形的面积之和，即成绩小于60的学生的频率，再乘以3000即可．由频率分布直方图得成绩小于60的学生的频率为10×（0.002＋0.006＋0.012＝0.2，所以成绩小于60分的学生数是3000×0.2＝600.
【答案】 600
3.
图2－2－4
如图2－2－4所示表示8位销售员一个月销售商品数量的茎叶图，则销售数据分别为________（单位：
百件．
【解析】 由茎叶图可知销售数据都是两位数，分别为45，45，52，56，57，58，60，63.
【答案】 45，45，52，56，57，58，60，63
4．如图2－2－5所示，把数据分成4组，若第一组的频率为0.1，求第2、3、4组的频率．
图2－2－5
【解】 由频率直方图可知每组组距相等，每组的频率就是各个矩形的面积，第2组、第3组、第4组的高分别是第1组高的2倍、4倍、3倍．
∴频率也是第1组的2倍、4倍、3倍，即分别为0.2、0.4、0.3.
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