一级注册建筑师 结构 力学 自由度.docx

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一级注册建筑师结构力学自由度

2.1基本概念

教学要求

        理解几何可变体系（常变体系和瞬变体系）与几何不变体系、瞬铰、自由度的概念。

2.1.1体系的分类

       前提：

体系受到各种可能荷载作用，不考虑材料的应变。

（1）几何可变体系：

        体系保证几何形状、位置不变

（2）几何可变体系：

        体系不能保持几何形状、位置不变。

        可分两种情况：

（a）常变体系：

可以发生大位移；（b）瞬变体系：

经微小位移后成为几何不变。

       图2-2a几何可变体系示意图―常变体系

          图2-2b几何可变体系示意图―瞬变体系

       ［注意］：

          结构设计应采用几何不变体系，不能采用几何可变体系（常变体系和瞬变体系），也不应采用接近于瞬变体系的几何不变体系。

2.1.2运动自由度

        体系运动时,可以独立变化的几何参数的数目，也就是确定该体系位置时所需的独立参数数目。

         ［注释］平面运动的特点：

水平移动，竖向移动，转动

         1动点=2自由度1刚片=3自由度

                    图2-3a1动点                                       图2-3b1刚片

2.1.3约束

（1）概念：

限制体系的运动减少体系自由度的装置

     支杆（约束）                      铰（约束）                        固定端（约束）

       铰（内部）                                                  固定端（内部）

（2）种类：

多余约束和必要约束

        多余约束：

不能减少体系自由度的约束。

        必要约束（必要约束）：

能减少体系自由度的约束。

       图2-5a必要约束                                       图2-5b多余约束

       ［注释］图2-5b中：

杆（刚片）1~3中有一个是多余约束。

［注意］：

          多余约束与非多余约束是相对的，多余约束一般不是唯一指定的。

2.1.4铰

        实铰：

两链杆直接相交的铰；

        瞬铰或虚铰：

两链杆延长线相交的铰；［特例］：

两链杆平行，相交点在无穷远。

        图2-6a实铰图                                      2-6b虚铰（延长线交于一点及交点在无穷远）

［注意］：

        关于无穷远点和无穷远线的四点结论：

（在几何构造分析中必须注意）

（1）每个方向有一个∞点（即该方向各平行线的交点）；

（2）不同方向上有不同的∞点；

       （3）各∞点都在同一直线上，此直线称为∞线；

       （4）各有限远点都不在∞线上。

 2.2平面几何不变体系的组成规律

 教学要求

        熟练掌握几何不变体系的三条基本组成规律。

2.2.1一个点与一个刚片的联结方式——二元体法则

        一个刚片与一个点用两根链杆相连，且三个铰不在一直线上，则所组成几何不变体系，并且没有多余约束。

        说明：

以下把研究的对象简称“对象”，对象之间的联系简称“联系”。

            图2-7a几何不变无多余约束                         图2-7b瞬变

       分析：

图2-7a：

                对象：

刚片

（1）与点A；联系：

链杆1和2；且A、B、C不共线。

                特例：

三个铰共线，则是瞬变体系。

                 图2-7b：

                对象：

刚片

（1）与点A；联系：

链杆1和2；但A、B、C不共线。

例：

                            图2-8

       分析：

图2-8

                  图a：

刚片

（1）与点A；联系：

链杆1和2；且A、B、C不共线。

――组成大刚片1

                  图b：

大刚片1与点B；   联系：

链杆3和4；且A、C、D不共线。

――组成大刚片2

                  其他同理，见图2-8的图形描述。

      ［引伸］

           二元体：

单铰相连且不在同一直线上的两根链杆。

如图2-8a中的1、2杆；3、4杆；5、6杆；7、8杆；9、10杆；11、12杆；。

          二元体的性质：

在一个体系上增加或减少1个二元体，不影响原体系的几何组成。

           图2-8中，图a）、b）、c）、d）、e）、f）的几何组成是相同的，从图a）～图f）为增加二元体；从图f）～图a）为减少二元体。

2.2.2两个刚片之间的联结方式——两刚片法则

（1）两个刚片用一个铰和一根链杆相连结，且三个铰不在一直线上，则所组成几何不变体系，并且没有多余约束。

               图2-9几何不变无多余约束

       分析：

图2-9

                 对象：

刚片

（1）与

（2）；联系：

链杆1和铰A；且A、B、C不共线。

       特例：

三个铰共线，为瞬变体系。

                                                 图2-10瞬变体系

       分析：

图2-10

                 对象：

刚片

（1）与大地；联系：

链杆1和铰A；且不共线――组成大刚片

（2）。

                 对象：

大刚片

（2）与刚片（3）；联系：

链杆2和铰B；但共线。

（2）两刚片三链杆

                 对象：

刚片

（1）与

（2）；联系：

链杆1、2和3。

           （a）三链杆不共点，且不平行，几何不变体系（图2-11a）。

图2-11

       特例：

三链杆平行等长：

常变体系（图2-11b）；三链杆平行不等长：

瞬变体系（图2-11c）；

        （b）三链杆共点：

常变体系（图2-12a）；

图2-12

       特例：

延长线交于一点：

瞬变体系（图2-12b）；

2.2.3三个刚片之间的联结方式——三刚片法则

       三刚片用不共线的三铰两两相连组成体系几何不变且无多余约束。

图2-13几何不变无多余约束

       分析：

图2-13a和b

       对象：

刚片

（1）、

（2）与（3）；

       联系：

刚片

（1）和

（2）铰A；刚片

（1）和（3）铰B；刚片

（2）和（3）铰C；且三铰不共线。

       分析：

图2-13c

       对象：

刚片

（1）、

（2）与（3）；

       联系：

刚片

（1）和

（2）铰A（虚铰，杆1、2延长线的交点）；刚片

（1）和（3）铰B；刚片

（2）和（3）铰C；且三铰不共线。

        分析：

图2-13d

        对象：

刚片

（1）、

（2）与（3）；

        联系：

刚片

（1）和

（2）铰A（虚铰，杆5、6延长线的交点）；刚片

（1）和（3）铰B（虚铰，杆1、2延长线的交点）；刚片

（2）和（3）铰C（虚铰，杆3、4延长线的交点）；且三铰不共线。

特例：

若三铰共线，则为瞬变体系

图2-14瞬变体系

对象：

刚片

（1）、

（2）与（3）；

联系：

刚片

（1）和

（2）铰A；刚片

（1）和（3）铰B；刚片

（2）和（3）铰C；但三铰共线。

［注意］1.三铰为两两相交的铰；2.所有规则可以统一为三角形法则：

由三个链杆组成的三角形为几何不变体系且无多余约束。

2.3构造分析方法与例题

教学要求

熟练掌握几何构造分析的各种方法。

2.3.1基本分析方法

1.组装法

规律：

一点、两片、三片、三链杆；

基本装配格式：

固定一个结点；固定一个刚片；固定两个刚片；固定三个刚片；

（1）从基础开始

例1：

图2-15

分析：

对象：

刚片

（1）与大地；联系：

铰A和链杆1且三铰不共线；――组成大刚片1；

对象：

大刚片1与刚片

（2）；联系：

铰B和链杆2且三铰不共线；――组成大刚片2；

对象：

大刚片2与刚片（3）；联系：

铰C和链杆3且三铰不共线；――几何不变无多余约束

（2）从内部

例2：

图2-16

分析：

对象：

刚片

（1）与

（2）（三角形法则）；联系：

铰A和链杆1且三铰不共线；－－组成大刚片1；

对象：

大刚片1与大地；联系：

铰B和链杆2且三铰不共线；――几何不变无多余约束

2.减二元体

例3：

图2-17

分析：

对象：

杆1、2和杆3、4和杆5、6和杆7、8和杆9、10和杆11、12和杆13、14；

联系：

二元体；去掉二元体，剩下大地――几何不变无多余约束

图2-18

分析：

对象：

杆1、2和杆3、4和杆5、6；

联系：

二元体；去掉二元体，剩下图2-16c――几何不变无多余约束

3.约束等效代换

（1）曲（折）链杆等效为直链杆

（2）联结两刚片的两链杆等效代换为瞬铰

图2-19

分析：

图2-19a等效图2-19b

对象：

大地与刚片

（1）和

（2）；

联系：

大地与刚片

（1）：

虚铰B；大地与刚片

（2）：

虚铰C；刚片

（1）与刚片

（2）：

虚铰A；三铰不共线――几何不变无多余约束

2.3.2复杂体系

1.运用瞬铰并使对象拉开距离

［注释］“拉开距离”是指三刚片之间均由链杆形成的瞬铰相连，而尽量不用实铰。

图2-20

分析：

对象：

大地与刚片

（1）和

（2）；刚片

（2）为三角形。

联系：

大地与刚片

（1）：

虚铰A（链杆1、2）；大地与刚片

（2）：

虚铰C（链杆5、6）；刚片

（1）与

（2）   虚 铰B（链杆3、4）；三铰不共线――几何不变无多余约束

图2-21

分析：

对象：

刚片

（1）、

（2）和（3）；刚片

（1）、

（2）为三角形。

联系：

刚片

（1）与

（2）：

虚铰A（链杆1、2）；刚片

（1）与（3）：

虚铰B（链杆3、4）；刚片

（2）与（3）：

虚铰C（链杆5、6）；三铰不共线――几何不变无多余约束

2.三刚片由三铰两两相连，其中两瞬铰在无穷远处。

若此两瞬铰在不同方向，则体系几何不变,反之几何可变。

图2-22

分析：

图2-22a

对象：

刚片

（1）、

（2）和（3）；

联系：

刚片

（1）与

（2）：

铰A；刚片

（1）与（3）：

虚铰B（无穷远）；刚片

（2）与（3）：

虚铰C（无穷远）；两瞬铰在不同方向――几何不变无多余约束

分析：

图2-22b

对象：

刚片

（1）、

（2）和（3）；

联系：

刚片

（1）与

（2）：

铰A；刚片

（1）与（3）：

虚铰B（无穷远）；刚片

（2）与（3）：

虚铰C（无穷远）；两瞬铰在同一方向――几何可变

图2-23

分析：

对象：

刚片

（1）、

（2）和（3）；

联系：

刚片

（1）与

（2）：

铰A；刚片

（1）与（3）：

虚铰B（无穷远）；刚片

（2）与（3）：

虚铰C（无穷远）；两瞬铰在不同方向――组成大刚片1

对象：

大刚片1与大地；联系：

铰D和链杆5且三铰不共线；――几何不变无多余约束

3.三刚片由三瞬铰两两相连，若三瞬铰均在无穷远处，则体系几何可变。

［注释］无穷远处所有点均在一无穷远直线上

图2-23

分析：

图2-24a

对象：

刚片

（1）、

（2）和（3）；

联系：

刚片

（1）与

（2）：

铰A（无穷远）；刚片

（1）与（3）：

虚铰B（无穷远）；刚片

（2）与（3）：

虚铰C（无穷远）；链杆3～6在同一平行线间――常变体系

分析：

图2-24b

对象：

刚片

（1）、

（2）和（3）；

联系：

刚片

（1）与

（2）：

铰A（无穷远）；刚片

（1）与（3）：

虚铰C（无穷远）；刚片

（2）与（3）：

虚铰B（无穷远）；――瞬变体系

2.4平面杆件体系的自由度计算

教学要求

掌握实际自由度分析方法,了解计算自由度的计算方法。

2.4.1平面杆件体系自由度

（1）实际自由度S（即前面讲的“运动自由度”）：

体系运动时，可以独立变化的几何参数数目，也就是确定该体系运动所需要的独立参数数目。

之所以称之为实际自由度，是为了与下面讲的计算自由度相区别。

                                 S=（各部件自由度总和a）－（必要约束数总和c）（2-1）

（2）计算自由度W

                                W=（各部件自由度总和a）－（全部约束数总和d）（2-2）

由上式可见，计算自由度是由体系部件的自由度和全部约束计算而得，但没有区别非多余约束和多余约束。

因此，一般地说，计算自由度不一定就是实际自由度。

多余约束数n：

等于实际自由度与计算自由度之差，即：

                                           n=S－W（2-3）

图2-25

分析：

       自由度S=a－c=2－2=0；计算自由度W=a－d=2－4=－2

［讨论］：

       W>0则S>0几何可变

       W=0则S=n若n=0几何不变

       W=0则S=n若n>0几何可变

       W<0则n>0体系有多余约束,但不一定几何不变。

结论：

       W≤0只是几何不变的必要条件，不是充分条件。

        各部件自由度总和a=2（1个自由点）；约束总数d=4；其中：

非多余约束c=2；

2.4.2约束的计算

（1）刚片内部多余约束。

        n=0                                n=1                                     n=2                                n=3

图2-8刚片内部多余约束

［注释］自由端n=0；一根链杆n=1；一个铰n=2；一个刚结n=3；

（2）单约束和复约束

            a．铰结点

  图2-9a单铰                      图2-9b复铰

1单铰=2个约束复铰=（n－1）单铰＝2（n－1）个约束

       b．刚结点

           图2-11a单链                                   图2-11b复链

1单链杆=1个约束1复链杆=（2×n-3）单链=（2×n-3）个约束杆

2.4.3平面体系的计算自由度W的求法

（1）刚片法：

体系看作由刚片组成，铰结、刚结、链杆为约束。

         刚片数m；

         约束数：

单铰数h，简单刚结数g，单链杆数b。

                               W=3m-2h-3g-b（2-4）

（2）节点法：

体系由结点组成，链杆为约束。

         结点数j；

         约束数：

链杆（含支杆）数b。

                              W=2j–b（2-5）

（3）组合算法

        约束对象：

刚片数m，结点数j

        约束条件：

单铰数h，简单刚结数g，单链杆（含支杆）数b

                              W=（3m+2j）-（3g+2h+b）（2-6）

例：

求如下图示刚片系的计算自由度。

题1：

图2-12

解：

   方法1                                             方法2                                        方法3

方法1：

（刚片法）

        m=7，h=4，g=2，b=6

        W=3×7-2×4-3×2-6=1

方法2：

（刚片法）

        m=5，h=4，g=0，b=6

        W=3×5-2×4-6=1

方法3：

（节点法）――最好

        j=6，b=11

       Ｗ=2ｊ-ｂ=2*6-11＝1

题2：

图2-13

解：

方法1                          方法2

方法1：

（节点法）――最好

        j=7，b=14

       Ｗ=2ｊ-ｂ=2*7-14＝0

方法2：

（刚片法）

       m=7，h=9，g=0，b=3

       W=3×7-2×9-3=0

题3：

图2-14

解：

方法1：

（刚片法）

        m=1，h=0，g=3，b=4

        W=3×1-3×3-4=-10

方法2：

（节点法）――最好

        j=0，b=10

       Ｗ=2ｊ-ｂ=0-10＝0