创新方案第十二章 第1讲 机械振动.docx

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创新方案第十二章第1讲机械振动

[体系构建]

[考纲点击]

1.简谐运动（Ⅰ）　　2.简谐运动的公式和图象（Ⅱ）　　3.单摆、周期公式（Ⅰ）

4.受迫振动和共振（Ⅰ）　5.机械波（Ⅰ）　6.横波和纵波（Ⅰ）

7.横波的图象（Ⅱ）　8.波速、波长和频率（周期）的关系（Ⅱ）

9.波的干涉和衍射现象（Ⅰ）　10.多普勒效应（Ⅰ）　11.光的折射定律（Ⅱ）　12.折射率（Ⅰ）　13.全反射、光导纤维（Ⅰ）

14.光的干涉、衍射和偏振现象（Ⅰ）

15.变化的磁场产生电场、变化的电场产生磁场、电磁波及其传播（Ⅰ）

16.电磁波的产生、发射和接收（Ⅰ）

17.电磁波谱（Ⅰ）　18.狭义相对论的基本假设（Ⅰ）

19.质速关系、质能关系（Ⅰ）

20.相对论质能关系式（Ⅰ）

实验十三：

探究单摆的运动、用单摆测定重力加速度

实验十四：

测定玻璃的折射率

实验十五：

用双缝干涉测光的波长

[复习指导]

1.本章考查的热点有简谐运动的特点及图象、波的图象以及波长、波速、频率的关系，光的折射和全反射，题型以选择题和填空题为主，难度中等偏下，波动与振动的综合及光的折射与全反射的综合，有的考区也以计算题的形式考查。

2.复习时应注意理解振动过程中回复力、位移、速度、加速度等各物理的变化规律、振动与波动的关系及两个图象的物理意义，注意图象在空间和时间上的周期性。

3.分析几何光学中的折射、全反射和临界角问题时，应注意与实际应用的联系，做出正确的光路图。

4.光的本性和相对论部分，以考查基本概念及规律的简单理解为主，不可忽视任何一个知识点。

简谐运动

1．概念

如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图象（x－t图象）是一条正弦曲线，这样的振动叫简谐运动。

2．动力学表达式

F＝－kx。

运动学表达式x＝Asin（ωt＋φ）。

3．描述简谐运动的物理量

（1）位移x：

由平衡位置指向质点所在的位置的有向线段表示振动位移，是矢量。

（2）振幅A：

振动物体离开平衡位置的最大距离，表示振动的强弱，是标量。

（3）周期T和频率f：

做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间叫周期，而频率则等于单位时间内完成全振动的次数，它们是表示振动快慢的物理量，二者互为倒数关系。

4．简谐运动的图象

（1）物理意义：

表示振动物体的位移随时间变化的规律。

（2）从平衡位置开始计时，函数表达式为x＝Asin_ωt，图象如12－1－1甲图所示。

从正的最大位移处开始计时，函数表达式为x＝Acos_ωt，图象如图乙所示。

图12－1－1

5．简谐运动的能量

简谐运动过程中动能和势能相互转化，机械能守恒，振动能量与振幅有关，振幅越大，能量越大。

1．简谐运动的五个特征：

（1）动力学特征：

F＝－kx，“－”表示回复力的方向与位移方向相反，k是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数。

（2）运动学特征：

简谐运动的加速度大小与物体偏离平衡位置的位移大小成正比，而方向与位移方向相反，为变加速运动。

远离平衡位置时，x、F、a、Ep均增大，v、Ek均减小，靠近平衡位置时则相反。

（3）运动的周期性特征：

相隔T或nT的两个时刻振子处于同一位置且振动状态相同。

（4）对称性特征：

①相隔

或

（n为正整数）的两个时刻，振子位置关于平衡位置对称，位移、速度、加速度大小相等，方向相反。

②如图12－1－2所示，振子经过关于平衡位置O对称的两点P、P′（OP＝OP′）时，速度的大小、动能、势能相等，相对于平衡位置的位移大小相等。

图12－1－2

③振子由P到O所用时间等于由O到P′所用时间，即tPO＝tOP′。

④振子往复过程中通过同一段路程（如OP段）所用时间相等，即tOP＝tPO。

（5）能量特征：

振动的能量包括动能Ek和势能Ep。

简谐运动过程中，系统动能与势能相互转化，系统的机械能守恒。

2．对简谐运动的图象的理解

（1）图象的意义：

①简谐运动的图象是一条正弦或余弦曲线，如图12－1－3所示。

图12－1－3

②图象反映的是位移随时间的变化规律，随时间的增加而延伸，图象不代表质点运动的轨迹。

③任一时刻图线上过该点切线的斜率数值表示该时刻振子的速度大小。

正负表示速度的方向，正时沿x正方向，负时沿x负方向。

（2）由图象获得的信息：

①由图象可以看出振幅、周期。

②可以确定某时刻质点离开平衡位置的位移。

③可以根据图象确定某时刻质点回复力、加速度和速度的方向。

回复力和加速度的方向总是与位移的方向相反，指向平衡位置；速度的方向可以通过下一时刻位移的变化来判定，下一时刻位移若增加，则质点的运动方向就远离平衡位置；下一时刻的位移若减小，则质点的运动方向就指向平衡位置。

1.如图12－1－4所示为弹簧振子P在0～4s内的振动图象，从t＝4s开始（　　）

图12－1－4

A．再过1s，该振子的位移是正的最大

B．再过1s，该振子的速度方向沿正方向

C．再过1s，该振子的加速度方向沿正方向

D．再过1s，该振子的加速度最大

解析：

选AD　振动图象描述质点在各个时刻离开平衡位置的位移的情况。

依题意，再经过1s，将振动图象延伸到正x最大处。

这时振子的位移为正的最大，速度为0，故A项正确，B项错误；因为回复力与位移成正比且方向与位移方向相反，所以此时回复力最大且方向为负方向，故振动物体的加速度最大且方向为负方向，故C项错误，D项正确。

单　摆

图12－1－5

1．定义

在细线的一端拴一个小球，另一端固定在悬点上，如果线的伸长和质量都不计，球的直径比摆线短得多，这样的装置叫做单摆。

2．视为简谐运动的条件

摆角小于10°。

3．回复力

小球所受重力沿切线方向的分力，即：

F＝G2＝Gsinθ＝

x，F的方向与位移x的方向相反。

4．周期公式

T＝2π

。

5．单摆的等时性

单摆的振动周期取决于摆长l和重力加速度g，与振幅和振子（小球）质量都没有关系。

1．单摆的回复力

是重力沿切线方向的分力，并非重力和拉力的合力。

但在最大位移处回复力也可以说成是拉力和重力的合力，其他位置，拉力与重力沿摆线方向的分力不平衡，它们的合力充当向心力，故不能说回复力是拉力和重力的合力。

2．平衡位置

是回复力为零的位置，但单摆在摆动过程中该位置受力并不平衡，其合力为向心力。

这一点与弹簧振子不同。

3．周期公式T＝2π

的理解与运用

（1）l为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离，要区分摆长和摆线长，悬点实质为摆球摆动所在圆弧的圆心。

（2）测重力加速度g。

只要测出单摆的摆长l，周期T，就可以根据g＝4π2

，求出当地的重力加速度g。

2．（2011·上海高考）两个相同的单摆静止于平衡位置，使摆球分别以水平初速v1、v2（v1>v2）在竖直平面内做小角度摆动，它们的频率与振幅分别为f1、f2和A1、A2，则（　　）

A．f1>f2，A1＝A2　　　　B．f1

C．f1＝f2，A1>A2D．f1＝f2，A1

解析：

选C　单摆的频率由摆长决定，摆长相等、频率相等，故A、B错误；由于机械能守恒，小球在平衡位置速度越大，其振幅也越大，故C正确，D错误。

受迫振动和共振

1．受迫振动

（1）概念：

振动系统在周期性外力作用下的振动。

（2）特点：

受迫振动的频率等于驱动力的频率，跟系统的固有频率无关。

2．共振

（1）现象：

当驱动力的频率等于系统的固有频率时，受迫振动的振幅最大。

（2）条件：

驱动力的频率等于振动系统的固有频率。

（3）特征：

共振时振幅最大。

（4）共振曲线：

如图12－1－6所示

图12－1－6

（1）共振曲线的理解：

如图12－1－7所示，横坐标为驱动力频率f驱，纵坐标为振幅A。

它直观地反映了驱动力频率对受迫振动振幅的影响。

由图可知，f驱与f固越接近，振幅A越大，当f驱＝f固时，振幅A最大。

图12－1－7

（2）受迫振动中系统能量的转化：

受迫振动系统机械能不守恒，系统与外界时刻进行能量交换。

（3）发生共振时，驱动力对振动系统总是做正功，总是向系统输入能量，使系统的机械能逐渐增加，振动物体的振幅逐渐增大。

当驱动力对系统做的功与系统克服阻力做的功相等时，振动系统的机械能不再增加，振幅达到最大。

（4）几种振动形式的比较：

　　振动

　类型

项目　　

自由振动

受迫振动

共振

受力情况

仅受回复力　　

周期性驱动力作用

周期性驱动力作用

振动周期或频率

由系统本身性质决定，即固有周期或固有频率

由驱动力的周期或频率决定，即T＝T驱或f＝f驱

T驱＝T固或f驱＝f固

振动能量

振动物体的机械能不变

由产生驱动力的物体提供

振动物体获得的能量最大

常见例子

弹簧振子或单摆（θ<5°）

机械工作时底座发生的振动

共振筛、转速计等

3．某振动系统的固有频率为f0，在周期性驱动力的作用下做受迫振动，驱动力的频率为f。

若驱动力的振幅保持不变，下列说法正确的是（　　）

A．当f

B．当f>f0时，该振动系统的振幅随f减小而增大

C．该振动系统的振动稳定后，振动的频率等于f0

D．该振动系统的振动稳定后，振动的频率等于f

解析：

选BD　受迫振动的振幅A随驱动力的频率变化规律如图所示，显然A错，B对。

稳定时系统的频率等于驱动力的频率，即C错，D对。

简谐运动的公式和图象

[命题分析]　本考点为高考Ⅱ级要求，是高考热点，主要考查简谐运动的公式和对图象的理解，以选择题或计算题呈现。

[例1]　有一弹簧振子在水平方向上的BC之间做简谐运动，已知BC间的距离为20cm，振子在2s内完成了10次全振动。

若从某时刻振子经过平衡位置时开始计时（t＝0），经过

周期振子有正向最大加速度。

图12－1－8

（1）求振子的振幅和周期；

（2）在图12－1－8中作出该振子的位移—时间图象；

（3）写出振子的振动方程。

[解析]　

（1）振幅A＝10cm，T＝

＝0.2s。

（2）四分之一周期时具有正的最大加速度，故有负向最大位移，如图所示

（3）设振动方程为y＝Asin（ωt＋φ）

当t＝0时，y＝0，则sinφ＝0

得φ＝0，或φ＝π，当再过较短时间，y为负值，所以φ＝π

所以振动方程为y＝10sin（10πt＋π）cm

[答案]　

（1）10cm　0.2s　

（2）图见解析

（3）y＝10sin（10πt＋π）cm

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作简谐运动的图象或写出简谐运动的方程，需知道三个条件：

即振幅、周期及初始位置（即初相位）。

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　　[互动探究]

本题中振子从t＝0时刻到t＝0.05s时刻这段时间内，其加速度、动能和弹性势能各是怎样变化的？

该振子在前2s内的总位移是多少？

通过的路程是多少？

解析：

振子在t＝0到t＝0.05s内，离平衡位置的位移越来越大，故加速度越来越大，动能越来越小，弹性势能越来越大。

经2s振子完成10次全振动，回到原位置。

故总位移为零，通过的路程为10×4A＝10×4×0.1m＝4m。

答案：

加速度变大，动能变小，弹性势能变大　2s内位移是零，路程是4m

简谐运动的周期性与对称性

[命题分析]　本考点为高考热点，主要考查对简谐运动的周期性和对称性的理解，以选择题呈现。

[例2]　一简谐振子沿x轴振动，平衡位置在坐标原点。

t＝0时刻振子的位移x＝－0.1m；t＝

s时刻x＝0.1m；t＝4s时刻x＝0.1m。

该振子的振幅和周期可能为（　　）

A．0.1m，

s　　　　　　　　B．0.1m,8s

C．0.2m，

sD．0.2m,8s

[解析]　若振子的振幅为0.1m，

（s）＝（n＋

）T，则周期最大值为

s，A项正确，B项错；若振子的振幅为0.2m，由简谐运动的对称性可知，当振子由x＝－0.1m处运动到负向最大位移处再反向运动到x＝0.1m处，再经n个周期时所用时间为

s，则（

＋n）T＝

（s），所以周期的最大值为

s，且t＝4s时刻x＝0.1m，故C项正确；当振子由x＝－0.1m经平衡位置运动到x＝0.1m处，再经n个周期时所用时间为

s，则（

＋n）T＝

（s），所以此时周期的最大值为8s，且t＝4s时，x＝0.1m，故D项正确。

[答案]　ACD

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（1）由于简谐运动具有周期性、往复性、对称性，因此涉及简谐运动时，往往出现多解。

分析此类问题时，特别应注意，物体在某一位置时，位移是确定的，而速度不确定，时间也存在周期性关系。

（2）相隔（2n＋1）

的两个时刻振子的位置关于平衡位置对称，位移、速度、加速度等大反向。

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[变式训练]

1．某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x＝Asin

t，则质点（　　）

A．第1s末与第3s末的位移相同

B．第1s末与第3s末的速度相同

C．3s末至5s末的位移方向都相同

D．3s末至5s末的速度方向都相同

解析：

选AD　由x＝Asin

t知周期T＝8s。

第1s末、第3s末、第5s末分别相差2s，恰好是

个周期。

根据简谐运动图象中的对称性可知A、D选项正确。

受迫振动与共振

[命题分析]　本考点考纲Ⅰ级要求，主要考查对受迫振动与共振的概念的理解，以选择题形式呈现。

[例3]　（2013·江西重点中学联考）如图12－1－9所示，曲轴上挂一个弹簧振子，转动摇把，曲轴可带动弹簧振子上下振动。

开始时不转动摇把，让振子自由振动，测得其频率为2Hz。

现匀速转动摇把，转速为240r/min。

则（　　）

图12－1－9

A．当振子稳定振动时，它的振动周期是0.5s

B．当振子稳定振动时，它的振动频率是4Hz

C．当转速增大时，弹簧振子的振幅增大

D．当转速减小时，弹簧振子的振幅增大

[解析]　摇把匀速转动的频率f＝n＝

Hz＝4Hz，周期T＝

＝0.25s，当振子稳定振动时，它的振动周期及频率均与驱动力的周期及频率相等，A错误，B正确。

当转速减小时，其频率将更接近振子的固有频率2Hz，弹簧振子的振幅将增大，C错误，D正确。

[答案]　BD

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（1）无论发生共振与否，受迫振动的频率都等于驱动力的频率，但只有发生共振现象时振幅才能达到最大。

（2）受迫振动系统中的能量转化不再只有系统内部动能和势能的转化，还有驱动力对系统做正功补偿系统因克服阻力而损失的机械能。

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[变式训练]

2.如图12－1－10所示，两个弹簧振子悬挂在同一支架上，已知甲弹簧振子的固有频率为8Hz，乙弹簧振子的固有频率为72Hz，当支架在受到竖直方向且频率为9Hz的驱动力作用下做受迫振动时，两个弹簧振子的振动情况是（　　）

图12－1－10

A．甲的振幅较大，且振动频率为8Hz

B．甲的振幅较大，且振动频率为9Hz

C．乙的振幅较大，且振动频率为9Hz

D．乙的振幅较大，且振动频率为72Hz

解析：

选B　甲、乙两个弹簧振子均做受迫振动，其振动频率为驱动力的频率9Hz，又因甲的固有频率为8Hz，接近驱动力的频率，故甲的振幅较大。

B正确。