版高中数学人教A版必修1同步教师用书第3章 321 几类不同增长的函数模型.docx

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版高中数学人教A版必修1同步教师用书第3章321几类不同增长的函数模型

3．2　函数模型及其应用

3．2.1　几类不同增长的函数模型

1．理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义．（重点）

2．区分指数函数、对数函数以及幂函数增长速度的差异．（易混点）

3．会选择适当的函数模型分析和解决一些实际问题．（难点）

[基础·初探]

教材整理　几类不同增长的函数模型

阅读教材P98～P101，完成下列问题．

1．三种函数模型的性质

　　函数

性质　　

y＝ax

（a>1）

y＝logax（a>1）

y＝xn（n>0）

在（0，＋∞）上

的增减性

增函数

增函数

增函数

图象的变化

随x的增大逐渐与y轴平行

随x的增大逐渐与x轴平行

随n值的不同而不同

2.三种函数增长速度的比较

（1）在区间（0，＋∞）上，函数y＝ax（a>1），y＝logax（a>1）和y＝xn（n>0）都是增函数，但增长进度不同，且不在同一个“档次”上．

（2）随着x的增大，y＝ax（a>1）的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn（n>0）的增长速度，而y＝logax（a>1）的增长速度越来越慢．

（3）存在一个x0，当x>x0时，有ax>xn>logax.

判断（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）当x增加一个单位时，y增加或减少的量为定值，则y是x的一次函数．（　　）

（2）函数y＝log

x衰减的速度越来越慢．（　　）

（3）不存在一个实数m，使得当x>m时，1.1x>x100.（　　）

【解析】　

（1）√.因为一次函数的图象是直线，所以当x增加一个单位时，y增加或减少的量为定值．

（2）√.由函数y＝log

x的图象可知其衰减的速度越来越慢．

（3）×.根据指数函数和幂函数增长速度的比较可知存在一个实数m，使得当x>m时，1.1x>x100.

【答案】　

（1）√　

（2）√　（3）×

[小组合作型]

函数模型的增长差异

（1）下列函数中，增长速度最快的是（　　）　　　　　　　　　　　　　

A．y＝2016xB．y＝x2016

C．y＝log2016xD．y＝2016x

（2）四个自变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：

x

1

5

10

15

20

25

30

y1

2

26

101

226

401

626

901

y2

2

32

1024

32768

1.05×106

3.36×107

1.07×109

y3

2

10

20

30

40

50

60

y4

2

4.322

5.322

5.907

6.322

6.644

6.907

则关于x呈指数型函数变化的变量是________．

【精彩点拨】　指数函数增长速度最快．

【自主解答】　

（1）比较幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数增长速度最快，故选A.

（2）以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象（图略），可知变量y2关于x呈指数型函数变化．故填y2.

【答案】　

（1）A　

（2）y2

1．指数函数模型y＝ax（a＞1）的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，形象地称为“指数爆炸”．

2．对数函数模型y＝logax（a＞1）的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢．

3．幂函数模型y＝xn（n＞0）的增长速度介于指数增长和对数增长之间．

[再练一题]

1．下列函数中随x的增大而增长速度最快的是（　　）

【导学号：

97030138】

A．y＝

exB．y＝100lnx

C．y＝x100D．y＝100·2x

【解析】　指数函数y＝ax，在a>1时呈爆炸式增长，并且随a值的增大，增长速度越快，应选A.

【答案】　A

根据函数图象确定函数模型

图321

函数f（x）＝2x和g（x）＝x3的图象如图321所示，设两函数的图象交于点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2.

（1）请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；

（2）结合函数图象，判断f（6），g（6），f（2016），g（2016）的大小．

【精彩点拨】　根据指数函数、幂函数的增长差异进行判断．

【自主解答】　

（1）C1对应的函数为g（x）＝x3，C2对应的函数为f（x）＝2x.

（2）∵f

（1）＞g

（1），f

（2）＜g

（2），f（9）＜g（9），f（10）＞g（10），

∴1＜x1＜2,9＜x2＜10，

∴x1＜6＜x2,2016＞x2.

从图象上可以看出，当x1＜x＜x2时，f（x）＜g（x），

∴f（6）＜g（6）；

当x＞x2时，f（x）＞g（x），

∴f（2016）＞g（2016）．

又g（2016）＞g（6），

∴f（2016）＞g（2016）＞g（6）＞f（6）．

根据函数图象判断增长函数模型时，通常是根据函数图象上升的快慢来判断，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数，中间的是幂函数.

[再练一题]

2．函数f（x）＝lgx，g（x）＝0.3x－1的图象如图322所示．

（1）试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；

（2）比较两函数的增长差异（以两图象交点为分界点，对f（x），g（x）的大小进行比较）．

图322

【解】　

（1）C1对应的函数为g（x）＝0.3x－1，C2对应的函数为f（x）＝lgx.

（2）当xf（x）；当x1g（x）；当x>x2时，g（x）>f（x）；当x＝x1或x＝x2时，f（x）＝g（x）．

[探究共研型]

函数模型的选择

探究1　在我们学习过的函数中，哪些函数是其定义域上的单调函数？

【提示】　一次函数、指数函数、对数函数．

探究2　在选择函数模型时，若随着自变量的变大、函数值增加得速度急剧变化，应选择哪个函数模型？

若变化的速度很平缓，应选择哪个函数模型？

【提示】　前者应选择指数函数模型，后者选择对数函数模型．

　某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP（即人均纯收入）在0.5～8千美元的地区销售该公司A饮料的情况调查时发现：

该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减．

（1）下列几个模拟函数中：

①y＝ax2＋bx；②y＝kx＋b；③y＝logax＋b；④y＝ax＋b（x表示人均GDP，单位：

千美元，y表示年人均A饮料的销售量，单位：

L）．用哪个模拟函数来描述人均A饮料销售量与地区的人均GDP关系更合适？

说明理由；

（2）若人均GDP为1千美元时，年人均A饮料的销售量为2L，人均GDP为4千美元时，年人均A饮料的销售量为5L，把

（1）中你所选的模拟函数求出来，并求出各个地区中，年人均A饮料的销售量最多是多少？

【精彩点拨】　

（1）理解题意，根据所给函数模型的增长趋势来选择；

（2）根据

（1）中所选择的函数模型，求出其解析式并求最大值．

【自主解答】　

（1）用①来模拟比较合适．因为该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减．而②，③，④表示的函数在区间上是单调函数，所以②，③，④都不合适，故用①来模拟比较合适．

（2）因为人均GDP为1千美元时，年人均A饮料的销量为2升；人均GDP为4千美元时，年人均A饮料的销量为5升，把x＝1，y＝2；x＝4，y＝5代入到y＝ax2＋bx，得

解得a＝－

，b＝

，所以函数解析式为y＝－

x2＋

x.（x∈[0.5,8]）

∵y＝－

x2＋

x＝－

2＋

，∴当x＝

时，年人均A饮料的销售量最多是

L.

不同的函数模型能刻画现实世界中不同的变化规律

1．线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律．

2．指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律．

3．对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律．

4．幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律．

[再练一题]

3．某化工厂开发研制了一种新产品，在前三个月的月生产量依次为100t,120t,130t.为了预测今后各个月的生产量，需要以这三个月的月产量为依据，用一个函数来模拟月产量y（t）与月序数x之间的关系．对此模拟函数可选用二次函数y＝f（x）＝ax2＋bx＋c（a，b，c均为待定系数，x∈N*）或函数y＝g（x）＝pqx＋r（p，q，r均为待定系数，x∈N*），现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为137t，则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好？

【解】　根据题意可列方程组：

解得

所以y＝f（x）＝－5x2＋35x＋70.①

同理y＝g（x）＝－80×0.5x＋140.②

再将x＝4分别代入①与②式得：

f（4）＝－5×42＋35×4＋70＝130（t），g（4）＝－80×0.54＋140＝135（t）．与f（4）相比，g（4）在数值上更为接近第四个月的实际月产量，所以②式作为模拟函数比①式更好，故选用函数y＝g（x）＝pqx＋r作为模拟函数较好.

1．如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型（　　）　　　　　　　　　　　　

x

4

5

6

7

8

9

10

y

15

17

19

21

23

25

27

A.一次函数模型B．二次函数模型

C．指数函数模型D．对数函数模型

【解析】　自变量每增加1函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．故选A.

【答案】　A

2．下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是（　　）

A．y＝1B．y＝x

C．y＝3xD．y＝log3x

【解析】　结合函数y＝1，y＝x，y＝3x及y＝log3x的图象可知，随着x的增大，增长速度最快的是y＝3x.

【答案】　C

3．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润与时间的关系，可选用（　　）

A．一次函数B．二次函数

C．指数型函数D．对数型函数

【解析】　结合“直线上升，对数增长，指数爆炸”可知，对数型函数符合题设条件，故选D.

【答案】　D

4．生活经验告诉我们，当水注入容器（设单位时间内进水量相同）时，水的高度随着时间的变化而变化，在图中请选择与容器相匹配的图象，A对应________；B对应________；C对应________；D对应________.

【导学号：

02962023】

【解析】　A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与（4）对应；B容器为球形，水高度变化为快—慢—快，应与

（1）对应；C，D容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型，但C容器细，D容器粗，故水高度的变化为：

C容器快，与（3）对应，D容器慢，与

（2）对应．

【答案】　（4）　

（1）　（3）　

（2）

5．函数f（x）＝1.1x，g（x）＝lnx＋1，h（x）＝x

的图象如图323所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三个函数的增长差异（以1，a，b，c，d，e为分界点）．

图323

【解】　由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线C1对应的函数是f（x）＝1.1x，曲线C2对应的函数是h（x）＝x

，曲线C3对应的函数是g（x）＝lnx＋1.

由题图知，当x<1时，f（x）>h（x）>g（x）；

当1g（x）>h（x）；

当ef（x）>h（x）；

当ah（x）>f（x）；

当bg（x）>f（x）；

当cf（x）>g（x）；

当x>d时，f（x）>h（x）>g（x）．