著名不等式公式doc.docx

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三角形内角的嵌入不等式

三角形内角的嵌入不等式，在不至于引起歧义的情况下简称嵌入不等式。

该不等式指出，若力、。

是一个三角形的三个内角，则对任意实数x、y>z,有：

x2+y2+z2>（2xycosC+2yzcos4+c2zxcosB算术-几何平均值不等式

在数学中，算术-几何平均值不等式是一个常见而基本的不等式，表现了两类平均数：

算术平均数和几何平均数之间恒定的不

:

Ti+工2+,.・+

An=

等关系。

设£1，・・・，工•几为〃个正实数，它们的算术平均数是n,它们的几何平均数是

Gn=Si・业•・巨/算术-几何平均值不等式表明，对任意的正实数，总有:

>Gn

等号成立当且仅当四1=还2=•••。

算术-几何平均值不等式仅适用于正实数，是对数函数之凹性的体现，在数学、自然科学、工程科学以及经济学等其它学科都有应用。

算术-几何平均值不等式经常被简称为平均值不等式（或均值不等式），尽管后者是一组包括它的不等式的合称。

例子

在n=4的情况，设：

工1=3•&叼=6-2,=8.4,=5那么

A4=""度；®'5=5775,g4=立3.5x6.2x8.4x5=5.4945

可见A4>G4o

历史上的证明

历史上，算术-几何平均值不等式拥有众多证明。

〃=2的情况很早就为人所知，但对于一般的不等式并不容易证明。

1729年，英国数学家麦克劳林最早给出了一般情况的证明，用的是调整法，然而这个证明并不严谨，是错误的。

柯西的证明

1821年，法国数学家柯西在他的著作《分析教程》中给出了一个使用逆向归纳法的证明山：

命题己：

对任意的n个正实数芭1，...，还几，AnNGn

1.当n=2时，P2显然成立。

2.假设Pn成立，那么乌成立。

证明：

对于2/7个正实数还1,...由1,•,四，

+一2+•••+工门+丁1+•••V"_£/+...+工门.]+卜g”

2n2\nn

N…5••必

3.假设己成立，那么己一】成立。

证明：

对于〃-1个正实数还1，.・.，邑2—1,

Gn-1="寸丁1・12・・・工九-1’

An_i=

设

Pn

匚1+•.•+工几一1+A”]n/T•

2V•Cji—1A门—1

An-i>y/G-；G

数k,命题四都成立。

因此对任意的

n>2‘，可以先找k使得2.>几，再结合第三条就可以得到命题Pn成立了。

归纳法的证明使用常规数学归纳法的证明则有乔治•克里斯托（GeorgeChrystal）在其著作《代数论》（乖部以）的第二卷中给出的御:

AnA”+工几+1

"^n+1=A/

由对称性不妨设Xn+1是还1，屯2.•*n+l中最大的，由于项+1，设乌+1=A.几+七则

_b

L、nAn+l=An+■~7

6>u,并且有1。

根据二项式定理,

郦=（An+寿件>AW+"）A：

寿=A"）=g>GW=响…5=GR

于是完成了从〃到〃+1的证明。

此外还有更简洁的归纳法证明叫

在n的情况下有不等式An>G“和+3-10+1>"

所以

（7Z+l）An+i=丁1+工2…+£几+工几+1N271Gn-}_i—（71—l）Gn_|_i=（71+l）Gn_|_^从而有

An+1NGn+1。

基于琴生不等式的证明

+⑦2hi+11顼2HInxn

In>

n~n

由于对数函数是一个凹函数，由琴生不等式可知上式成立。

此外还有基于排序不等式、伯努利不等式或借助调整法、辅助函数求导和加强命题的证明。

推广

算术-几何平均不等式有很多不同形式的推广。

加权算术-几何平均不等式

不仅“均匀”的算术平均数和几何平均数之间有不等式，加权的算术平均数和几何平均数之间也有不等式。

设也1，...几

和P1，…为正实数，并且Pl+P2Pn=1,那么：

P1Z1+但2叼・・・+Pn^n>建建…部"

加权算术-几何平均不等式可以由琴生不等式得到。

矩阵形式

算术-几何平均不等式可以看成是一维向量的系数的平均数不等式。

对于二维的矩阵，一样有类似的不等式：

对于系数都是正实数的矩阵

Q，ll

Q?

?

l

Gi+G2+•,•+Gn

也就是说：

对A个纵列取算术平均数，它们的几何平均大于等于对〃个横行取的刀个几何平均数的算术平均。

极限形式

也称为积分形式：

对任意在区间［0,1〕上可积的正值函数/；都有

（f（T）dx>exp（jln/（i）dr）

£1+工2〜/ln£1+In工2Inxnv

>exp（}

这实际上是在算术•几何平均值不等式取成n一一一n-后，将

两边的黎曼和中的n趋于无穷大后得到的形式。

伯努利不等式

数学中的伯努利不等式是说：

对任意整数n>Q,和任意实数⑦>一1,

（1+x）n>1+nx.

如果>Q是偶数，则不等式对任意实数x成立。

可以看到在n=0,1,或x=0时等号成立，而对任意正整数2和任意实数X>-1X^0有严格不等式：

（1+T）n>1+7ZT

伯努利不等式经常用作证明其他不等式的关键步骤。

［编辑］证明和推

伯努利不等式可以用数学归纳法证明：

当〃二0,1,不等式明显成立。

假设不等式对正整数小实数％>一1时成立，那么

（1+i）n+1=（1+x）（1+>（1+x）（l+nx）

=1+S+1）2?

+nx2>1+（72+l）x

下面是推广到实数幕的版本：

如果x>-l,那么：

若r<0^r>1；w（l+x）r>l+rx.

这不等式可以用导数比较来证明：

当r-（）,1时，等式显然成立。

在（一1,。

。

）上定义=+力r_（1+命其中,产S1,对*微分得/■⑴+为1则产⑴=（）当且仅当x=（）。

分情况讨论：

10（）,/（X）<0;对—1VxV（）,f（力>（）。

因此伽在x=（）时取最大值（），故得（1+J：

）rV1+VXO

2r<0或r>1,则对%>0,^>0；对一1

在这两种情况，等号成立当且仅当x二0。

［编辑］相关不等式

下述不等式从另一边估计（1+力'：

对任意A；r>0,都有

（1+r）r

佩多不等式

几何学的佩多不等式，是关连两个三角形的不等式，以唐•佩多（DonPedoe）命名。

这不等式指出：

如果第一个三角形的边长为a,b,c,面积为/；第二个三角形的边长为人，民C,面积为F,那么：

A\b2+《2一q'2）+B\a2+《2一护）+C"+b2一c2）>16F/

等式成立当且仅当两个三角形为一对相似三角形，对应边成比例;

也就是a/A-b/B-c/CQ

［编辑］证明

■由海伦公式，两个三角形的面积可用边长表示为

16户二（a+人+顷a+3—顷。

一人+顷方+c-a）=（孑+济+Q2_2（/+没+d）

16仃二（/I+6+0（/1+B-0（/1一B+Q（B+C-/I）=（A2+莎+今？

_2（/14+状+U）,

再由柯西不等式，

16/T+2/才+2g+22

<+2a4+2M+2c4）y（16F2+2X4+2B4+2C4）

=（/+&++部+切

于是，

16Ff<泌（/+胪+3）_2/泌+32（/+户+白）_2胪序+顶（/+胪+。

）_2<°2

=才（&+

—/）+店3+/—&）+c2^+部—q,命题得证。

等号成立当且仅当心=MB=c［C=VZZZ,也就是说两个三角形相似。

ABC是第一个三角形，ABC是取相似后的第二个三角形，BC与BC重合

■几何证法

三角形的面积与边长的平方成正比，因此在要证的式子两边同乘一个系数注，使得XA=^f几何意义是将第二个三角形取相似（如右图）。

设这时A、B、C变成x、y、z,F变成F。

考虑础'的长度。

由余弦公式，

AAr2=AB2+B^2一2AB-BAfcos（ZB一3）

=c2+—2cz（cosZ-BcosZ-Bf+sinZBsinZB7）

q'2+c2—b'2/X2+z'2—护2/.fs2Ff

cosZB=,cosZ-B=:

sinAB=——,smAB=

1

两边化简后同时乘以A2,并注意到a=x,就可得到原不等式。

等号成立当且仅当A与A，重合，即两个三角形相似。

内斯比特不等式

内斯比特不等式是数学的一条不等式，它说对任何正实数务力，c,都有:

qbc3

++>-；

b+cQ-f-cab2［编辑］证明

此不等式证明方法很多，例如从平均数不等式我们有：

（g+b）+（g+c）+（b+c）、3

3—1|1|1

a+b'q+c*b+c,

移项得出：

（（a+b）+（Q+c）+（b+c））（土+土+土）N9

整理左式:

a-\-bca-\-bca-\-bcbc+ac*a+b

因而不等式得证。

埃尔德什一莫德尔不等式

如图，埃尔德什-莫德尔不等式说明点。

到三个顶点的距离之和（绿色线段）大于到三边距离之和（蓝色线段）的两倍在几何学中，埃尔德什■莫德尔不等式是一个二十世纪初期发现的不等式。

埃尔德什-莫德尔不等式说明了：

对于任何三角形ABC和其内部的一点。

，点。

到三角形三条边的距离之和总是小于或等于点。

到三角形的三个顶点的距离之和的一半。

埃尔德什-莫德尔不等式可以认为是几何学中的欧拉定理的一个推广。

欧拉定理声称三角形外接圆的半径总是大于等于内切圆半径的两倍。

［编辑］历史

该不等式最早由埃尔德什在1935年在《美国数学月刊》上提出，作为第3740号问题。

两年之后，由路易斯•莫德尔和D.F.巴罗证明。

1957年，卡扎里诺夫提出了一个更简捷的证明气之后不断有更简洁、更基本的证明出现。

1958年班考夫（Bankoff）给出了运用正交投影和相似三角形的证明，1997年和2004年出现了使用面积不等式的证明，1993年和2001年发现了根据托勒密定理的证明。

［编辑］证明

如右图，。

为三角形ABC中的一个点。

。

到三角形三边的垂线分别交三条边于D、E、Fo设线段。

4、OB.OC的长度分别是X、*、N,线段。

Q、OE.G如的长度分别是p、q、r,那么埃尔德什-莫德尔不等式为：

x+y+z>2（p+g+r）

Q

一个初等的证明方式是使用三角函数以及均值不等式。

首先，由于垂直于AF,垂直于a、F、。

、e四点共圆且CZ4为直径，因此线段也巴=OAsinA=xsinA（角A为顶点A对应的内角）。

过点F、E作关于3C的垂线交3C于X、Yo过。

作3C的平行线分别交EK月丫于以K由于垂直于4尸，。

打垂直于力氏Zl/£C?

=ZB,=ZGO于是：

UV=UO+OV=OFsmAUFCJ+OEsinAVEO=rsinB+qsinC

另一方面，注意到在直角梯形中句刀〃?

中，斜腰方尸的长度大于等于直角腰U14因此：

xsinA=EF>UV=

-r*__1_n

二rsinB+qsinC

smA

I4.1

sin.4

类似地，还有：

、sinAy>r.c

sin（7+P.c

sinBsinAz>p，〜+g.-

sinBsinB~sinCsinC

三式相加，得到:

j/sinBsin.4\/sin（7sin.4\ZsinCsinB

x+y+z>r（—~—H—:

——）+q（—~~tH—:

~~亍）+P（—~~五H—:

~~刁

\smAsinBJ\sinAsmC）\smBsinC

/sinBsinA\、°

（~~~7+-~o）—2

根据均值不等式，\sin日sin2?

/,等等，于是最终得到:

x+y+z>2（p+g+r）

这就是埃尔德什-莫德尔不等式。

外森比克不等式

设三角形的边长为a,b,c,面积为A,则外森比克不等式（Wcitzcnb6ck，sinequality）>4\/3A成立。

当且仅当三角形为等边三角形，等号成立。

佩多不等式是外森比克不等式的推广。

［编辑］证明一

除了“所有平方数非负”以外，这个证明不用到其它任何不等式。

（a2一胪）2+（胪一c2）2+（c2一a2）2>0

缶今2（a4+伊+c4）—2（a262+a2c2+62c2）>0

.4（a4+伊+c4）〉4（a262+aPeP+62

）

3—3

一（q4+"+c4）+2?

2胪+02^+"^）+睥+钏一（q4十砂十沙）

『（5；+占22（丛）2,

两边取平方根，即得证。

舒尔不等式

舒尔不等式说明，对于所有的非负实数X、大、，和正数都有：

x\x一y）{x一z）+y\y一z）（y一⑦）+z\z一x）（z一饥20

当且仅当X=y=z,或其中两个数相等而另外一个为零时，等号“二”成立。

当「是正的偶数时，不等式对所有的实数X、尸和z都成立。

［编辑］证明

由于不等式是对称的，我们不妨设*n，nz。

则不等式

（式一y）［xf（x一z）一y\y一z）\+z\x一z）（g-z）>0

显然成立，这是因为左边的每一项都是非负的。

把它整理，即得舒尔不等式。

［编辑］推广

舒尔不等式有一个推广：

假设心b、C•是正的实数。

如果（a,b,c）和（xfyfz）是顺序的，则以下的不等式成立:

q（⑦一g）3一z）+b（g一z）{y一x）+c{z一x）{z一y）>0.

2007年，罗马尼亚数学家ValentinVornicu证明了一个更一般的形式:

考虑区，其中而且要么x>y>zy要么Z>y>xo设并设f：

爬―峋•要么是凸函数,要么是单调函数。

那么:

/（x）（a—6）fc（a—c）k+f（y）（b—a）A（6—c）k+f（z）（c—a）k（c—b）k>0-

当x=y—b、z—c>it=1、

/R=nf时，即化为舒尔不等式。

l，）

a2+62+c2><=>3（q2+胪+c2）>

<==J>a2+62+c2>

<==J>a2+62+c2>

<=>a2+62+c2>

ab+be+ca

（q,+b+c）2

匚-./a+6+c\3

V3（a161c）{~^j

>/3（q+b+c）（—Q+b+c）（q—b+c）（q+b—c）4必△.