学年高中物理第三章磁场微型专题7安培力作用下的平衡和加速学案粤教版选修31.docx
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学年高中物理第三章磁场微型专题7安培力作用下的平衡和加速学案粤教版选修31
微型专题7 安培力作用下的平衡和加速
[学科素养与目标要求]
物理观念：
进一步熟练掌握安培定则、安培力公式和左手定则．
科学思维：
1.熟练解决安培力作用下的实际问题.2.综合力学规律分析安培力作用下的力学问题．
一、安培力作用下的平衡问题
1．解题步骤
（1）明确研究对象；
（2）先把立体图改画成平面图，并将题中的角度、电流的方向、磁场的方向标注在图上；
（3）正确受力分析（包括安培力），然后根据平衡条件：
F合＝0列方程求解．
2．分析求解安培力时需要注意的问题
（1）首先画出通电导体所在处的磁感线的方向，再根据左手定则判断安培力方向；
（2）安培力大小与导体放置的角度有关，但一般情况下只要求导体与磁场垂直的情况，其中L为导体垂直于磁场方向的长度，为有效长度．
例1
如图1所示，在与水平方向夹角为60°的光滑金属导轨间有一电源，在相距1m的平行导轨上垂直放一质量为m＝0.3kg的金属棒ab，通以从b→a，I＝3A的电流，匀强磁场方向竖直向上，这时金属棒恰好静止．求：
（g取10m/s2）
图1
（1）匀强磁场磁感应强度的大小；
（2）ab棒对导轨的压力大小．
答案
（1）
T
（2）6N
解析
（1）ab棒静止，受力情况如图所示，
沿斜面方向受力平衡，则
mgsin60°＝BILcos60°.
B＝
＝
T＝
T.
（2）垂直斜面方向受力平衡，则FN＝mgcos60°＋BILsin60°＝（0.3×10×
＋
×3×1×
）N＝6N
由牛顿第三定律知ab棒对导轨的压力为：
N′＝N＝6N
例2
如图2甲所示，一对光滑平行金属导轨与水平面成α角，两导轨的间距为L，两导轨顶端接有电源，将一根质量为m的直导体棒ab垂直放在两导轨上．已知通过导体棒的电流大小恒为I，方向由a到b，图乙为沿a→b方向观察的侧视图．若重力加速度为g，在两导轨间加一竖直向上的匀强磁场，使导体棒在导轨上保持静止．
图2
（1）请在图乙中画出导体棒受力的示意图；
（2）求出导体棒所受的安培力大小；
（3）保持通过导体棒的电流不变，改变两导轨间的磁场方向，导体棒在导轨上仍保持静止，试求磁感应强度B的最小值及此时的方向．
答案
（1）见解析图
（2）mgtanα （3）
垂直轨道向上
解析
（1）如图所示
（2）由平衡条件，磁场对导体棒的安培力F＝mgtanα
（3）当安培力方向平行于导轨向上时，安培力最小，磁感应强度最小，
由平衡条件知，最小安培力Fmin＝mgsinα，即BIL＝mgsinα
则最小的磁感应强度B＝
由左手定则知磁感应强度方向垂直导轨向上
针对训练 如图3所示，用两根绝缘细线将质量为m、长为l的金属棒ab悬挂在c、d两处，置于匀强磁场内．当棒中通以从a到b的电流I后，两悬线偏离竖直方向θ角而处于平衡状态．为了使棒平衡在该位置上，所需磁场的最小磁感应强度的大小和方向为（重力加速度为g）（ ）
图3
A.
tanθ，竖直向上
B.
tanθ，竖直向下
C.
sinθ，平行于悬线向下
D.
sinθ，平行于悬线向上
答案 D
解析 要求所加磁场的磁感应强度最小，应使棒平衡时所受的安培力有最小值．由于棒的重力恒定，悬线拉力的方向不变，由受力分析可知，安培力与拉力方向垂直时有最小值Fmin＝mgsinθ，即IlBmin＝mgsinθ，得Bmin＝
sinθ，方向应平行于悬线向上，故选D.
解决安培力作用下的受力平衡问题，受力分析是关键，解题时应先画出受力分析图，必要时要把立体图转换成平面图.
二、安培力作用下的加速
例3
如图4所示，光滑的平行导轨倾角为θ，处在磁感应强度为B的匀强磁场中，导轨中接入电动势为E、内阻为r的直流电源．电路中有一阻值为R的电阻，其余电阻不计，将质量为m、长度为L的导体棒ab由静止释放，求导体棒在释放瞬间的加速度的大小．（重力加速度为g）
图4
答案 gsinθ－
解析 对导体棒受力分析如图所示，
导体棒受重力mg、支持力FN和安培力F，由牛顿第二定律得：
mgsinθ－Fcosθ＝ma①
F＝BIL②
I＝
③
由①②③式可得
a＝gsinθ－
.
例4
电磁炮是一种理想的兵器，它的主要原理如图5所示，1982年澳大利亚国立大学制作了能把2.2g的弹体（包括金属杆EF的质量）加速到10km/s的电磁炮（常规炮弹速度大小约为2km/s），若轨道宽2m，长为100m，通过的电流为10A，则轨道间所加匀强磁场的磁感应强度为多大？
磁场力的最大功率为多大？
（轨道摩擦不计）
图5
答案 55T 1.1×107W
解析 如图所示，电磁炮受重力mg、轨道支持力FN和磁场对炮弹的安培力F安的作用，做匀加速直线运动，
由运动学知识vt2－v02＝2as得：
a＝
＝
m/s2＝5×105m/s2.
由牛顿第二定律得：
F安＝ma＝BIL，
即得：
B＝
＝
T＝55T.
由瞬时功率P＝Fv，可得磁场力的最大功率为：
Pm＝F安vm＝mavt＝1.1×107W.
1.（安培力作用下的平衡）如图6所示，金属棒MN两端由等长的轻质细线水平悬挂，处于竖直向上的匀强磁场中，金属棒中通以由M向N的电流，平衡时两悬线与竖直方向夹角均为θ.如果仅改变下列某一个条件，θ角的相应变化情况是（ ）
图6
A．金属棒中的电流变大，θ角变大
B．两悬线等长变短，θ角变小
C．金属棒质量变大，θ角变大
D．磁感应强度变大，θ角变小
答案 A
解析 选金属棒MN为研究对象，其受力情况如图所示（从M向N看）．根据平衡条件及三角形知识可得tanθ＝
，所以当金属棒中的电流I或磁感应强度B变大时，θ角变大，选项A正确，选项D错误；当金属棒质量m变大时，θ角变小，选项C错误；θ角的大小与悬线长短无关，选项B错误．
2．（安培力作用下的平衡）水平面上有电阻不计的U形导轨NMPQ，它们之间的宽度为L，M和P之间接入电动势为E的电源（不计内阻）．现垂直于导轨放置一根质量为m、电阻为R的金属棒ab，并加一个范围较大的匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向与水平面夹角为θ且指向右上方，如图7所示，问：
（1）当ab棒静止时，受到的支持力和摩擦力各为多少？
（2）若B的大小和方向均能改变，则要使ab棒所受支持力为零，B的大小至少为多少？
此时B的方向如何？
图7
答案
（1）mg－
（2）
方向水平向右
解析 从b向a看金属棒受力分析如图所示．
（1）水平方向：
f＝F安sinθ①
竖直方向：
FN＋F安cosθ＝mg②
又F安＝BIL＝B
L③
联立①②③得：
FN＝mg－
，f＝
.
（2）要使ab棒所受支持力为零，且让磁感应强度最小，可知安培力竖直向上，则有F安′＝mg，
又F安′＝Bmin
L，联立可得Bmin＝
，根据左手定则判定磁场方向水平向右．
3.（安培力作用下的加速）如图8所示，在同一水平面的两导轨相互平行，并处在竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度为0.2T．一根质量为0.6kg、有效长度为2m的金属棒放在导轨上，当金属棒中的电流为5A时，金属棒做匀速直线运动；当金属棒中的电流突然增大为8A时，求金属棒能获得的加速度的大小．
图8
答案 2m/s2
解析 当金属棒中的电流为5A时，金属棒做匀速直线运动，有I1BL＝f①
当金属棒中的电流为8A时，设金属棒能获得的加速度为a，则I2BL－f＝ma②
联立①②解得a＝2m/s2.
4.（安培力作用下的平衡）（2018·盐城市阜宁县高二上期中）如图9所示，在倾角为37°的光滑斜面上有一根长为0.4m、质量为6×10－2kg的通电直导线，电流大小I＝1A，方向垂直于纸面向外，导线用平行于斜面的轻绳拴住不动．
图9
（1）整个装置放在磁感应强度每秒增加0.4T、方向竖直向上的磁场中．设t＝0时，B＝0，则需要多长时间，斜面对导线的支持力为零？
（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g取10m/s2）
（2）整个装置放在竖直平面内的匀强磁场中，若斜面对导线的支持力为零，求磁感应强度的最小值及其方向．
答案
（1）5s
（2）1.2T 方向平行斜面向上
解析
（1）斜面对导线的支持力为零时导线的受力如图所示．
由平衡条件得FTcos37°＝F
FTsin37°＝mg
联立两式解得F＝0.8N
由F＝BIL得B＝
＝2T
由题意知，B与t的变化关系为B＝0.4t
代入数据得t＝5s
（2）导线在重力、绳的拉力和安培力的作用下保持平衡，当安培力与斜面垂直时，B有最小值B1，则有：
B1IL＝mgcos37°
解得B1＝1.2T，方向平行斜面向上．
一、选择题
1．（多选）质量为m的金属细杆置于倾角为θ的光滑导轨上，导轨的宽度为d，当给细杆通以如图A、B、C、D所示的电流时，可能使杆静止在导轨上的是（ ）
答案 AC
解析 A图中金属杆受重力、沿导轨向上的安培力和支持力，若重力沿导轨向下的分力与安培力大小相等，细杆可能静止，故A正确．B图中金属杆受重力和导轨的支持力，二力不可能平衡，故B错误．若C图中金属杆所受重力与安培力大小相等，则二力平衡，不受支持力即可达到平衡，故C正确．D图中金属杆受重力、水平向左的安培力和支持力，三个力不可能达到平衡，故D错误．
2．（多选）如图1所示，一根通电的直导体棒放在倾斜的粗糙斜面上，置于图示方向的匀强磁场中，处于静止状态．现增大电流，导体棒仍静止，则在增大电流过程中，导体棒受到的摩擦力的大小变化情况可能是（ ）
图1
A．一直增大B．先减小后增大
C．先增大后减小D．始终为零
答案 AB
解析 若F安＜mgsinα，因安培力沿斜面向上，则摩擦力沿斜面向上，当F安增大时，f先减小到零，再沿斜面向下增大；若F安＞mgsinα，摩擦力沿斜面向下，随F安增大而一直增大；若F安＝mgsinα，摩擦力为零，随F安增大，摩擦力沿斜面向下一直增大．故选A、B.
3.（多选）如图2，质量为m、长为L的直导线用两绝缘细线悬挂于O、O′，并处于匀强磁场中．当导线中通以沿x轴正方向的电流I，且导线保持静止时，悬线与竖直方向夹角为θ.则磁感应强度方向和大小可能为（重力加速度为g）（ ）
图2
A．z轴正方向，
tanθ
B．y轴正方向，
C．z轴负方向，
tanθ
D．沿悬线向下，
sinθ
答案 BCD
解析 磁感应强度方向为z轴正方向时，根据左手定则，直导线所受安培力方向沿y轴负方向，直导线不能平衡，所以A错误；
磁感应强度方向为y轴正方向时，根据左手定则，直导线所受安培力方向沿z轴正方向，根据平衡条件，当BIL刚好等于mg时，细线的拉力为零，B＝
，所以B正确；
磁感应强度方向为z轴负方向时，根据左手定则，直导线所受安培力方向沿y轴正方向，根据平衡条件BIL＝mgtanθ，所以B＝
tanθ，所以C正确；
磁感应强度方向沿悬线向下时，根据左手定则，直导线所受安培力方向垂直于细线斜向上，根据平衡条件：
F＝mgsinθ，得：
B＝
，故D正确．
4.一条形磁铁静止在斜面上，固定在磁铁中心的竖直上方的水平导线中通有垂直纸面向里的恒定电流，如图3所示．若将磁铁的N极位置与S极位置对调后，仍放在斜面上原来的位置，则磁铁对斜面的压力F和摩擦力f的变化情况分别是（ ）
图3
A．F增大，f减小B．F减小，f增大
C．F与f都增大D．F与f都减小
答案 C
解析 题图中电流与磁体间的磁场力为引力，若将磁极位置对调则相互作用力为斥力，再由受力分析可知选项C正确．
5.（2018·洛阳市高二上期末）如图4所示，三根长为L的平行长直导线的横截面在空间构成等边三角形，电流的方向均垂直纸面向里．电流大小均为I，其中A、B电流在C处产生的磁感应强度的大小均为B0，导线C位于水平面处于静止状态，则导线C受到的静摩擦力是（ ）
图4
A.
B0IL，水平向左B.
B0IL，水平向右
C.
B0IL，水平向左D.
B0IL，水平向右
答案 B
解析 A、B电流在C处产生的磁感应强度的大小均为B0，作出磁感应强度的合成图如图所示，根据力的平行四边形定则，结合几何关系，则有BC＝
B0；再由左手定则可知，安培力方向水平向左，大小为F＝
B0IL，由于导线C处于静止状态，所以导线C受到的静摩擦力大小为
B0IL，方向水平向右，故选B.
6.如图5所示，在水平放置的平行导轨一端架着一根质量m＝0.4kg的金属棒ab，导轨另一端通过导线与电源相连，该装置放在高h＝20cm的绝缘垫块上，当有竖直向下的匀强磁场时，接通电源，金属棒ab会被平抛到距导轨右端水平距离s＝100cm处，不计空气阻力，则接通电源后安培力对金属棒做的功为（ ）
图5
A．5JB．7JC．10JD．2J
答案 A
解析 设在接通电源到金属棒离开导轨短暂时间内安培力对金属棒做功为W，金属棒离开导轨的速度为v，则
由动能定理有W＝
mv2①
设平抛运动时间为t，
竖直方向h＝
gt2②
水平方向s＝vt③
联立①②③可得W＝
代入数据得W＝5J.
7．（多选）在同一光滑斜面上放同一导体棒，如图6所示是两种情况的剖面图．它们所处空间有磁感应强度大小相等的匀强磁场，但方向不同，一次垂直斜面向上，另一次竖直向上，两次导体棒A分别通有电流I1和I2，都处于静止平衡状态．已知斜面的倾角为θ，则（ ）
图6
A．I1∶I2＝cosθ∶1
B．I1∶I2＝1∶1
C．导体棒A所受安培力大小之比F1∶F2＝sinθ∶cosθ
D．斜面对导体棒A的弹力大小之比FN1∶FN2＝cos2θ∶1
答案 AD
解析 分别对导体棒受力分析，如图所示，
第一种情况：
F1＝BI1L＝mgsinθ，FN1＝mgcosθ
解得：
I1＝
第二种情况：
F2＝BI2L＝mgtanθ，FN2＝
解得：
I2＝
所以
＝
＝
＝
＝cosθ，
＝
＝cos2θ
可见，A、D正确，B、C错误．
8.（2018·河南实验中学质检）如图7所示，光滑的金属轨道分水平段和圆弧段两部分，O点为外侧圆弧的圆心，N点为水平段与圆弧段的切点．两金属轨道之间的宽度为0.5m，匀强磁场方向如图所示，大小为0.5T．质量为0.05kg、长为0.5m的金属细杆置于金属轨道上的M点．当在金属细杆内通以2A的恒定电流时，金属细杆可以沿轨道向右由静止开始运动．已知MN＝OP＝1m，g取10m/s2，则（ ）
图7
A．金属细杆开始运动时的加速度大小为5m/s2
B．金属细杆运动到P点时的速度大小为5m/s
C．金属细杆运动到P点时的向心加速度大小为10m/s2
D．金属细杆运动到P点时对每一条轨道的作用力大小为0.75N
答案 D
解析 金属细杆开始运动时的加速度大小a＝
＝10m/s2，故A错误；金属细杆由M点运动至P点的过程由动能定理得BIL·（MN＋OP）－mg·ON＝
mvP2，解得vP＝2
m/s，故B错误；金属细杆运动到P点时a向＝
＝20m/s2，故C错误；在P点，设每一条轨道对金属细杆的作用力大小为FN，由牛顿第二定律得2FN－BIL＝ma向，则FN＝0.75N，故D正确．
二、非选择题
9.音圈电机是一种应用于硬盘、光驱等系统的特殊电动机，如图8是某音圈电机的原理示意图，它由一对正对的磁极和一个正方形刚性线圈构成，线圈边长为L，匝数为n，磁极正对区域内的磁场方向垂直于线圈平面竖直向下，大小为B，区域外的磁场忽略不计．线圈左边始终在磁场外，右边始终在磁场内，前后两边在磁场内的长度始终相等，某时刻线圈中电流从P流向Q，大小为I.
（1）求此时线圈所受安培力的大小和方向；
（2）若此时线圈水平向右运动的速度大小为v，求安培力的功率．
图8
答案
（1）nBIL 方向水平向右
（2）nBILv
解析
（1）线圈前后两边所受安培力的合力为零，线圈所受的安培力即为右边所受的安培力，由安培力公式得
F＝nBIL①
由左手定则知方向水平向右
（2）安培力的功率为P＝F·v②
联立①②式解得P＝nBILv
10.（2018·平顶山、许昌、汝州高二上第二次联考）如图9所示，两平行金属导轨间的距离L＝0.4m，金属导轨所在的平面与水平面夹角θ＝37°，在导轨所在平面内，分布着磁感应强度B＝0.5T、方向垂直于导轨所在平面向上的匀强磁场．金属导轨的一端接有电动势E＝4.5V、内阻r＝0.5Ω的直流电源．现把一个质量m＝0.04kg的导体棒ab放在金属导轨上，导体棒恰好静止．导体棒与金属导轨垂直且接触良好，导体棒与金属导轨接触的两点间的电阻R0＝2.5Ω，金属导轨电阻不计，g取10m/s2.已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，求：
图9
（1）通过导体棒的电流大小；
（2）导体棒受到的安培力大小；
（3）导体棒受到的摩擦力大小．
答案
（1）1.5A
（2）0.3N （3）0.06N
解析
（1）根据闭合电路欧姆定律I＝
＝1.5A.
（2）导体棒受到的安培力
F安＝BIL＝0.3N.
（3）对导体棒受力分析如图所示，
将重力分解有F1＝mgsin37°＝0.24N，
F1＜F安，根据平衡条件，mgsin37°＋f＝F安，
解得f＝0.06N.
11.（2018·张家口市高二上月考）如图10所示，PQ和MN为水平、平行放置的金属导轨，相距0.6m，导体棒ab垂直放置在导轨上，导体棒的质量m＝0.4kg，导体棒ab的中点用轻绳经滑轮与物体相连，物体质量M＝0.2kg，导体棒与导轨间的动摩擦因数μ＝0.4，匀强磁场的磁感应强度B＝0.5T，方向竖直向下．取g＝10m/s2.
图10
（1）为了使物体匀速上升，应在导体棒中通入多大的电流？
方向如何？
（2）为了使物体匀速下落，应在导体棒中通入多大的电流？
方向如何？
答案 见解析
解析
（1）为了使物体匀速上升，导体棒所受安培力方向应向左，由左手定则可知，导体棒中的电流方向应为a→b
由平衡条件得：
BI1L＝Mg＋μmg
解得：
I1＝12A.
（2）由Mg＝2N>μmg＝1.6N可知，为了使物体匀速下落，导体棒所受安培力方向应向左．
由左手定则可知，导体棒中的电流方向应为a→b
由平衡条件得：
BI2L＝Mg－μmg
解得：
I2＝1.33A.
12.（2018·天津六校高二上期末）如图11所示，两光滑平行金属导轨间的距离L＝0.4m，金属导轨所在的平面与水平面夹角θ＝37°，在导轨所在平面内，分布着方向垂直于导轨所在平面向上的匀强磁场．现把一个质量m＝0.04kg的导体棒ab垂直放在金属导轨上，当接通电源后，导轨中通过的电流恒为I＝1.5A时，导体棒恰好静止，g取10m/s2.已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，求：
图11
（1）磁场的磁感应强度为多大；
（2）若突然只将磁场方向变为竖直向上，其他条件不变，则磁场方向改变后的瞬间，导体棒的加速度为多大．
答案
（1）0.4T
（2）1.2m/s2
解析
（1）导体棒受力如图甲所示，建立直角坐标系如图
根据平衡条件得：
F安－mgsin37°＝0
而F安＝BIL
解得B＝0.4T
（2）导体棒受力如图乙所示，建立直角坐标系如图
根据牛顿第二定律得：
mgsin37°－F安′cos37°＝ma
而F安′＝BIL
联立解得：
a＝1.2m/s2
即导体棒的加速度大小为1.2m/s2，方向沿斜面向下．
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