概率论公式总结.docx

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概率论公式总结

第1章随机事件及其概率

加法公式

P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）当P（AB）=0时，P（A+B）=P（A）+P（B）

减法公式

P（A-B）=P（A）-P（AB）

当B<=A时，P（A-B）=P（A）-P（B）

当A二Q时，P（B）=1-P（B）

乘法公式

乘法公式：

P（AB）=P（A）P（B/A）

更一般地,对事件A’,Ac,…凡，若P（AxA=-A=-i）>0,则有

P（AiAz...An）=P（Ai）P（Az|Ai）P（Aj1AiAi）P（A”|AiAi...An-1）

独立性

1两个事件的独立性

设事件4、B满足卩⑷）=P（4）P（〃），则称爭件4、B是相互独立的。

若事件A、〃相互独立，且尸（人）>°，则有

P（B|A）=卩⑷）=P（A）P3）=p（B）

P（A）P（A）

2多个事件的独立性

设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，

P（AB）=P（A）P（B）：

P（BC）=P（B）P（C）；P（CA）=P（0P（A）

并且同时满足P（ABC）=P（A）P（B）P（C）

全概公式

P（A）=P（Bi）P（A|BJ+P（BJP（A|®）+A+P（B“）P（A\Bn）

贝叶斯公式

P（B"A）=Pe）P（A®）,口，2,・・□

（巧）P（A/巧）

>=i

此公式即为贝叶斯公式。

P（5）,（/=!

2,…，“），通常叫先验概率。

P（B,/A）,（'=1,2,…，“），通常称为后验概率。

贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。

第二章随机变量及其分布

连续型随机变量的分布密度

设F（x）是随机变量X的分布函数，若存在非负函数/（X）,对任意实数"，有F（x）=L/（x）dx,则称x为连续型随机变量。

称为X的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。

密度函数具冇下面性质：

/（X）X°L‘⑴办=1

离散与连续型随机变量的关系

P（X=x）^P（x

中所起的作用与P（X=汕）=Pk左离散型随机变虽理论中所起的作用相类似。

设X为随机变量，x是任意实数，则函数F（x）=P（X

P（a

分布函数F（x）表示随机变量落入区间（・«,x］内的概率。

1.0

F（x）是单调不减的函数，即xl

尸（xi）

4。

XT-3C.V—HOC

尸（x+0）=F（x）,即F（x）是右连续的;5.P（X=x）=F（x）-F（x-O）.对于离散型X

随机变量，对于连续型随机变量，。

=Jf\x）dx

-Ua—8

泊松分布

2*

P（X=k）=^-e~\兄>0.k=0,1,2A,

k\

则称随机变量X服从参数为;1的泊松分布，记为X〜兀（兄）或

者P

（2）o

超几何分布

PZk』・C：

*Z2Z

C；1=mui（Af,/?

）

随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为H（n,N,M）。

几何分布

p（X=k）=qZp、k=L23,A,其中pNO,q二1-p。

随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G（p）°

均匀分布

设随机变量X的值只落在［a,b］内，其密度函数/（X）在［a,b］上为常数,1,即

Ac

•

f（x）=

0,其他

当aWxKx：

Wb时，X落在区间

（"，心）内的概率为

P（X］

b—a

指数分布

正态分布

x>0

I0,兀<0.

其中久>°,则称随机变量X服从参数为久的指数分布。

X的分布函数为

F（x）=

x>0

0.

x

设随机变最X的密度两数为

两数分布

离散型

记住枳分公式

Jxne~'dx=n\

o

1.（•"

其中"、b>°为常数,则称随机变最X服从参数为"、<7的正态分布或高斯（Gauss）分布，记为X°

/（X）具有如下性质：

rf（x）的图形是关干x=p对称的：

2。

当时，/（//）=为最大值；

、J2"

若X~N（“,b）,则X的分布函数为

2a

1厂吻弘F1厂*

①（X）是不可求积函数，其函数值,己编制成衣可供査用。

（x）且（D（0）=+。

如果X、则

~N（0,l）

Pg

X

Xl.X2.A,Xn.A

P（X=x）

pi.PsA,pgA

己知X的分布列为

g（mg（r），A,g（Xn）,A

y=g（X）的分布列（”=g（xj互不相等）如下:

Y

若:

某等，"釦'：

冷讪'鋼"偏加作为g（.®的概率。

连续型

先利用X的概率密度fx（x）写出Y的分布函数Fv（y）=P（g（X）W

y）,再利用变上下限积分的求导公式求出fy（y）。

第三章二维随机变量及其分布

连续型

对于二维随机向量歹=（X』），如果存在非负函数

/（.V,y）（-s

有

P{（X,Y）6D}=j]7（x,y）dxdy,则称？

为连续型随机向量：

D

并称f（x,y）为歹二（X,Y）的分布密度或称为X和Y的联合分布密度。

分布密度f（x,y）具有下面两个性质：

（1）f（x,y）$0;

（2）匚匚f（x,y）dxdy=1.

离散型与连续型的关系

P（X=x,X=y）«P（x

边缘分布

离散型

X的边缘分布为

£・—P（X=兀）=工Ptj（i,j—1,2,A）:

i

Y的边缘分布为

p.j=p（丫=yj）=Pijo’J=1,2,a）。

i

〔:

型

X的边缘分布密度为

AW=J3/（"）dy：

Y的边缘分布密度为fY（y）=匚/（利）力

离散型

Pq=Pi・P・j

有零不独立

连续型

f（x,y）=fx（x）fr（y）直接判断,充要条件:

①可分离变量②正概率密度区间为矩形

随机变量的

函数

若X：

&…凡,j…人相互独立,h,g为连续函数，则：

h（Xx,X2,-X.）和g（人，・・％）相互独立。

特例：

若X与Y独立，则：

h（X）和区（Y）独立。

例如：

若X与Y独立，则：

3X+1和5丫-2独立。

函数分布

Z=niaxjiini（

XX・・X』

才分布

t分布

根据定义计算：

rz（z）=p（z

态分布的和仍为正态分布（“i+M-cri+cr；）。

n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。

"工以，宀工cp：

Ii

若X"?

AX”相互独立，其分布函数分别为

FVi（x）tFx^（x）AFx（x）,则Z-max.iuui（Xi•*Xn）的分布

函数为：

FM）=行⑴•（x）AFXu（x）

Fmm（x）=1-[1-FXi（x）]•[!

-FXz（x）]A[1-FXk（x）]

设n个随机变量X],X"A,X”相互独立，且服从标准正态分布，町以证明它们的平方和

W=fX：

我们称随机变SW服从自由度为n的Z2分布记为

1-1

W〜F（〃）

所谓门由度足指独X:

态随机变也的个数,它是随机变量分布

中的一个重要参数。

才分布满足可加性：

设Yj-x\nS则

Z=D〜力"竹+公+A+nk）./■I

12X.Y是两个相互独立的随机变量，且X~N（Od）,Y~z2（/0,可

X

以证明函数T=-==我们称随机变量T服从自由度为n的t分布,

4y7h

记为T〜t（n）°t^a（11）=-ta（7?

）

F分布

设X〜才〜才（心），且X与Y独立，可以证明F=X_ih_我们称随机变最f服从第一个自由度为m,第二个Yin.

mb

自由度为n：

的F分布，记为F~f（m,m）.

e（w）-口t、

代⑺佔）

第四章随机变量的数字特征

离散型

连续型

期望

期望就是平均值

设X是离散型随机变最,其分布律为P（X=xk）=Pk,k=l,2,…，n,

（要求绝对收敛）

设X是连续型随机变量.其概率密度为f（x）,

■KC

E（X）=J#（x）dx

（要求绝对收敛）

函数的期塑

Y=g（X）

砒）=£gam

k=l

Y=g（X）

砒）=Jg（x）m）dx

-X

方差

D（X）=E[X-E（X）]:

标准差

6X）=J0X）,

D（X）=》E—E（X）]S

D（X）=][x-E（X）Y

-00

（1）E（C）二C

（2）E（CX）=CE（X）

nn

（3）E（X+Y）=E（X）+E（Y）•E（工XJ=工CtE（XJ

（4）E（XY）=E（X）E（Y）,充分条件：

X和Y独立：

充要条件：

X和Y不相关。

f（x）dx

望性

随变的

⑴

-维机量数

字特征

（2）期的质

（3）方差的性质

（1）D（C）=O；E（C）=C

（2）D（aX）=a：

D（X）；E（aX）=aE（X）

（3）D（aX+b）=a：

D（X）:

E（aX+b）=aE（X）+b

（4）D（X）=E（X-）-E:

（X）

（5）D（X±Y）=D（X）+D（Y）,充分条件:

X和Y独立；

充要条件：

X和Y不相关。

D（X±Y）=D（X）+D（Y）±2E[（X-E（X））（Y-E（Y））],无条件成立。

而E（X+Y）二E（X）+E（Y）,无条件成立。

（4）常见分布的期望和方差

期望

方差

0-1分布3（1,p）

P

pQ-P）

二项分布B（n,p）

np

W（1-P）

泊松分布F（X）

A

A

几何分布G（p）

1

P

1一"p2

超几何分布

H0MN）

nM

N

nML

n丿

均匀分布Ugb）

a+b

2

（b-a）2

12

指数分布讯刃

1

I

1

正态分布N（//,cr2）

b

力'分布

n

2n

t分布

0

—（n>2）n-2

二维随机变量

期望

E（X）=±XjPi・

r=l

E（Y）二

-X

E（X）=jxfx（x）dx

_x

WO

E（Y）=jyfY（y）dy

-X

函数的期塑

E[G（X.Y）]=工工G（兀，儿也

iJ

E[G（X,Y）]=

4CD+x

JJG（x,y）/（x,刃厶心

_X—QD

数字特征

方差

d（x）=》[e-e（x）Fp・

J

-WC

D（X）=J[x-E（X）FA（x）dx

-X

•wo

D（Y）=j[y-E（Y）]2fY（y）dy

-X

协方差

对于随机变量X与Y.称它们的一阶混介中心矩为X与Y的协方差或相关矩,记为bxy或COV（X,K）,即

b灯=//11=^[（x-f（x）xy-E（n）].

与记号相对应，X与Y的方差D（X）与D（Y）也町分别记为丁茫与^YY。

相关系数

对于随机变量X与Y,如果D（X）>0,D（Y）>0,则称

_空为X弓Y的相关系数，记作卩紬（有时可简记为°）。

JD（X）JD（Y）

IplWl,当|p|二1时，称X与Y完全和关：

P（X=aY+h）=1完全正相关，肖p=ll甘（a>0）,

负相关，半0=-111寸（av0）,

而当p=0时，称X与Y不相关。

以下五个命题是等价的：

®pxr=0：

②cov（X,Y）=0;③E（XY）二E（X）E（Y）;④D（X+Y）二D（X）+D（Y）;⑤D（X-Y）=D（X）+D（Y）.

协方差的性质

（i）cov（X,Y）=cov（Y,X）:

（ii）cov（aX,bY）=abcov（X,Y）;

（iii）cov（Xi+Xs,Y）=cov（Xi,Y）+cov（X;,Y）;

（lv）cov（X,Y）=E（XY）-E（X）E（Y）.

独立利不相关

若随机变量X与Y相互独立，则=0；反之不真。

（2）中心极限定理

//

列维一

林德伯格定理

设随机变量XnX：

…相互独立，服从同一分布，且具有相同的数学期望和方差：

E（XQ=“,£>（XJ=/工0伙=1,2,A）,则随机变量

ixk一叩

V—E

的分布函数EC0对任意的实数X,有

A■

乞Xk-Wy

InnFn（x）-lunP{_

f"txJ’QJ2rrJ'x

■

此定理也称为独立同分布的中心极限定理。

棣莫弗一拉普拉斯定理

设随机变量X“为具有参数n,P（O

-hinp\X"~np<4-[「£%

[J〃〃（i一p）

第六章样本及抽样分布

样本k阶中心矩

E（X）=//,D（X）=—

n

1刀一

其中s*2=ly（xf-X）2,

E（S2）=cr2

£（S*2）=^-o-2n

为二阶中心矩

设“，W，A，兀，为來自正态总体）的一个样本，而

儿，儿,人，儿为来自正态总体N（/la;）的一个样本，则样本

函数

F分布

defs2/a2

F—:

1~尸（心-Ln2_1）,其中

S[/（T；

1ni-1n：

-

S：

=——£（匕-审，s；=——X（y,-y）2;弘一1気”2-1辭

F（耳一1,n2-1）表示自由度为©-1,

t分布

设xhx:

A，兀为来自正态总体的一个样本，则样

表示自由度为分

n—1MM卜命

当总体X为连续型随机变量时，设其分布密度为•其中为未知

参数。

又设坷宀A,£为总体的-个样本,荊g,G,A,/）=h/（»q,d,A,色

为样本的似然函数，简记为Ln.，=1

当总体X为离型随机变量时，设其分布律为P{X=x}=p（x^[,6>:

A,盅），则

L（jhx：

A，兀;q,&：

A,0”）=fj"a；q，&-A，&",）为样本的似然两数。

若似然两数

1-1

人A人AAA

厶,%）在扒小4九处取到Ai人值，则称8-2A，&刃分别为q,2,A,盅的最人似然估计值，相应的统计量称为最人似然估计量。

=0j=L2.Am若5为&的极大似然估.