人教版数学五年级下册《因数和倍数》素材.docx

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人教版数学五年级下册《因数和倍数》素材

1.因数和倍数教材说明和教学建议

（第12～16页）

    教材说明

   这部分教材首先介绍了因数和倍数的概念，然后在例1和例2分别介绍了求一个数的因数和倍数的方法。

1.因数和倍数。

编写意图

   本单元在引入因数和倍数的概念时与以往的教材有所不同。

在以往的教材中，都是通过除法算式来引出整除的概念，每个除法算式对应着一对有整除关系的数，如b÷a＝n表示b能被a整除，b÷n＝a表示b能被n整除。

在此基础上再引出因数和倍数的概念。

实际上，如前所述，由于乘除法本身就存在着互逆关系，用乘法算式（如b＝na）同样可以表示整除的含义。

因此，本套教材中没有用数学化的语言给“整除”下定义，而是利用一个简单的实物图（2行飞机，每行6架）引出一个乘法算式2×6＝12，通过这个乘法算式直接给出因数和倍数的概念。

这样，学生不必通过12÷2＝6得出12能被2整除，进而2是12的因数，12是2的倍数。

再通过12÷6＝2得出12能被6整除，进而6是12的因数，12是6的倍数，大大简化了叙述和记忆的过程。

在这儿，用一个乘法算式2×6＝12可以同时说明“2和6都是12的因数，12是2的倍数，也是6的倍数。

”

   接着，通过3×4＝12，进一步巩固因数和倍数的概念。

在学生熟练掌握了因数和倍数的概念以后，教材让学生试着找出12的其他因数，引导学生写出两个数的积等于12的另一个乘法算式1×12＝12，从而得出1和12也是12的因数。

   最后，教材对整数0进行特殊说明，以明确本单元中数的研究范围。

因为数论只研究整数的性质，所以，本单元中涉及到的数都是整数。

由于学生还没有学习负整数，因此，本单元的整数与自然数同义。

根据因数和倍数的定义，0是任何非零自然数的倍数，任何非零自然数都是0的因数。

但是考虑到以后研究最大公因数和最小公倍数时，如果不排除0，很多问题无从讨论，如讨论0和5的最大公因数既没有实际意义，也没有数学意义，再如，如果把0考虑在内，任意两个自然数的最小公倍数就是0，这样的研究没有任何价值。

因此，教材指出本单元研究的内容一般不包括0，这样就避免了一些不必要的麻烦。

教学建议

   教学因数和倍数概念时，可以结合教材上的直观图（2行飞机，每行6架）引导学生列出乘法算式2×6=12或6×2=12，再根据所列的乘法算式直接给出因数和倍数的概念。

接下来，再结合直观图（3行飞机，每行4架）进一步巩固因数和倍数的概念。

最后，让学生脱离情境图，想一想12还有哪些因数，引导学生列出乘法算式1×12=12或12×1=12，概括出“1和12都是12的因数，12是1和它本身的倍数”。

在此基础上，教师可以引导学生利用一般的乘法算式a×b=c归纳出因数和倍数的概念：

a、b都是c的因数，c是a和b的倍数。

   教学时，应注意以下四点：

（1）虽然本套教材不是从过去的整除定义（形式上是除法算式）出发，而是通过一个乘法算式来引出因数和倍数概念，但在本质上仍是以“整除”为基础，只是略去了许多中间描述。

因此，要注意，只有在这个乘法算式中的因数和积都是整数的情况下才能讨论因数和倍数的概念。

教学时，教师也可以举出一些反例加以说明，如5×0.8＝4，虽然等式成立，但不能说5和0.8是4的因数，或4是5和0.8的倍数。

（2）因数和倍数是一对相互依存的概念，不能单独存在。

a是b的因数，反过来b就是a的倍数，因此，描述因数或倍数时必须说清楚谁是谁的因数（或倍数），要引导学生使用比较规范的语言，如“2是12的因数，12是2的倍数”而不是“2是因数，12是倍数”，在课堂上或练习中学生如果出现类似的错误要及时加以纠正。

（3）要注意区分乘法算式各部分名称中的“因数”和本单元中的“因数”的联系和区别。

在同一个乘法算式中，两者都是指乘号两边的整数，但前者是相对于“积”而言的，与“乘数”同义，可以是小数，而后者是相对于“倍数”而言的，与以前所说的“约数”同义，说“×是×的因数”时，两者都只能是整数。

（4）要注意区分“倍数”与前面学过的“倍”的联系与区别。

“倍”的概念比“倍数”要广，如我们可以说“15是3的5倍”，也可以说“1.5是0.3的5倍”，但我们只能说“15是3的倍数”，却不能说“1.5是0.3的倍数”。

我们在求一个数的倍数时，运用的方法与“求一个数的几倍是多少”是相同的，只是这里的“几倍”都是指整数倍。

2.例1。

编写意图

   例1是教学一个数的因数的求法。

教材直接提出问题“18可以由哪两个数相乘得到？

”引导学生利用因数的概念来求18的因数。

在这里，每列出一个乘法算式，就可以求出18的一对因数，只要学生有序地写出两个数的乘积是18的所有乘法算式，就可以把因数找全。

在此基础上，再用集合图表示出一个数的全部因数，为后面用交集形式表示两个数的公因数打下基础，使学生初步体会到一个数的因数的个数是有限的。

   接下来，通过“做一做”进一步巩固求一个数的因数的方法。

   最后，以例1和“做一做”为基础，引导学生抽象地概括出一个数的最小因数和最大因数分别是什么，总结出一个数的因数的个数是有限的结论，向学生渗透从个别到全体、从具体到一般的抽象归纳的思想方法。

教学建议

   教学例1时，要引导学生从因数的概念出发去求18的因数，也就是想：

哪两个整数相乘的积是18？

从每个满足条件的乘法算式中可以找出18的一对因数。

找的时候，要引导学生有序地思考。

教学时，如果学生用除法思考，固定被除数18，改变除数，看除得的商是不是整数，如果是，则除数和商都是被除数的因数，这样的思考方法也是应该鼓励的。

等学生把18的所有因数都写出来，再让他们用集合的形式表示出来，为后面求两个数的公因数做准备。

   然后，让学生做“做一做”的题目。

通过例1和“做一做”的练习，引导学生观察到每个数的最小因数是1，而最大因数是它本身，因此，它的因数的个数是有限的。

3.例2。

编写意图

   例2是教学一个数的倍数的求法。

根据一个数的倍数的定义，可知该数和任意非零自然数之积都是该数的倍数。

因此，2的倍数也就是2和任意非零自然数的乘积，学生在列乘法算式时就会发现这样的算式是列不完的，因此，2的倍数的个数是无限的。

接下来，也用集合图表示出2的倍数，为后面学习用交集表示两个数的公倍数打下基础。

   “做一做”中分别安排了让学生求3、5的倍数的练习，一方面巩固了对倍数概念的理解，另一方面，结合例2中2的倍数，为后面学习2、3、5的倍数的特征做准备。

   最后，与例1的编排相类似，教材通过求以上几个数的倍数，使学生总结出：

一个数的倍数的个数是无限的，只有最小的倍数，没有最大的倍数，为后面学习最小公倍数打下基础。

   教材还用“你知道吗？

”介绍了完全数的概念，以丰富学生的数论知识，引导学生在课余时间探索完全数的性质，也可以先求出教材上提供的几个数的因数，然后验证是否符合完全数的定义。

教学建议

   教学例2时，可以参照例1的方法进行教学。

在找一个数的倍数时，要引导学生从“这个数的整数倍”考虑，因此，可以从最小的倍数找起。

学生找出了几个2的倍数以后，教师可以提问2的倍数有多少个，引导学生通过想自然数的个数是无限的，进而想到2的自然数倍也是无限的，无法一一罗列，可以用省略号表示。

在用集合图表示2的倍数时，也要注意提醒学生在集合圈里写出省略号。

然后在完成“做一做”的基础上，引导学生观察并思考：

一个数的最小倍数是几？

有没有最大的倍数？

引导学生自主得出结论。

   4.关于练习二中一些习题的说明和教学建议。

第2题，让学生分别找出36和60的因数，在学生完成题目后，教师可以有意识地让学生观察一下有哪些数是这两个数共同的因数，这些共同因数中最大的是什么，为后面学习“公因数”和“最大公因数”做准备。

   第3题，让学生分别找出8和9的倍数，在学生完成题目后，教师可以有意识地让学生观察一下有哪些数是这两个数共同的倍数，这些共同倍数中最小的是什么，为后面学习“公倍数”“最小公倍数”“互质的两个数的最小公倍数是它们的乘积”等知识做准备。

   第5题，帮助学生辨析某些概念。

如说因数和倍数时，必须说清楚谁是谁的因数（或倍数）。

再如，任何一个非零自然数的倍数的个数都是无限的，任何非零自然数都有因数1，等等。

   第6题，通过猜数游戏巩固因数和倍数的概念，第

（1）题，使学生认识到，随着限制条件的增多，符合条件的数越来越少。

实际上，题目中共有四个限制条件，先看42的因数有1、2、3、6、7、14、21、42，其中只有7、14、21、42是7的倍数，这四个数中只有14和42是2的倍数，其中只有42才是3的倍数，所以，符合条件的数只有42。

第

（2）、（3）题，都使学生进一步理解一个数的最大因数和最小倍数都是它本身。

   第16页的思考题，是通过两个特殊的例子，引导学生通过不完全归纳，总结出以下的结论：

如果两个数都是一个数的倍数，那么这两个数的和也是这个数的倍数。

还可以引导学生用数学化的方式对这个结论加以证明：

如果B是A的倍数，那么必然存在一个整数m，使B＝Am，如果C也是A的倍数，那么必然存在一个整数n，使C＝An，那么B＋C＝Am＋An＝A（m＋n），因此，B＋C也是A的倍数。

这个结论还可以进一步扩展：

如果有n个数都是一个数的倍数，那么这n个数的和也是这个数的倍数。

2.《因数与倍数》课标要求

《义务教育数学课程标准（2011年版）》在“学段目标”的“第二学段”中提出：

“在观察、实验、猜想、验证等活动中，发展合情推理能力，能进行有条理的思考，能比较清楚地表达自己的思考过程与结果”“会独立思考，体会一些数学的基本思想”“经历与他人合作交流解决问题的过程，尝试解释自己的思考过程”“能回顾解决问题的过程，初步判断结果的合理性”“在运用数学知识和方法解决问题的过程中，认识数学的价值”。

《义务教育数学课程标准（2011年版）》在“课程内容”的“第二学段”中提出：

“知道2，3，5的倍数的特征”“在1—100的自然数中，能找出10以内自然数的所有倍数”“了解自然数、整数、奇数、偶数、质（素）数和合数”。

3.《因数与倍数》教材分析

“因数与倍数”这一单元的知识是学生学习数学不可或缺的基础。

之前，学生已经学习了一定的整数知识，如整数的认识、整数的四则混合运算及其应用。

本单元将进一步认识整数的性质，主要学习内容包括：

因数与倍数，2、5和3的倍数的特征，质数与合数。

因数、倍数、质数、合数等概念以及最大公因数、最小公倍数等内容都是初等数论的基础知识。

数学一直被誉为“科学的皇后”，而数论更被誉为“数学的皇后”。

单元的知识作为数论知识的基础，是小学数学教材中的重要内容。

一方面，学习分数，特别是学习约分、通分，需要以因数、倍数的概念为基础，进一步掌握公因数、最大公因数和公倍数、最小公倍数的概念，需以质数、合数的概念为基础，同时掌握2、5和3的倍数的特征。

另一方面，学习了本单元的知识，能使学生加深对整数与整数除法的认识，加之这些知识比较抽象，而且概念间的联系非常紧密，所以也有助于发展学生的数学思维。

一、与实验教材（《义务教育课程标准实验教科书数学五年级》，下同）的主要区别

1．与实验教材相比，修订后的教材不再出现整除的概念，因数和倍数的概念由整数除法算式引出，而不是乘法，这样便于学生感知因数与倍数的本质内涵，领悟这两个概念不是针对整数乘法，而是反映整数除法中余数为0的情况，为后面找一个数的因数和倍数做准备。

2．与实验教材相比，修订后的教材更加明确了因数与倍数的相互依存的关系。

3．与实验教材相比，在学习2、5、3的倍数的特征时，修订后的教材均采用了百数表，这样使学生的探究学习更加开放，有利于提高学生独立学习的能力和发展学生的创造性思维。

4．与实验教材相比，修订后的教材增加了两数之和的奇偶性的探讨，让学生在探究过程中获得数学活动的经验，丰富解决问题的策略。

二、教材例题分析

因数和倍数：

例1：

因数和倍数的概念

例1教材给出9个除法算式，让学生试着分类；接着出示以“商是整数且没有余数”为分类标准分成两类的一种结果。

在此基础上由第一类中的整数除法，引出因数和倍数的概念，并举例说明。

从具体的整数除法等式到抽象的数学概念，再由抽象的概念回到具体，举例说明概念。

这样的思维转换过程有利于学生认知概念，切实掌握概念。

通过让学生说一说第一类中每个算式，谁是谁的因数，谁是谁的倍数，进一步体会“因数和倍数是互相依存的”。

在例1的最后，教材指出了本单元中的数的研究范围是大于0的自然数。

例2：

一个数的因数的求法

例2直接提出问题：

“18的因数有哪几个？

”引导学生利用因数的概念从小到大依次写出，然后再用集合图表示出一个数的全部因数，为后面用交集图表示两个数的公因数打下基础，并使学生初步体会一个数的因数个数是有限的。

例3：

一个数的倍数的求法

例3教材直接提出问题：

“2的倍数有哪些？

”因为被除数相当于积，所以求2的倍数可将2和任意非零自然数相乘得到。

学生在列乘法算式时就会发现这样的算式是列不完的，因此，2的倍数的个数是无限的。

接着也用集合图表示出2的倍数，为后面学习交集图表示两个数的公倍数奠定基础。

最后引导学生抽象概括出一个数的最小、最大因数和最小倍数分别是什么，总结出一个数的因数、倍数的个数的结论，在其中渗透从个别到全体、从具体到一般的抽象归纳思想方法。