判定平行四边形地五种方法.docx
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判定平行四边形地五种方法
判别平行四边形的基本方法
如何判别一个四边形是平行四边形呢？
下面举例予以说明•
一、运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”判别
例1如图1,在平行四边形ABC[中,E、F在对角线AC上，且AE=CF试说明四边形DEBf是平行四边形.
分析：
由于已知条件与对角线有关，故考虑运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”进行判别•为此，需连接
BD
解：
连接BD交AC于点0
因为四边形ABCD1平行四边形，
所以AO€0BO=DO又AE=CF
所以AOAE=COCF即EO=FO
所以四边形DEBF是平行四边形.
二、运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”判别
例2如图2,是由九根完全一样的小木棒搭成的图形，请
你指出图中所有的平行四边形，并说明理由•
分析:
设每根木棒的长为1个单位长度，则图中各四边形的边长便可求得，故应考虑运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”进行判别•
解：
设每根木棒的长为1个单位长度，则AF=BC=1,AB=FC=1,所以四边形ABCF是平行四边形•
同样可知四边形FCDE四边形ACDF都是平行四四边形•因为AE=DB=2,AB=DE=1,所以四边形ABDEL是平行四边形•
三、运用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判别
例3如图3,E、F是四边形ABCD勺对角线AC上的两点，AE=CFDF=BEDF//BE试说明四边形ABCD1平行四边形•
分析：
题目给出的条件都不能直接判别四边形ABCD是平
行四边形，但仔细观察可知，由已知条件可得△ADF^ACBE
由此就可得到判别平行四边形所需的“一组对边平行且相等”的条件•
解：
因为DF//BE所以/AF[=ZCEB
因为AE=CF所以A曰EF=CF+EF,即AF=CE又DF=BE所以△ADF^ACBE所以AD=BC/DAf=ZBCE
所以AD/BC所以四边形ABCD!
平行四边形•
四、运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判
图4
例4如图4,在平行四边形ABCDK/DAB/BCD勺平分线分别交BCAD边于点E、F,则四边形AECF是平行四边形吗？
为什么？
分析：
由平行四边形的性质易得AF//EC又题目中给出的是有关角的条件，借助角的条件可得到平行线，故本题应考虑运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”进行判别•
解：
四边形AECF是平行四边形.
理由：
因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD//BC/DAB/BCD
11
所以AF//EC又因为/1=-/DAB/2=丄/BCD
22
所以/仁/2.因为AD//BC所以/2=/3,所以/仁/3,所以AE//CF所以四边形AECF是平行四边形•
判定平行四边形的五种方法
平行四边形的判定方法有：
（1）证两组对边分别平行；
（2）证两组对边分别相等；（3）证一组对边平行且相等；（4）证对
角线互相平分；（5）证两组对角分别相等。
下面以近几年的中考题为例说明如何证明四边形是平行四边形。
A
DC
F
图1
一、两组对边分别平行
如图1,已知△ABC是等边三角形，DE分别在边BC
AC上,且CD=CE连结DE并延长至点F,使EF=AE连结AFBE和CF
（1）请在图中找出一对全等三角形，并加以证明；
⑵判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由。
解：
（1）选证△BDE^AFEC
证明：
•••△ABC是等边三角形，
•••BCAC/ACD60°
•••CD=CE•-BDAE△EDC是等边三角形
•••DE=EC/CDEZDEC60。
•••/BDEZFEC=120°
又•••EF=AE•-BD=FE,BDE^AFEC
（2）四边形ABDFi平行四边形
理由：
由
（1）知，△ABC△EDCAAEF都是等边三角形
•••ZCDEZABCZEFA=60°
•AB//DF,BD//AF
••四边形ABDF是平行四边形。
点评：
当四边形两组对边分别被第三边所截,易证截得的同位角相等，内错角相等或同旁内角相等时，可证四边形的两组对边分别平行，从而四边形是平行四边形。
二、一组对边平行且相等
例2已知：
如图2,在正方形ABCD中,G是CD上一点，
延长BC到E,使CE=CG连结BG并延长交DE于F
（1）求证：
△BCQADCE
（2）将厶DCE绕点D顺时针旋转90。
得到△DAE,判断四边形E'BGD是什么特殊四边形？
并说明理由。
分析：
（2）由于ABCD是正方形，所以有AB//DC又通过旋转CE=AE已知CE=CG所以E'A=CG这样就有BE=GD可证E'BGD是平行四边形。
解：
（1）tABCD!
正方形，
•ZBCDZDCE90°又•CGCE△DCE
（2）•△DCE绕D顺时针
旋转90°得到△DAE,
•CE=AE,•/CE=CG•-CGAE',
••四边形ABC毘正方形
•BE//DGAB=CD
•ABAE=CDCG即BE=DG
•四边形DEBG是平行四边形
点评：
当四边形一组对边平行时，再证这组对边相
等，即可得这个四边形是平行四边形
三、两组对边分别相等
例3如图3所示，在△ABC中，分别以ABACBC为边在BC的同侧作等边△ABD等边△ACE等边△BCF
求证：
四边形DAEF是平行四边形；
分析：
利用证三角形全等可得四边形DAEF勺两组对
边分别相等，从而四边形DAEF是平行四边形。
解：
•••△ABD^D^FBC都是等边三角形
•••/DBF+/FBA=ZAB（+/FBA=60°
•••/DBF=ZABC
又•••BD=BABF=BCABC^^DBF
•AC=DF=AE同理△ABC^AEFC
•AB=EF=AD
•四边形ADFE是平行四边形
点评：
题设中存在较多线段相等关系时，可证四边形的两组对边分别相等，从而可证四边形是平行四边形。
四、对角线互相平分
例4已知：
如图4，平行四边形ABCD勺对角线AC和BD相交于OAELBD于E,BF丄AC于F,CGLBD于GDH丄AC于H,求证：
四边形EFGH是平行四边形。
分析：
因为题设条件是从四个顶点向对角线引垂线，这些条件与四边形EFGH的对角线有关，若能证出OE=OGOF=OH则问题可获得解决。
证明：
•••AELBDCGLBD
:
丄AEO/CGQ
•••/AQE/CQGQAQC
△CQG
同理△BQF^ADQH
•••Qf=QH
•••四边形EFGH!
平行四边形
点评：
当已知条件与四边形两对角线有关时，可证两对角线互相平分，从而证四边形是平行四边形。
五、两组对角相等
例5将两块全等的含30°角的三角尺如图1摆放在一起
四边形ABCD是平行四边形吗？
理由。
（1）如图2，将Rt△BCD沿射线BD方向平移到Rt△BiCD的位置，四边形ABCD是平行四边形吗？
说出你的结论和理由：
。
分析：
因为题设与四边形内角有关，故考虑四边形的两组内角相等解决问题。
解：
（1）四边形ABCD是平行四边形，理由如下：
/ABC/ABD/DBC30°+90°=120°,
/ADC/ADB/CDB90°+30°=120°
又/A=60°，/C=60°,
•/ABC/ADC/A=/C
（2）四边形ABCD是平行四边形，理由如下：
将RtABCD沿射线方向平移到Rt△BCD的位置时，
有RtACBBBRt△ADD
•/CBB=/ADD,/BCB=/DAD
•有/GBA=/ABD/CBB=/CDB+/ADB=/ADG,/BCD=
/BCB+/BQD=/DAD+/DAB=/DAB
所以四边形ABCD是平行四边形
点评：
（2）也可这样证明：
由
（1）知ABCD是平行
四边形，•••AB//CD将
Rt△BC［沿射线BD方向平移到RtABGD的位置时，始终有AB//GD,故ABGD是平行四边形。
判断平行四边形的策略
在学习了“平行四边形”这部分内容后，对于平行四边形的判定问题，可从以下几个方面去考虑：
一、考虑“对边”关系
思路1:
证明两组对边分别相等
例1如图1所示，在△ABC中，/ACB=90°,BC的垂直平分线DE交BC于D,交AB于E,F在DE上,并且AF=CE
求证：
四边形ACEF是平行四边形证明：
•••DE是BC的垂直平分线，
•••DFLBCDB=DC
（图1）
•••/FDB=/ACB=90°.
1
•••DF//AC.•CE=AE=AB
2
•••/1=/2.
又•••EF//ACAF=CE=AE,
•••/2=/1=/3=/F.
•△ACE^AEFA
•AC=EF.
•四边形ACEF是平行四边形.思路2：
证明两组对边分别平行
例2已知：
如图2，在△ABC中,AB=ACE是AB的中
点，D在BC上，延长ED到F,使ED=DF=EB连结FC
C
求证：
四边形AEFC是平行四边形•证明：
•••AB=AC•••/B=/ACB
•/ED=EB•••/B=/EDB
•••/ACB=/EDB•EF//AC
•/E是AB的中点，•BD=CD•••/EDB=/FDCED=DF
•••△EDB2AFDC•••/DEB=/F.
•AB//CF
•四边形AEFC是平行四边形•思路3:
证明一组对边平行且相等
例3如图3,已知平行四边形ABCD^,E、F分别是ABCD上的点，AE=CF,MN分别是DEBF的中点.
求证：
四边形ENFMI平行四边形.证明：
•••四边形ABCD1平行四边形,
•AD=BC/A=/C.
又•••AE=CF,ADE^CBF
•••/1=/2,DE=BF.
•••MN分别是DEBF的中点，
•EM=FN.
•/DC/AB3=/2.
•••/1=/3.•EM//FN.
•四边形ENFM!
平行四边形.
1E
二、考虑“对角”关系
思路：
证明两组对角分别相等
例4如图4,在正方形ABCC中，点E、
F分别是ADBC的中点.
求证：
（1）△ABE^ACDF
（2）四边形BFDE是平行四边形•
证明：
（1）在正方形ABCD中,AB=CDAD=BC/A=/C=
11
90°,tAE=ADCF=BC
22
•AE=CFABE^ACDF
（2）由
（1）△ABE^ACDF知，/1=/2，/3=/4.
•••/BED=/DFB
•••在正方形ABCD中，/ABC=/ADC
•••四边形BFDE是平行四边形
三、考虑“对角线”的关系
思路：
证明两条对角线相互平分
例5如图5,在平行四边形ABCDKPi、F2是对角线BD的三等分点•
求证：
四边形AFCF是平行四边形
（图5）
D
证明：
连结AC交BD于Q
•••四边形ABCD1平行四边形，
•OA=OCOB=OD
:
BF=DP,•OF=OF.
•四边形ARCP是平行四边形.
平行四边形的识别浅析
平行四边形是初中数学中的基本图形，正确识别平行四边形，是进一步学习矩形、菱形和正方形的基础。
识别平行四边形是利用边、角和对角线的特点，而且只需要两个条件，为了更加清楚哪些条件能或不能识别平行四边形，我们把这些条件总结如下。
1利用定义或定理直接识别平行四边形
1.1两组对边分别平行，如图1,AB//CDAD//BC
1.2两组对边分别相等，如图1,AB=CDAC=BC
1.3两组对角分别相等，
如图1,/AB（=ZADC/BAD/BCD
1.4一组对边平行且相等，如图1,AB//CDAB=CD
1.5两条对角线互相平分，如图1,OAOCOB=OD
2利用定义和定理间接识别平行四边形
2.1一组对边平行且一组对角相等，如图1,AB//CD/AB（=
/ADC
证明：
•••AB//CD•••/AB（+ZBCD180°又ABC/ADC•••/ADO/BCD=180°•AD//BC•四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行）
2.2一组对边平行且两条对角线交点平分一条对角线，如
图1,AB//CDOafOC
证明：
•••AB//CD•/BAC/DCA在"AOB和"COD中,
/BA（=/DCAOAOC/AOB/CODAO/"CODASA
AB=CD•••四边形ABC［是平行四边形（一组对边平行且相等）
2.3两组邻角互补，而且两组邻角要有一个公共角，
如图1,/DABYAB（=180°,/AB（+ZBCD180°。
证明：
•••/DAB/AB（=180°•AD//BC又―AB（+/
BCD180°
•AB//CD•四边形ABCDi平行四边形（两组对边平行）
3不能识别为平行四边形
3.1两组不同的邻角互补，
如图2,/A+/B=180°,/C+/D=180°,可以画出梯形。
3.2识别平行四边形的条件涉及的边、角相等关系都是对边对角，涉及邻边邻角相等的都不能做为平行四边形识别的条件。
两组邻边相等，如图3,ABADC酔CD不一定是平行四边
形。
两对邻角相等，如图4,/A=/D,/B=/C可以画出等腰
梯形。
3.3一组对边平行且另一组对边相等，
如图4,AD//BCAB=CD也可以画出等腰梯形。
3.4一组对边相等，一组对角相等，不一定是平行四边
形。
反例作图方法，如图5:
①作/ABC在边BA上确定点A,
在边BC上确定点C②过点AB、C作O01,③以点C为圆心，以线段AB长为半径作OC,④以AC为弦作O01的等圆OC2,交OC于DE两点，则四边形ABCD为平行四边形，
而四边形ABCEP为符合条件的非平行四边形，即AB=CE/
ABC/AEC
3.5一组对边相等，对角线交点平分一条对角线，不一定是平行四边形。
反例作图方法，如图6:
①作线段AB②过线段AB的中点0作直线CD③过点B作BELCD垂足为E④以点E为圆心，小于线段0E的长为半径作OE交CD于F、G两点，⑤以点A为圆心，BF长为半径作OA交直线CD于HI两点，则四边形AGB兩四边形AFBI为平行
E/G
O1
02
四边形，而四边形AGBI和四边形AHBF即为符合条件的非平行
四边形，如在四边形AGBI中，AI=BG0/=0B
说明一个四边形是平行四边形的思
路
山东于秀坤
平行四边形是最基本、最重要的一类特殊四边形•如何说明一个四边形是平行四边形呢？
要说明一个四边形是平行四边形，一般可以根据题目中所给的条件，分别通过下列的思路进行说明.
一、当已知条件出现在四边形的一组对边上时，考虑采用
“两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形”或“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”•
例1如图1,在厶ABC中，AD是角的平分线，DE//AC交AB于点E,EF/BC交AC于点F,试说明AE=CF.
图1
分析：
由AD是角的平分线，可知/仁/2,由DE/AC,可知/2=73，所以/仁/3,即可得AE=ED要说明AE=CF,可转化为说明EOEC因此，只需说明四边形EDCF1平行四边形就可以了.
解：
因为/1=72,72=73，所以71=73,所以AE=ED又因为DE/ACEF/BC所以四边形EDCF1平行四边形（两
组对边分别平行的四边形是平行四边形）•
所以ED=CF所以AE=CF.
二、当已知条件出现在四边形是对角上时，考虑“采用两组对角分别相等的四边形是平行四边形”•
例2如图2,AECF分别是皿BCD的内角/DAB/BCD
的平分线，试说明四边形AECF1平行四边形.
2
1
/DAB/2=—/BCD
2
所以，/仁/2,
因为AB/CD所以/3=71,74=/2,
所以/3=74，所以75=76,所以四边形AECF是平行四边形.
三、当已知条件出现在四边形的对角线上时，考虑采用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”
例3如图3，在口ABCDKACBD相交于0,EF过0分别交ADBC于E、F,GH过0分别ABCD交于GH.试说明四边形EGFH1平行四边形.
图3解：
在口ABCD^，因为AB/CD所以71=72,因为0/=0C73=74,所以△A0®ACOH所以0G0H同理0匡0F
所以四边形EGFH1平行四边形.
构造平行四边形解题
山东邹殿敏
平行四边形是一种特殊的四边形，它的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分.许多几何问题可以通过添加辅助线，构造平行四边形加以解决.
一、求线段的长
例1如图1在正△ABC中,P为边AB上一点，Q为边AC上一点，且AF=CQ今量得A点与线段PQ的中点M之间的距离是19cm,则P点到C点的距离等于cm_.
C
AD
EBC
图2
分析：
作QE/AB交BC于点D连接PDMD由厶ABC为正三角形，易知BP^BDA忙DQ所以四边形APDC为平行四边形•所以AMD是平行四边形APDQ勺对角线•所以A[=2AM=2X19=38（cm）.由厶ABD^ACBF可得PC=AD所以PC=38cm.
、证明线段相等问题D
例2如图2，在梯形ABCD图％D/BCAB=CD延长CB到E,使EB=AD连接AE求证：
AE=AC
分析：
连接BD由AD与BE平行且相等，易知四边形AEBD是平行四边形，所以BD=AE因为AC=BD所以AE=AC
三、证明线段和差问题
例3如图3,△ABC中，D,F是AB边上两点，且At=BF,作DEEBCFG/BC分别交AC于点E,G求证：
DE+FGfBC
分析：
作GH/AB交BC于点H.则四边形BHGF1平行四边形.所以GHFBF=ADFGFBH因为DE/BCGH/AB所以/仁/C,/A=Z2.所以△ADE^AGHC所以DE=HC因为BH-CH=BC所以DE+FGfBC
图4
四、证明线段倍分问题
例4如图4，已知E为平行四边形ABCD中DC边的延长线上一点，且CE=DC连接AE,分别交BCBD于点F,G连接AC交BD于0,连接0F试说明：
AB=2OF
分析：
连接BE易知四边形ABEC为平行四边形.由“平
行四边形的对角线互相平分”这一性质可得BF=CF,AO=OC所
以0F为△CAB的中位线，从而得出AB=20F
五、证明两直线平行问题
例5如图5,△ABC中,E,F分别是ABBC边的中点，M
N是AC的三等分点，EMFN的延长线交于点D.求证：
AB/CD分析：
连接BD交AC于点0连接BMBN
由AE=BE,AMFMN可得ED/BN由BF=CF,MNNC可得
BM/FD.所以四边形BMD是平行四边形.所以OB=ODOMON所
例6如图6,分别以△ABC的边ABAC为
以OafOC由此可得出四边形ABCD是平行四边形.所以AB/CD
作正方形ABEF和ACGHM为FH的中点.求证:
分析：
设MA勺延长线交BC于点D,延长AM至点N,使MNAM
连接FNHN则四边形AHNF为平行四边形•所以FN=AH=AC,
/AFN+ZFAH=180°.因为/BAG/FAH180°，所以/AFN=/
BAC因为AF=AB所以△AFN^ABAC所以/1=/2.
因为/1+/3=90°,所以/2+/3=90。
，所以/
ADB90。
.从而得出MALBC
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