点线面位置关系导学案.docx

点线面位置关系导学案.docx

《点线面位置关系导学案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《点线面位置关系导学案.docx（14页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

点线面位置关系导学案

空间点、线、面之间的位置关系

《一》点、线、面之间的位置关系

1.平面的基本知识

（1）平面与我们学过的点、直线、集合等概念一样都是最基本的概念，即为不加定义的原始概念.

（2）平面的基本特征是无限延展性：

平面是理想的，绝对的平（平面是处处平直的面）；

平面没有大小、没有厚薄和宽窄，是不可度量的.

（3）平面的画法及表示

画法：

立体几何中通常用平行四边形来表示平面，有时也用圆或三角形等图形来表示平面.

为了增强立体感，如果一个平面被另一个平面遮挡住，常把它遮挡的部分用虚线画出来.

（4）平面的基本性质：

公理1：

如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．

公理2：

过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面．

公理3：

如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．

公理4：

平行于同一条直线的两条直线平行．

定理5：

空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

2.点、直线、平面的位置关系

（1）点、线、面的表示：

点（元素）:

大写字母A、B、C、D……；

直线（点的集合）:

小写英文字母

或者两个大写英文字母；

平面（点的集合）:

用希腊字母表示

；用平行四边形顶点字母或者其相对两字母表示.

（2）点、线、面之间的位置关系的表示用集合中的关系符号：

元素与集合关系：

；集合与集合关系：

3.空间两条直线的位置关系

（4）异面直线所成的角：

①定义：

设a,b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b,把a′与b′所成的锐角或直角叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）.②范围：

.

4.直线和平面的位置关系

（1）直线在平面内（无数个公共点）；a

α

（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；a∩α=A；（3）直线和平面平行（没有公共点）.a∥α

5.两个平面的位置关系有两种

（1）两平面相交（有一条公共直线）；

（2）两平面平行（没有公共点）.

考点1：

点、线面基本知识

例1：

下列语句是对平面的描述：

①平面是绝对平的且是无限延展的；②一个平面将无限的空间分成两部分；

③平面可以看作空间的点的集合，它是一个无限集；④四边形确定一个平面．

其中正确的序号是.

变式：

（教材习题改编）下列命题是真命题的是（）

A.空间中不同三点确定一个平面；B.空间中两两相交的三条直线确定一个平面

C.一条直线和一个定点能确定一个平面；D.梯形一定是平面图形

考点2、点线面位置关系

例2、已知点P在直线l上，而直线l在平面α内，用符号表示为（　　）．

A．P⊂l⊂αB．P∈l∈αC．P⊂l∈αD．P∈l⊂α

变式：

1．如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，则（　　）．

A．l⊂αB．l⊄αC．l∩α＝MD．l∩α＝N

2．设平面α与平面β相交于l，直线a⊂α，直线b⊂β，a∩b＝M，则M________l.

3．已知平面α∩平面β＝l，点M∈α，N∈α，P∈β，P∉l且MN∩l＝R，过M，N，P三点所确定的平面记为γ，则β∩γ等于___．

考点3：

异面直线所成角

例3：

（2012四川）、如上图，在正方体

中，

、

分别是

、

的中点，则异面直线

与

所成角的大小是____________。

变式：

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于________．

考点4、共点、共线问题

例4、在空间四边形ABCD中，E、G分别为BC、AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF∶FC=2∶3，DH∶HA=2∶3.

（1）求证：

G、E、F、H四点共面；

（2）求证：

EF、GH、BD交于一点；

（3）若EF与GH相交于O，证明：

B、D、O三点共线.

变式：

已知在空间四边形ABCD（如右图所示）中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点且CG＝

BC，CH＝

DC，求证：

（1）E，F，H，G四点共面；

（2）直线FH，EG，AC共点．

练习：

1.三条两两平行的直线可以确定平面的个数为（）

A.0B.1C.0或1D.1或3

2、已知下列四个命题：

①平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点；

②经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面；

③经过两条相交直线，有且只有一个平面；

④如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合.

其中正确命题的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

3．给出下列三个命题：

①空间四点共面，则其中必有三点共线；②空间四点中有三点共线，则此四点必共面；③空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面．

其中正确命题的序号是________．

4．下列命题不正确的是________．

①如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行；②如果两条直线都和第三条直线所成的角相等，那么这两条直线平行；③两条异面直线所成的角为锐角或直角；

④直线a与b异面，b与c也异面，则直线a与c必异面．

5.已知a，b是异面直线，直线c∥a，则c与b（　　）

A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线

6．长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有（　　）．

A．2对B．3对C．6对D．12对

7．已知异面直线a与b满足a⊂α，b⊂β，且α∩β＝c，则c与a，b的位置关系一定是（　　）．

A．c与a，b都相交B．c至少与a，b中的一条相交

C．c至多与a，b中的一条相交D．c至少与a，b中的一条平行

8．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：

①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.

以上结论中正确的为（　　）．

A．①②B．③④C．②③D．①③

9．（2012·菏泽高一检测）如图，若G、H、M、N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________．

10．在三棱锥A-BCD的各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF∩HG＝P，则点P（　　）．

A．一定在直线BD上B．一定在直线AC上

C．在直线AC或BD上D．不在直线AC上，也不在直线BD上

11.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=1，D在棱BB1上，且BD=1，则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为（　　）

A.

B.

C.

D.

12、已知在棱长都是a的四面体A－BCD中，E，F分别为AD，BC的中点，

求异面直线AF和CE所成的角的余弦值；

13、在四面体ABCD中，E、F、G、H分别是AB、AD、BC、CD上的点，且EF∩GH＝P，求证：

B、D、P三点共线.

14．（创新拓展）在空间四边形ABCD中，H、G分别是AD、CD的中点，E，F

分别是边AB，BC上的点，且

＝

＝

.

求证：

直线EH、BD、FG相交于一点．

证明　连接EF、GH（如图所示）．

∵H、G分别是AD、CD的中点，

∴GH∥AC，且GH＝

AC.

∵

＝

＝

，

∴EF∥AC，且EF＝

AC.

∴GH∥EF，且GH≠EF.

∴EH与FG相交，设交点为P.

∵EH⊂平面ABD，

∴P∈平面ABD.

同理P∈平面BCD.

又∵平面ABD∩平面BCD＝BD，

∴P∈BD.

∴直线EH、BD、FG相交于一点．

8．在三棱锥A-BCD的各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF∩HG＝P，则点P（　　）．

A．一定在直线BD上

B．一定在直线AC上

C．在直线AC或BD上

D．不在直线AC上，也不在直线BD上

15.如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论中正确的是______________

1．分别和两条异面直线都相交的两条直线一定（　　）．

A．异面B．相交C．不相交D．不平行

2．若两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形（　）．

A．全等B．相似C．仅有一个角相等D．全等或相似

4．下列命题不正确的是________．

①如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行；②如果两条直线都和第三条直线所成的角相等，那么这两条直线平行；③两条异面直线所成的角为锐角或直角；

④直线a与b异面，b与c也异面，则直线a与c必异面．

6．如图，在长方体木块ABCD-A1B1C1D1中，P是面A1C1上的一点，过点P如何画一条直线和棱AB平行？

过点P如何画一条直线和BD平行？

1．已知点P在直线l上，而直线l在平面α内，用符号表示为（　　）．

A．P⊂l⊂αB．P∈l∈αC．P⊂l∈αD．P∈l⊂α

2．如下四图表示两个相交平面，其中画法正确的是（　　）．

3．如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，则（　　）．

A．l⊂αB．l⊄α

C．l∩α＝MD．l∩α＝N

6．如图1，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，试画出平面AB1D1与平面ACC1A1的交线．

图1

图2

7．如图2所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论错误的是（　　）．

A．C1，M，O三点共线B．C1，M，O，C四点共面

C．C1，O，A，M四点共面D．D1，D，O，M四点共面

7．已知异面直线a与b满足a⊂α，b⊂β，且α∩β＝c，则c与a，b的位置关系一定是（　　）．

A．c与a，b都相交B．c至少与a，b中的一条相交

C．c至多与a，b中的一条相交D．c至少与a，b中的一条平行

9、在下图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有（　　）

第10题

A、

（1）

（2）B、

（1）（3）C、

（2）（4）D（3）（4）

考点二两直线的位置关系

设A，B，C，D是空间四个不同的点，下列命题中，不正确的是（　C　）

A．若AC与BD共面，则AD与BC共面

B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线

C．若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BC

D．若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BC

考点三异面直线所成的角

（1）连结FD，过E作EG∥AF交FD于G，则∠CEG是异面直线AF与CE所成的角（或补角）．

连结CG，在△CEG中，

EG綊

AF，

∵AF＝

a，CE＝

a，CG＝

a，

∴EG＝

a，由余弦定理得cos∠CEG＝

.

《二》线面平行、面面平行的证明导学案

1、知识点梳理

（1）线面平行的判定定理:

.

（2）线面平行的性质定理:

.

1、（自主练习）

1．（2009广东）给出下列四个命题：

①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；

②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；

③垂直于同一直线的两条直线相互平行；

④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．

其中正确的是（　　）

A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④

2.已知直线a,b,平面

，则以下三个命题：

①若a∥b,b

则a∥

;②若a∥b,a∥

则b∥

;③若a∥

b∥

则a∥b.

其中真命题的个数是.

3．设m，l表示直线，α表示平面，若m⊂α，则l∥α是l∥m的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件

4．（教材习题改编）已知不重合的直线a，b和平面α，

①若a∥α，b⊂α，则a∥b；②若a∥α，b∥α，则a∥b；

③若a∥b，b⊂α，则a∥α；④若a∥b，a∥α，则b∥α或b⊂α，

上面命题中正确的是________（填序号）．

5.下列命题中，正确命题的个数是.

①若直线l上有无数个点不在平面

内，则l∥

;②若直线l与平面

平行，则l与平面

内的任意一条直线都平行；

③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行；④若直线l与平面

平行，则l与平面

内的任意一条直线都没有公共点.

6.下列命题错误的是（）

A.平面和平面相交，它们只有有限个公共点

B.经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面

C.经过两条相交直线，有且只有一个平面

D.如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合

2、例题分析（练习）

例1、如图，在底面为平行四边形的四棱锥P—ABCD中，点E是PD的中点.

求证：

PB//平面AEC；

变式练习：

如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，D是AC的中点。

求证：

AB1//平面DBC1

例2．四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，M、N分别是AB、PC的中点，

求证：

MN∥平面PAD；

变式练习.在三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N分别是CC1，AB的中点．

求证：

CN//平面AB1M．

【课堂小结】

1.平行转化方向：

面面平行⇒线面平行⇒线线平行

2.线面的平行常有以下技巧：

证明线线平行常用的方法:

①利用平行公理,即证两直线同时和第三条直线平行;②利用平行四边形进行平行转换;

③利用三角形的中位线定理证线线平行;④利用线面平行、面面平行性质定理进行平行转换.