第四章边值问题的分离变量方法.docx
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第四章边值问题的分离变量方法
第四章边值问题的分离变量方法
本章利用分离变量方法求解波动和扩散的边值问题。
掌握分离变量思想方法是本章的关
键。
§4.1Fourier级数
对定义在区间-I:
:
:
x:
:
:
l上的周期函数f（x），可定义其Fourier级数，
1处nnxn^x
f（x）~Ao'（AncosBnsin）
2nAII
3
上，｛cosx,sin丄-x｝不是正交系。
ll
§4.2—维波动和扩散方程的分离变量方法考虑波动方程
Utt-c2Uxx
u（0,t）=u（l,t）=0u（x,0）=®（x）,Ut（x,0）=屮（x）
这里，将利用函数的无限线
该方程可以通过周期奇延拓方法求得解，但是解的形式较复杂。
性组合来表示解。
波动方程具有变量分离形式u（x,t）二X（x）T（t）的解应该是什么？
把该函数代入方程得,
X（x）T（t）—c2X（x）T（t）=0,
即
XT
2八’，
XcT
其中■是不依赖于x,t的常数。
首先分别讨论•乞0和•・0时，方程
XX=0
X（0）=X（I）=0
的解。
3）
Xk（x）=CkSin..kx=cksin〔
相应的T（t）为
=Gcosxgsin、，x，由此，g=0,c2sin、I=0，为使
□0
u（x,t）=\Nkcos（kt玉）sin
k=il
其中
l,cos%=
可见：
该波动可以视为振动uk（x,t）=Nkcos（・ktTk）sin〒X,k-1之叠加。
而此振动
uk（x,t）的频率和位相与位置x无关，振幅则依赖于位置，特别在点Xkm=B,0兰m兰k，
k
其振幅为零，这类振动称为驻波。
基音（最低固有频率）：
•rc
I，这是叠加振动分量中的最低振动频率。
该频率与振动的初始条件无关，只与弦长和弦的材质有关。
泛音：
•・k“，其余叠加振动分量中的振动频率是最低振动频率的整数倍。
【end】
同样方法可考虑一维齐次扩散方程的初边值问题
「2
ut=auxx,ta0,0vx令u（x,t）=X（x）T（t），贝yxv-a2xT,因此
同样讨论，何时,
XX=0，X（0）=O,X（I）=0
方程有非零解。
类似当■<0时，方程只有零解，只有当
•k=；2时，方程有非零解
Xk（t）=akSin\/.rX=akSin
qa2t
相应，Tk（t）=dkef，即
寻找一般解
【end】
对很多齐次边界条件问题，分离变量法都能得到解的级数展开表示形式。
例如,
Dirichlet条件：
u（0,t）=u（l,t）=0；（XO觀0=
2）
Neumann条件：
ux（O,t）=ux（l,t）=0；（X0鳴丨0
§4.3非齐次方程的分离变量方法对一般的非齐次波动方程
Utt=c2Uxxf（t,x）,0：
：
：
x：
：
：
l,t•0
u（O,t）=g（t）,u（l,t）=h（t）,
u（x,O）=：
（x）,Ut（x,O）J（x）
利用叠加原理，可以把问题的解分解为振动的叠加。
令U=V•W,
<2
Vtt+Wtt=c（Vxx+Wxx）+f（t,x）,0vxcl,t>0v（O,t）w（O,t）二g（t）,v（l,t）w（l,t）=h（t）v（x,0）+w（x,0）=@（x）,vt（x,0）+wt（x,0）=申（x）
选择w，使边界条件齐次化，即：
w（O,t）=g（t）,w（l,t）=h（t）。
这类函数很多，例如,
1
w（x,t）=a（t）xb（t），其中，a（t）[h（t）-g（t）],b（t）=g（t）。
这样，问题转化为齐次边
界问题
Utt=c2Uxx+f（t,x）,0cxcl,ta0
’U（0,t）=U（l,t）=0
出兀0）=科（x）,Ut（x,O）=划（x）
的求解。
而该问题又可分解为u=v，w，（为方便起见，U等，仍记为u），
2
vtt=cvxx-f（t,x）,0:
:
:
x：
：
l,t0v（O,t）=v（l,t）=0
v（x,0）=vt（x,0）=0
和u=v+w，
f2
|Wtt=CWxx,0£X£l,t>0
w（x,0）=W（x）,Wt（x,0）=屮（x）
第二个问题可用分离变量方法求解。
迓n兀
第一个问题利用固有函数方法也可用分离变量方法解。
设v（x,t）=7vn（t）sin—x，这
n¥l
时边界条件自然满足，而初始条件，使vn（0）=vn（0）=0。
为确定vn（t），代入方程得
魚“n兀丄工n兀2n兀煮n兀
vn（t）sinx=_vn（t）（）sinx二f（x,t）二fn（t）sinx
n1ln1llndl
即需
cn二
vn（）vn（t）=fn（t）
l。
.MO）讦（0）=0
利用拉普拉斯变换方法：
Vn（S）二丁-Fn（s），所以
皿s2+（n）2
II
Itcm
Vn（t）-fn（）sinI（t-）d.。
cn兀0I
总结一般步骤:
1）
2）
3）
4）
5）
处理的必须是齐次边界问题；
对只有齐次边界的问题进行变量分离后得到常微分方程的定解问题；
由常微分方程定解问题有非零解，确定特征值和特征函数序列；
得到不考虑初始条件的解序列；进行无限线性组合；
确定系数，使其满足初始条件。
这样就能得到形式解，但是否是经典意义解则需验证。
§4.4分离变量法的例子
如何使用分离变量方法，要通过练习才能熟练掌握。
所以，这里再给出一些具体问题的解。
L2
ut=cu^Ovxcl,t>0
例1热传导方程u（x,0）=（x）
u（0,t）=0,ux（l,t）+hu（l,t）=0
解此问题的边界条件是混合的（Dirichlet和Robin）。
-2
步骤一。
不考虑初值条件的问题u^cuxx,0"x:
:
：
丨，t•0，寻找变量分离形式的解
[u（0,t）=0,ux（l,t）+hu（l,t）=0
u（x,t）=X（x）T（t）。
相应的常微分方程组:
TX
—2-==-'
cTX。
X（0）=0,X（l）=「hX（l）
步骤二。
确定特征值和特征函数序列。
为使方程
X
—=_人
X
X（0）=0,X（l）=-hX（l）
有非零解，必须’0（论证过程与前类似），则
X（x）二acos一xbsin.x。
由X（0）=0即知：
a=0。
再由X（l）=-hX（l）得：
bcos「l=-hb、、—sin「l。
可
见，要使方程有非零解，必须tanI）=…1「I-■I。
所以特征值是方程
hl
，特征值序列为
tan（；'I）=〉、’I的解。
该方程组有可列个根（由图显然，严格证明略）
{n,n_0}。
不能给出特征值序列的解析式，但它们满足等式：
tan（、「小=；：
、,亞口|。
相应的特征函数序
列｛Xn（x）=sin_0｝（不计相应的常数倍），同时相应的Tn（t）二歹'用。
因此，
|■c2t
Un（x,t）二e_'nsin—x，n_0。
步骤三。
选择适当的系数，无限线性组合后，使其满足初始条件：
2_
U（X,t）=EanUn（X,t）=E3n^^CtSin。
n卫n卫
由初始条件知：
oO
「（x）=u（x,0）=、ansin■nx。
所以，
n」
ll
（x）sin、nxdx=ansin2、.■nxdx
00
即得到an。
注这里必须证明｛Xn（x）=sin,~x,n_0｝是正交完备系。
只证明正交性：
直接计算有困
难，因为'n没有显式解。
但是对这类两次线性方程的解的正交性有一般的处理方法：
Xn（X）—nXn（X）,Xm（X）—mXm（X）,
所以，（XmXn-XnXm）、XnXm-XmXn=Cm-，n）Xn（X）Xm（X），因此
ll
（m-n）.Xn（X）Xm（X）dX二（XmX.-X.Xm）dX=0。
00
即得正交性。
【end]厂2
utt=cUxx+A,0cxvl,t>0
例2用分离变量方法求方程u（x,0）=0,ut（x,0）=0的解。
u（0,t）=0,u（l,t）=B
解这是非齐次边界，非齐次方程的情况。
步骤一。
把方程的边界齐次化。
u（x,t）=v（x,t）w（x），贝y
vtt=c2（\+w"）+A,0cxvl,ta0
v（x,0）--w（x）,Vt（x,0）=0。
|v（0,t）--w（0）,v（l,t）二B-w（l）
故令
c2wA=0
w（0）=0,w（l）=B
A2Al
即w（x）2x2x。
贝U
2c22c2
步骤二。
分离变量后，相应的方程组为
由初始条件,
△x2-马x）sinxdx。
2c22c2l
第四章习题
1.对函数f（x）=[x[0,1]，求其Fourier变换。
|0x老[0,1]
2
Utt=cUxx—rut,0cxcl
2.利用分离变量方法求解。
2下c«u（0,t）=u（l,t）=0，这里0cr。
u（x,0）=%x）,ut（x,0）=屮（x）1
k■:
u（x,t）=迟（ak+bke』川
kd：
）sinJhk—2x=E（ak+b¥c2心l
00k兀旳
（x）=\（akbk）sinx，'-（x）=bkc2■ksin
k1lk二l
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