备战中考初中数学导练学案50讲第10讲 平面直角坐标系讲练版.docx
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备战中考初中数学导练学案50讲第10讲平面直角坐标系讲练版
备战中考初中数学导练学案50讲
第10讲平面直角坐标系
【疑难点拨】
1.点的坐标求解秘籍：
秘籍一、根据坐标轴上点的特征求解；秘籍二、根据点到坐标轴的距离求解：
先得到点P的横纵坐标的绝对值，进而根据点在第二象限的符号特点可得具体坐标解.秘籍三、根据已知点的坐标求解：
根据题意，确定出点F向左一个单位，向上一个单位为坐标原点，然后建立平面直角坐标系，再根据平面直角坐标系确定点G的坐标即可.秘籍四、根据非负数的性质求解：
由题意及非负数的性质求出x和y的值，即可求出A点的坐标.秘籍五、根据横纵坐标的关系求解：
根据第二象限及第三象限内点的坐标特点解答．秘籍六、利用平移知识求解：
直接利用平移中点的变化规律求解即可．平移中点的变化规律是：
横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减.
2.坐标方法的简单应用
（1）利用坐标表示地理位置的一般步骤：
①建立直角坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向；②根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；③在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称.
（2）图形平移后的坐标变化规律：
在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右（或左）平移a个单位长度，可以得到对应点（x＋a，y）或（x－a，y）；将点（x，y）向上（或下）平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y＋b）或（x，y－b）.
（3）由坐标变化导致图形的平移：
在平面直角坐标系内，如果一个图形各个点的横坐标都加（或减）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右（或左）平移a个单位长度；如果把各个点的纵坐标都加（或减）一个正数b，相应的新图形就是把原图形向上（或下）平移b个单位长度.
【基础篇】
一、选择题：
1.（2018·四川省攀枝花·3分）若点A（a+1，b﹣2）在第二象限，则点B（﹣a，1﹣b）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2.（2018·湖北省武汉·3分）点A（2，﹣5）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（2，5）B．（﹣2，5）C．（﹣2，﹣5）D．（﹣5，2）
3.（2018•江苏扬州•3分）在平面直角坐标系的第二象限内有一点M，点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则点M的坐标是（ ）
A．（3，﹣4）B．（4，﹣3）C．（﹣4，3）D．（﹣3，4）
4.（2018•湖北黄石•3分）如图，将“笑脸”图标向右平移4个单位，再向下平移2个单位，点P的对应点P'的坐标是（ ）
A．（﹣1，6）B．（﹣9，6）C．（﹣1，2）D．（﹣9，2）
5.（2018•广安•3分）已知点P（1﹣a，2a+6）在第四象限，则a的取值范围是（ ）
A．a＜﹣3B．﹣3＜a＜1C．a＞﹣3D．a＞1
二、填空题：
6.（2018·浙江临安·3分）P（3，﹣4）到x轴的距离是 ．
7.（2018年江苏省南京市•2分）在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣1，2），作点A关于y轴的对称点，得到点A'，再将点A'向下平移4个单位，得到点A″，则点A″的坐标是（ ， ）．
8.某雷达探测目标得到的结果如图所示,若记图中目标A的位置为（3,30°）,目标B的位置为（2,180°）,目标C的位置为（4,240°）,则图中目标D的位置可记为_________
三、解答与计算题：
9.如果B（m+1,3m-5）到x轴的距离与它到y轴的距离相等,求m.
10.如图,方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形,以O为坐标原点建立平面直角坐标系,在坐标系中,将坐标是（0,4）,（1,0）,（3,0）,（4,4）,（2,4）,（0,4）的点用线段依次连接起来形成一个封闭图形.
（1）在图的坐标系中画出这个图形.
（2）图形中哪些点的坐标在坐标轴上,它们的坐标有什么特点?
（3）图形中有和坐标轴平行的线段吗?
（4）求出此图形的面积.
【能力篇】
一、选择题：
11.（2017四川南充）如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为（ ）
A．（1，1）B．（
，1）C．（
，
）D．（1，
）
12.（2018•湖北荆门•3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（4，0），B（0，3），C（4，3），I是△ABC的内心，将△ABC绕原点逆时针旋转90°后，I的对应点I'的坐标为（ ）
A．（﹣2，3）B．（﹣3，2）C．（3，﹣2）D．（2，﹣3）
13.
（2018·辽宁省阜新市）如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2018次得到正方形OA2018B2018C2018，如果点A的坐标为（1，0），那么点B2018的坐标为（ ）
A．（1，1） B．（0，
） C．（
） D．（﹣1，1）
二、填空题：
14.（2018四川省绵阳市）如图，在中国象棋的残局上建立平面直角坐标系，如果“相”和“兵”的坐标分别是（3，-1）和（-3，1），那么“卒”的坐标为________。
15.（2018年江苏省宿迁）如图，将含有30°角的直角三角板ABC放入平面直角坐标系，顶点AB分别落在x、y轴的正半轴上，∠OAB＝60°,点A的坐标为（1,0），将三角板ABC沿x轴右作无滑动的滚动（先绕点A按顺时针方向旋转60°，再绕点C按顺时针方向旋转90°，…）当点B第一次落在x轴上时，则点B运动的路径与坐标轴围成的图形面积是________.
16.（2018·湖南省衡阳·3分）如图，在平面直角坐标系中，函数y=x和y=﹣
x的图象分别为直线l1，l2，过点A1（1，﹣
）作x轴的垂线交11于点A2，过点A2作y轴的垂线交l2于点A3，过点A3作x轴的垂线交l1于点A4，过点A4作y轴的垂线交l2于点A5，…依次进行下去，则点A2018的横坐标为 ．
三、解答与计算题：
17.如图，正方形ABFG和正方
形CDEF中，使点B、C的坐标分别为（0，0）和（4，0）
（1）在图中建立平面直角坐标系；
（2）写出A点的坐标；
（3）画出正方形EFCD左平移2个单位，上平移1
个单位后的正方形E′F′C′D′．
18.在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为（﹣6，7）、（﹣3，0）、（0，3）．
（1）画出△ABC，并求△ABC的面积；
（2）在△ABC中，点C经过平移后的对应点为C′（5，4），将△ABC作同样的平移得到△A′B′C′，画出平移后的△A′B′C′，并写出点A′，B′的坐标；
（3）P（﹣3，m）为△ABC中一点，将点P向右平移4个单位后，再向上平移6个单位得到点Q（n，﹣3），则m= ，n= ．
【探究篇】
19.
（1）如图1，梯形ABCD中对角线交于点O，AB∥CD，请写出图中面积相等的三角形；
（2）如图2，在直角坐标系中，O是坐标原点，点A（﹣2，3），B（2，1）．
①分别求三角形ACO和三角形BCO的面积及点C的坐标；
②请利用
（1）的结论解决
如下问题：
D是边OA上一点，过点D作直线DE平分三角形ABO的面积，并交AB于点E（要有适当的作图说明）．
20.如图在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为（﹣2，2），
（1，8），
（1）求△ABO的面积．
（2）若y轴上有一点M，且△MAB的面积为10．求M点的坐标．
（3）如图，把直线AB以每秒2个单位的速度向右平移，运动t秒钟后，直线AB过点F（0，﹣2），此时A点的坐标为 ，B点的坐标为 ，过点A作AE⊥y轴于点E，过点B作BD⊥y轴于点D，请根据S△FBD=S△FAE+S梯形ABDE，求出满足条件的运动时间t的值．
第10讲平面直角坐标系
【疑难点拨】
1.点的坐标求解秘籍：
秘籍一、根据坐标轴上点的特征求解；秘籍二、根据点到坐标轴的距离求解：
先得到点P的横纵坐标的绝对值，进而根据点在第二象限的符号特点可得具体坐标解.秘籍三、根据已知点的坐标求解：
根据题意，确定出点F向左一个单位，向上一个单位为坐标原点，然后建立平面直角坐标系，再根据平面直角坐标系确定点G的坐标即可.秘籍四、根据非负数的性质求解：
由题意及非负数的性质求出x和y的值，即可求出A点的坐标.秘籍五、根据横纵坐标的关系求解：
根据第二象限及第三象限内点的坐标特点解答．秘籍六、利用平移知识求解：
直接利用平移中点的变化规律求解即可．平移中点的变化规律是：
横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减.
2.坐标方法的简单应用
（1）利用坐标表示地理位置的一般步骤：
①建立直角坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向；②根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；③在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称.
（2）图形平移后的坐标变化规律：
在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右（或左）平移a个单位长度，可以得到对应点（x＋a，y）或（x－a，y）；将点（x，y）向上（或下）平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y＋b）或（x，y－b）.
（3）由坐标变化导致图形的平移：
在平面直角坐标系内，如果一个图形各个点的横坐标都加（或减）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右（或左）平移a个单位长度；如果把各个点的纵坐标都加（或减）一个正数b，相应的新图形就是把原图形向上（或下）平移b个单位长度.
【基础篇】
一、选择题：
1.（2018·四川省攀枝花·3分）若点A（a+1，b﹣2）在第二象限，则点B（﹣a，1﹣b）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解：
∵点A（a+1，b﹣2）在第二象限，∴a+1＜0，b﹣2＞0，解得：
a＜﹣1，b＞2，则﹣a＞1，1﹣b＜﹣1，故点B（﹣a，1﹣b）在第四象限．
故选D．
2.（2018·湖北省武汉·3分）点A（2，﹣5）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（2，5）B．（﹣2，5）C．（﹣2，﹣5）D．（﹣5，2）
【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．
【解答】解：
点A（2，﹣5）关于x轴的对称点B的坐标为（2，5）．
故选：
A．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
3.（2018•江苏扬州•3分）在平面直角坐标系的第二象限内有一点M，点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则点M的坐标是（ ）
A．（3，﹣4）B．（4，﹣3）C．（﹣4，3）D．（﹣3，4）
【分析】根据地二象限内点的坐标特征，可得答案．
【解答】解：
由题意，得
x=﹣4，y=3，
即M点的坐标是（﹣4，3），
故选：
C．
【点评】本题考查了点的坐标，熟记点的坐标特征是解题关键．
4.（2018•湖北黄石•3分）如图，将“笑脸”图标向右平移4个单位，再向下平移2个单位，点P的对应点P'的坐标是（ ）
A．（﹣1，6）B．（﹣9，6）C．（﹣1，2）D．（﹣9，2）
【分析】根据平移规律：
横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减即可解决问题；
【解答】解：
由题意P（﹣5，4），向右平移4个单位，再向下平移2个单位，点P的对应点P'的坐标是（﹣1，2），
故选：
C．
【点评】本题考查坐标与平移，解题的关键是记住平移规律：
坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，属于中考常考题型．
5.（2018•广安•3分）已知点P（1﹣a，2a+6）在第四象限，则a的取值范围是（ ）
A．a＜﹣3B．﹣3＜a＜1C．a＞﹣3D．a＞1
【分析】根据第四象限的点的横坐标是正数，纵坐标是负数列出不等式组求解即可．
【解答】解：
∵点P（1﹣a，2a+6）在第四象限，
∴
，
解得a＜﹣3．
故选：
A．
【点评】本题考查了点的坐标，一元一次不等式组的解法，求不等式组解集的口诀：
同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
二、填空题：
6.（2018·浙江临安·3分）P（3，﹣4）到x轴的距离是 ．
【考点】点的坐标的几何意义
【分析】根据点在坐标系中坐标的几何意义即可解答．
【解答】解：
根据点在坐标系中坐标的几何意义可知，P（3，﹣4）到x轴的距离是|﹣4|=4．
故答案为：
4．
【点评】本题考查的是点的坐标的几何意义，横坐标的绝对值就是点到y轴的距离，纵坐标的绝对值就是点到x轴的距离．
7.（2018年江苏省南京市•2分）在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣1，2），作点A关于y轴的对称点，得到点A'，再将点A'向下平移4个单位，得到点A″，则点A″的坐标是（ ， ）．
【分析】直接利用关于y轴对称点的性质得出点A'坐标，再利用平移的性质得出答案．
【解答】解：
∵点A的坐标是（﹣1，2），作点A关于y轴的对称点，得到点A'，
∴A′（1，2），
∵将点A'向下平移4个单位，得到点A″，
∴点A″的坐标是：
（1，﹣2）．
故答案为：
1，﹣2．
【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的性质以及平移变换，正确掌握相关平移规律是解题关键．
8.某雷达探测目标得到的结果如图所示,若记图中目标A的位置为（3,30°）,目标B的位置为（2,180°）,目标C的位置为（4,240°）,则图中目标D的位置可记为_________
【解析】由图可知，图中目标D的位置可记为（5，120°）．故答案为：
（5，120°）．
三、解答与计算题：
9.如果B（m+1,3m-5）到x轴的距离与它到y轴的距离相等,求m.
解∵B（m+1,3m-5）到x轴、y轴的距离相等,
∴|m+1|=|3m-5|.
∴m+1=3m-5或m+1=5-3m.
∴m=3或m=1.
10.如图,方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形,以O为坐标原点建立平面直角坐标系,在坐标系中,将坐标是（0,4）,（1,0）,（3,0）,（4,4）,（2,4）,（0,4）的点用线段依次连接起来形成一个封闭图形.
（1）在图的坐标系中画出这个图形.
（2）图形中哪些点的坐标在坐标轴上,它们的坐标有什么特点?
（3）图形中有和坐标轴平行的线段吗?
（4）求出此图形的面积.
【解析】
（1）如图所示.
（2）点A（0,4）,B（1,0）,C（3,0）在坐标轴上,在y轴上点的横坐标为0,在x轴上点的纵坐标为0;
（3）线段AE,DE,AD与x轴平行;
（4）此图形的面积=
×（2+4）×4=12.
【能力篇】
一、选择题：
11.（2017四川南充）如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为（ ）
A．（1，1）B．（
，1）C．（
，
）D．（1，
）
【考点】KK：
等边三角形的性质；D5：
坐标与图形性质；KQ：
勾股定理．
【分析】先过B作BC⊥AO于C，则根据等边三角形的性质，即可得到OC以及BC的长，进而得出点B的坐标．
【解答】解：
如图所示，过B作BC⊥AO于C，则
∵△AOB是等边三角形，
∴OC=
AO=1，
∴Rt△BOC中，BC=
=
，
∴B（1，
），
故选：
D．
12.（2018•湖北荆门•3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（4，0），B（0，3），C（4，3），I是△ABC的内心，将△ABC绕原点逆时针旋转90°后，I的对应点I'的坐标为（ ）
A．（﹣2，3）B．（﹣3，2）C．（3，﹣2）D．（2，﹣3）
【分析】直接利用直角三角形的性质得出其内切圆半径，进而得出I点坐标，再利用旋转的性质得出对应点坐标．
【解答】解：
过点作IF⊥AC于点F，IE⊥OA于点E，
∵A（4，0），B（0，3），C（4，3），
∴BC=4，AC=3，
则AB=5，
∵I是△ABC的内心，
∴I到△ABC各边距离相等，等于其内切圆的半径，
∴IF=1，故I到BC的距离也为1，
则AE=1，
故IE=3﹣1=2，
OE=4﹣1=3，
则I（3，2），
∵△ABC绕原点逆时针旋转90°，
∴I的对应点I'的坐标为：
（﹣2，3）．
故选：
A．
【点评】此题主要考查了旋转的性质以及直角三角形的性质，得出其内切圆半径是解题关键．
13.
（2018·辽宁省阜新市）如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2018次得到正方形OA2018B2018C2018，如果点A的坐标为（1，0），那么点B2018的坐标为（ ）
A．（1，1） B．（0，
） C．（
） D．（﹣1，1）
【解答】解：
∵四边形OABC是正方形，且OA=1，∴B（1，1），连接OB，由勾股定理得：
OB=
，由旋转得：
OB=OB1=OB2=OB3=…=
．
∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，依次得到∠AOB=∠BOB1=∠B1OB2=…=45°，∴B1（0，
），B2（﹣1，1），B3（﹣
，0），…，发现是8次一循环，所以2018÷8=252…余2，∴点B2018的坐标为（﹣1，1）
故选D．
二、填空题：
14.（2018四川省绵阳市）如图，在中国象棋的残局上建立平面直角坐标系，如果“相”和“兵”的坐标分别是（3，-1）和（-3，1），那么“卒”的坐标为________。
【答案】（-2，-2）
【考点】点的坐标，用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：
建立平面直角坐标系（如图），
∵相（3，-1），兵（-3，1），
∴卒（-2，-2），
故答案为：
（-2，-2）.
【分析】根据题中相和兵的坐标确定原点位置，建立平面直角坐标系，从而得出卒的坐标.
15.（2018年江苏省宿迁）如图，将含有30°角的直角三角板ABC放入平面直角坐标系，顶点AB分别落在x、y轴的正半轴上，∠OAB＝60°,点A的坐标为（1,0），将三角板ABC沿x轴右作无滑动的滚动（先绕点A按顺时针方向旋转60°，再绕点C按顺时针方向旋转90°，…）当点B第一次落在x轴上时，则点B运动的路径与坐标轴围成的图形面积是________.
【答案】
+
π
【考点】三角形的面积，扇形面积的计算，锐角三角函数的定义，旋转的性质
【解析】【解答】解：
在Rt△AOB中，∵A（1,0），
∴OA=1,
又∵∠OAB＝60°，
∴cos60°=
∴AB=2,OB=
∵在旋转过程中，三角板的角度和边的长度不变，
∴点B运动的路径与坐标轴围成的图形面积为：
=
=
+
π.
故答案为:
+
π.
【分析】在Rt△AOB中，由A点坐标得OA=1,根据锐角三角形函数可得AB=2，OB=
在旋转过程中，三角板的角度和边的长度不变，所以点B运动的路径与坐标轴围成的图形面积为：
=
，计算即可得出答案.
16.（2018·湖南省衡阳·3分）如图，在平面直角坐标系中，函数y=x和y=﹣
x的图象分别为直线l1，l2，过点A1（1，﹣
）作x轴的垂线交11于点A2，过点A2作y轴的垂线交l2于点A3，过点A3作x轴的垂线交l1于点A4，过点A4作y轴的垂线交l2于点A5，…依次进行下去，则点A2018的横坐标为 1009 ．
【解答】解：
由题意可得，
A1（1，﹣
），A2（1，1），A3（﹣2，1），A4（﹣2，﹣2），A5（4，﹣2），…，
∵2018÷4=504…2，2018÷2=1009，
∴点A2018的横坐标为：
1009，
故答案为：
1009．
三、解答与计算题：
17.如图，正方形ABFG和正方
形CDEF中，使点B、C的坐标分别为（0，0）和（4，0）
（1）在图中建立平面直角坐标系；
（2）写出A点的坐标；
（3）画出正方形EFCD左平移2个单位，上平移1
个单位后的正方形E′F′C′D′．
【解答】解：
（1）平面直角坐标系如图所示，
（2）由图可得，A（﹣2，3）；
（3）如图所示，正方形E′F′C′D′即为所求．
18.在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为（﹣6，7）、（﹣3，0）、（0，3）．
（1）画出△ABC，并求△ABC的面积；
（2）在△ABC中，点C经过平移后的对应点为C′（5，4），将△ABC作同样的平移得到△A′B′C′，画出平移后的△A′B′C′，并写出点A′，B′的坐标；
（3）P（﹣3，m）为△ABC中一点，将点P向右平移4个单位后，再向上平移6个单位得到点Q（n，﹣3），则m= ﹣9 ，n= 1 ．
【解答】解：
（1）如图，△ABC即为所求；
（2）如图，△A′B′C′即为所求，A′（﹣1，8），B′（2，1）；
（3）∵P（﹣3，m）为△ABC中一点，将点P向右平移4个单位后，再向上平移6个单位得到点Q（n，﹣3），
∴n=﹣3+4=1，m+6=﹣3，[来源:
学科网ZXXK]
∴n=1，m=﹣9．
故答案为：
﹣9，1．
【探究篇】
19.
（1）如图1，梯形ABCD中对角线交于点O，AB∥CD，请写出图中面积相等的三角形；
（2）如图2，在直角坐标系中，O是坐标原点，点A（﹣2，3），B（2，1）．
①分别求三角形ACO和三角形BCO的面积及点C的坐标；
②请利用
（1）的结论解决
如下问题：
D是边OA上一点，过点D作直线DE平分三角形ABO的面积，并交AB于点E（要有适当的作图说明）．
【解答】解：
（1）∵AB∥DC，
∴S△ABD=S△ABC，S△ADC=S△BDC，
∴S△AOD=S△BOC．
（2）∵点A（﹣2，3），B（2，1），
∴直线AB的解析式为y=﹣
x+2，
∴C（0，2）
∴S△AOC=
×2×2=2，S△BOC=
×2×2=2，
（3）连接CD，过点O作OE∥CD交AB于点E，连接DE，则DE就是所作的线．
20.如图在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为（﹣2，2），
（1，8），
（1）求△ABO的面积．
（2）若y轴上有一点M，且△MAB的面积为10．求M点的坐标．
（3）如图，把直线AB以每秒2个单位的速度向右平移，运动t秒钟后，直线AB过点F（0，﹣2），此时A点的坐标为 （2，2） ，B点的坐标为 （5，8） ，过点A作AE⊥y轴于点E，过点B作BD⊥y轴于点D，请根据S△FBD=S△FAE+S梯形ABDE，求出满足条件的运动时间t的值．
【解答】解：
（1）过A作AE⊥x轴于E，过B作BF⊥x轴于F，
∵A、B两点的坐标分别为（﹣2，2），（1，8），
∴AE=OE=2，BF=8，OF=1，
∴△ABO的面积=S四边形AEFB﹣S△AEO﹣S△BOF=
（2+8）×3﹣
2×2﹣
=9；
（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，
∴
，
∴
，
∴直线AB的解析式为y=2x+6，
∴直线AB与y轴的
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