秋人教必修2863第二课时平面与平面垂直的性质.docx
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秋人教必修2863第二课时平面与平面垂直的性质
第二课时 平面与平面垂直的性质
课标要求
素养要求
1.借助长方体，通过直观感知，归纳出平面与平面垂直的性质定理，并加以证明.
2.能用平面与平面垂直的性质定理解决一些简单的空间线面位置关系问题.
在发现、推导和应用平面与平面垂直的性质定理的过程中，发展学生的数学抽象素养、逻辑推理素养和直观想象素养.
教材知识探究
教室内的黑板所在的平面与地面所在的平面垂直.
问题
（1）在黑板上任意画一条直线与地面垂直吗？
（2）怎样画才能保证所画直线与地面垂直？
提示
（1）不一定，也可能平行、相交（不垂直）.
（2）只要保证所画的线与两面的交线垂直即可.
平面与平面垂直的性质定理
文字语言
两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直
符号语言
α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β
图形语言
教材拓展补遗
[微判断]
1.若平面α⊥平面β，则平面α内所有直线都垂直于平面β.（×）
2.若平面α⊥平面β，则平面α内一定存在直线平行于平面β.（√）
3.若平面α不垂直于平面β，则平面α内一定不存在直线垂直于平面β.（√）
提示 平面α内的直线也可能平行于平面β或相交但不垂直.
[微训练]
若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则（ ）
A.α∥γB.α⊥γ
C.α与γ相交但不垂直D.以上都有可能
解析 两个平面都垂直于同一个平面，则这两个平面可能平行，也可能相交，故A，B，C都有可能，故选D.
答案 D
[微思考]
平面与平面垂直的性质定理有什么作用？
提示
（1）判定直线和平面垂直；
（2）作平面的垂线.
题型一 垂直关系的相互转化
【例1】 m，n表示直线，α，β，γ表示平面，给出下列三个命题：
（1）若α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；
（2）若α⊥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则n⊥m；
（3）若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β.
其中正确的命题为（ ）
A.
（1）
（2）B.（3）
C.
（2）（3）D.
（1）
（2）（3）
解析 对于
（1），依据线面垂直的判定定理，一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，才能得到该直线与此平面垂直，而n只与β内的一条直线m垂直，不能得到n⊥β，故
（1）不正确.
对于
（2），如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，平面DCC′D′⊥平面ABCD，平面ABC′D′与平面DCC′D′的交线为C′D′，与平面ABCD的交线为AB，但C′D′∥AB.故
（2）不正确.
对于（3），由于m⊥α，m⊥n，则n在平面α内或n∥α.若n在平面α内，由n⊥β可得α⊥β；若n∥α，过n作平面与α交于直线l，则n∥l，由n⊥β得l⊥β，从而α⊥β.故（3）正确.
答案 B
规律方法 空间中的垂直关系有线线垂直、线面垂直、面面垂直，这三种关系不是孤立的，而是相互关联的，它们之间的转化关系如下：
【训练1】 若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A.若m⊂β，α⊥β，则m⊥α
B.若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β
C.若m⊥β，m∥α，则α⊥β
D.若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ
解析 由线面平行、垂直的有关知识可排除A，B，D；对于C，因为m∥α，过m作平面γ交α于m′，则m′∥m，由于m⊥β，故m′⊥β，又m′⊂α，则α⊥β，所以C正确.
答案 C
题型二 平面与平面垂直的性质及应用 面⊥面⇒线⊥面
探究1 证明直线和平面垂直
【例2－1】 如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形.侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.G为AD边的中点.求证：
（1）BG⊥平面PAD；
（2）AD⊥PB.
证明
（1）由题意知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PG⊂平面PAD，
∴PG⊥平面ABCD，由BG⊂平面ABCD，∴PG⊥BG.
又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，
∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.
又AD∩PG＝G，AD，PG⊂平面PAD，∴BG⊥平面PAD.
（2）由
（1）可知BG⊥AD，PG⊥AD，BG∩PG＝G，BG，PG⊂平面PBG，所以AD⊥平面PBG，
又PB⊂平面PBG，所以AD⊥PB.
探究2 与面面垂直的性质有关的计算问题
【例2－2】 如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，AB⊥BC，AC＝AD＝2，BC＝CD＝1.求四面体ABCD的体积.
解 如图所示，在平面ACD内过D点作DF⊥AC，垂足为F，故由平面ABC⊥平面ACD，AC为交线，DF⊂平面ACD，知DF⊥平面ABC，即DF是四面体ABCD的面ABC上的高.
设G为边CD的中点，连接AG，则由AC＝AD，知AG⊥CD，从而AG＝
＝
＝
.
由
AC·DF＝
CD·AG得
DF＝
＝
＝
.
在Rt△ABC中，AB＝
＝
，
S△ABC＝
AB·BC＝
.
故四面体ABCD的体积V＝
·S△ABC·DF＝
.
探究3 面面垂直的性质在探究性问题中的应用
【例2－3】 如图1，在矩形ABCD中，AD＝1，AB＝3，M为CD上一点，且CM＝2MD.将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM，如图2，点E是线段AM的中点.
（1）求四棱锥D－ABCM的体积；
（2）求证：
平面BDE⊥平面ABCM；
（3）过B点是否存在一条直线l，同时满足以下两个条件：
①l⊂平面ABCM；②l⊥AD.请说明理由.
（1）解 由已知DA＝DM，E是AM的中点，
∴DE⊥AM.
∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM＝AM，
∴DE⊥平面ABCM.
四棱锥P－ABCM的体积V＝
SABCM·DE＝
×
×
×
＝
.
（2）证明 由
（1）可得，DE⊥平面ABCM，DE⊂平面DEB，
∴平面DEB⊥平面ABCM.
（3）解 过B点存在一条直线l，同时满足以下两个条件：
①l⊂平面ABCM；②l⊥AD.理由：
在平面ABCM中，过点B作直线l，使l⊥AM，
∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ABCM∩平面ADM＝AM，
∴l⊥平面ADM，∴l⊥AD.
规律方法 1.证明或判定线面垂直的常用方法：
（1）线面垂直的判定定理；
（2）面面垂直的性质定理；
（3）若a∥b，a⊥α，则b⊥α（a，b为直线，α为平面）；
（4）若a⊥α，α∥β，则a⊥β（a为直线，α，β为平面）；
2.两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直，方法是在其中一个面内作（找）与交线垂直的直线.
【训练2】 如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F（E与A，D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.
求证：
（1）EF∥平面ABC；
（2）AD⊥AC.
证明
（1）在平面ABD内，AB⊥AD，EF⊥AD，
则AB∥EF.
∵AB⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，
∴EF∥平面ABC.
（2）∵BC⊥BD，平面ABD∩平面BCD＝BD，平面ABD⊥平面BCD，BC⊂平面BCD，
∴BC⊥平面ABD.
∵AD⊂平面ABD，∴BC⊥AD.
∵AB⊥AD，BC，AB⊂平面ABC，BC∩AB＝B，
∴AD⊥平面ABC，又AC⊂平面ABC，∴AD⊥AC.
题型三 平行关系、垂直关系的综合应用
【例3】 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点.
（1）求证：
PE⊥BC；
（2）求证：
平面PAB⊥平面PCD；
（3）求证：
EF∥平面PCD.
证明
（1）因为PA＝PD，E为AD的中点，
所以PE⊥AD.
因为底面ABCD为矩形，
所以BC∥AD.
所以PE⊥BC.
（2）因为底面ABCD为矩形，
所以AB⊥AD.
又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD，
所以AB⊥平面PAD.
所以AB⊥PD.
又因为PA⊥PD，且PA∩AB＝A，PA，PB⊂平面PAB，
所以PD⊥平面PAB.又PD⊂平面PCD，
所以平面PAB⊥平面PCD.
（3）如图，取PC中点G，连接FG，DG.
因为F，G分别为PB，PC的中点，
所以FG∥BC，FG＝
BC.
因为ABCD为矩形，且E为AD的中点，
所以DE∥BC，DE＝
BC.
所以DE∥FG，DE＝FG.
所以四边形DEFG为平行四边形.
所以EF∥DG.
又因为EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD，
所以EF∥平面PCD.
规律方法 1.三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.
2.垂直与平行的综合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.
【训练3】 如图，在多面体ABCDPE中，四边形ABCD和CDPE都是直角梯形，AB∥DC，PE∥DC，AD⊥DC，PD⊥平面ABCD，AB＝PD＝DA＝2PE，CD＝3PE，F是CE的中点.
（1）求证：
BF∥平面ADP；
（2）已知O是BD的中点，求证：
BD⊥平面AOF.
证明
（1）如图，取PD的中点为G，连接FG，AG.
∵F是CE的中点，∴FG是梯形CDPE的中位线，
∵CD＝3PE，
∴FG＝2PE，FG∥CD.
∵CD∥AB，AB＝2PE，
∴AB∥FG，AB＝FG，即四边形ABFG是平行四边形，
∴BF∥AG，又BF⊄平面ADP，AG⊂平面ADP，
∴BF∥平面ADP.
（2）延长AO交CD于M，连接BM，FM.
∵BA⊥AD，CD⊥DA，AB＝AD，O为BD的中点，
∴四边形ABMD是正方形，则BD⊥AM，MD＝2PE，
∴FM∥PD.
∵PD⊥平面ABCD，∴FM⊥平面ABCD，∴FM⊥BD，
∵AM∩FM＝M，AM，FM⊂平面AMF，
∴BD⊥平面AMF，∴BD⊥平面AOF.
一、素养落地
1.通过学习和应用面面垂直的性质定理，重点培养数学抽象素养，及提升逻辑推理素养和直观想象素养.
2.垂直关系之间的相互转化
3.判定线面垂直的方法主要有以下五种
①线面垂直的定义；②线面垂直的判定定理；③面面垂直的性质定理；④如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面，
⇒b⊥α；⑤如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面，
⇒a⊥β.
二、素养训练
1.在空间中，下列命题正确的是（ ）
A.垂直于同一条直线的两直线平行
B.平行于同一条直线的两个平面平行
C.垂直于同一平面的两个平面平行
D.垂直于同一平面的两条直线平行
解析 A项中，垂直于同一条直线的两直线可能平行、异面或相交；B项中，平行于同一条直线的两个平面可能平行或相交；C项中，垂直于同一平面的两个平面可能平行或相交；D项正确.
答案 D
2.已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则（ ）
A.m∥lB.m∥nC.n⊥lD.m⊥n
解析 因为α∩β＝l，所以l⊂β，又n⊥β，所以n⊥l.
答案 C
3.如图所示，三棱锥P－ABC中，平面PAB⊥底面ABC，且PA＝PB＝PC，则△ABC是________三角形.
解析 设P在平面ABC上的射影为O，
∵平面PAB⊥底面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，
∴O∈AB.
∵PA＝PB＝PC，∴OA＝OB＝OC，
∴O是△ABC的外心，且是AB的中点，
∴△ABC是直角三角形.
答案 直角
4.如图，在三棱台ABC－DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2.
求证：
BF⊥平面ACFD.
证明 延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示.
因为平面BCFE⊥平面ABC，平面BCFE∩平面ABC＝BC，且AC⊥BC，AC⊂平面ABC，所以AC⊥平面BCK，
因此BF⊥AC.
又因为EF∥BC，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，
所以△BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BF⊥CK.
又CK∩AC＝C，CK，AC⊂平面ACFD，
所以BF⊥平面ACFD.
基础达标
一、选择题
1.已知平面α⊥平面β，则下列命题中真命题的个数是（ ）
①α内的任意直线必垂直于β内的无数条直线；
②在β内垂直于α与β的交线的直线必垂直于α内的任意一条直线；
③α内的任意一条直线必垂直于β；
④过β内的任意一点作α与β交线的垂线，则这条直线必垂直于α.
A.4B.3C.2D.1
解析 ①设α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，b⊥l，则a⊥b，故β内与b平行的无数条直线均垂直于α内的任意直线，为真命题；②β内垂直于α与β交线的直线垂直于平面α，则它垂直于α内的任意直线，为真命题；③α内不与交线垂直的直线不垂直于β，为假命题；④垂直于交线的直线必须在平面β内才与平面α垂直，否则不垂直，为假命题.
答案 C
2.在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作EF⊥A1B1于F，则EF与平面A1B1C1D1的关系是（ ）
A.平行B.EF⊂平面A1B1C1D1
C.相交但不垂直D.相交且垂直
解析 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，平面A1ABB1⊥平面A1B1C1D1且平面A1ABB1∩平面A1B1C1D1＝A1B1，又EF⊂面A1ABB1，EF⊥A1B1，∴EF⊥平面A1B1C1D1，答案D正确.
答案 D
3.如图所示，三棱锥P－ABC中，平面ABC⊥平面PAB，PA＝PB，AD＝DB，则（ ）
A.PD⊂平面ABC
B.PD⊥平面ABC
C.PD与平面ABC相交但不垂直
D.PD∥平面ABC
解析 ∵PA＝PB，AD＝DB，
∴PD⊥AB.
又∵平面ABC⊥平面PAB，
平面ABC∩平面PAB＝AB，PD⊂平面PAB，
∴PD⊥平面ABC.
答案 B
4.如图所示，三棱锥P－ABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是（ ）
A.一条线段
B.一条直线
C.一个圆
D.一个圆，但要去掉两个点
解析 ∵平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AC⊂平面PAC，
∴AC⊥平面PBC.又∵BC⊂平面PBC，
∴AC⊥BC，∴∠ACB＝90°.
∴动点C的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点.
答案 D
5.如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α，β所成的角分别为
和
.过A，B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′，B′，则AB∶A′B′等于（ ）
A.2∶1B.3∶1
C.3∶2D.4∶3
解析 由已知条件可知∠BAB′＝
，∠ABA′＝
，
设AB＝2a，则BB′＝2asin
＝
a，
A′B＝2acos
＝
a，∴在Rt△BB′A′中，得A′B′＝a，
∴AB∶A′B′＝2∶1.
答案 A
二、填空题
6.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E∈平面ABCD，F∈平面A1B1C1D1，且EF⊥平面ABCD，则EF与AA1的位置关系是________.
解析 ∵AA1⊥平面ABCD，EF⊥平面ABCD，
∴AA1∥EF.
答案 平行
7.已知a，b为直线，α，β为平面.在下列四个命题中，正确的命题是________（填序号）.
①若a⊥α，b⊥α，则a∥b；
②若a∥α，b∥α，则a∥b；
③若a⊥α，a⊥β，则α∥β；
④若α∥b，β∥b，则α∥β.
解析 由“垂直于同一平面的两直线平行”知①真；由“平行于同一平面的两直线平行或异面或相交”知②假；由“垂直于同一直线的两平面平行”知③真；易知④假.
答案 ①③
8.如图，在三棱锥P－ABC内，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝________.
解析 ∵侧面PAC⊥底面ABC，交线为AC，∠PAC＝90°（即PA⊥AC），
∴PA⊥平面ABC，又AB⊂平面ABC，
∴PA⊥AB，∴PB＝
＝
＝
.
答案
三、解答题
9.已知平面ABC⊥平面ACD，AB⊥平面BCD，BE⊥AC于点E.
（1）判断DC与BE的关系；
（2）求证：
DC⊥BC.
（1）解 DC⊥BE，理由如下：
∵平面ABC⊥平面ACD，BE⊥AC于点E，平面ABC∩平面ACD＝AC，BE⊂平面ABC，
∴BE⊥平面ACD，又DC⊂平面ACD，∴BE⊥DC.
（2）证明 ∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD.
∵BE⊥CD，AB∩BE＝B，AB，BE⊂平面ABC，
∴CD⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC，
∴CD⊥BC.
10.如图所示，在平行四边形ABCD中，已知AD＝2AB＝2a，BD＝
a，AC∩BD＝E，将其沿对角线BD折成直二面角.
求证：
（1）AB⊥平面BCD；
（2）平面ACD⊥平面ABD.
证明
（1）在△ABD中，AB＝a，AD＝2a，BD＝
a，
∴AB2＋BD2＝AD2，∴∠ABD＝90°，AB⊥BD.
又∵平面ABD⊥平面BCD，
平面ABD∩平面BCD＝BD，AB⊂平面ABD，
∴AB⊥平面BCD.
（2）∵折叠前四边形ABCD是平行四边形，且AB⊥BD，
∴CD⊥BD.∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.
∵AB∩BD＝B，AB，BD⊂平面ABD，
∴CD⊥平面ABD.
又∵CD⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABD.
能力提升
11.如图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点.若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，则线段MN的长等于________.
解析 取CD的中点G，连接MG，NG.因为ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，
所以MG⊥CD，MG＝2，NG＝
.
因为平面ABCD⊥平面DCEF，
所以MG⊥平面DCEF，
可得MG⊥NG，
所以MN＝
＝
.
答案
12.如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2.∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点.
（1）求证：
EF⊥平面BCG；
（2）求三棱锥D－BCG的体积.
（1）证明 ∵AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，
∴△ABC≌△DBC，∴AC＝DC.
∵G为AD的中点，∴CG⊥AD.
同理BG⊥AD，
∵CG∩BG＝G，CG，BG⊂平面BGC，
∴AD⊥平面BGC.又E，F分别是AC，CD的中点，
∴EF∥AD，∴EF⊥平面BCG.
（2）解 在平面ABC内，作AO⊥CB，交CB的延长线于O，
∵△ABC和△BCD所在平面互相垂直，平面ABC∩平面BCD＝BC，且AO⊂平面ABC，
∴AO⊥平面BCD.
∵G为AD的中点，
∴G到平面BCD的距离h是AO长度的一半.
在△AOB中，AO＝ABsin60°＝
，∴h＝
.
在△BCD中，BF＝BD·cos60°＝2×
＝1，
DF＝AB·sin60°＝
，∴DC＝2
，
故S△DCB＝
BF·DC＝
×1×2
＝
.
∴VD－BCG＝VG－BCD＝
S△DCBh＝
×
×
＝
.
创新猜想
13.（多选题）如图，正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，现在沿SE，SF，EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3重合，重合后的点记为G.给出下列关系成立的有（ ）
A.SG⊥平面EFGB.SE⊥平面EFG
C.GF⊥SED.EF⊥平面SEG
解析 由SG⊥GE，SG⊥GF，得SG⊥平面EFG，同理可证GF⊥平面GSE，所以平面EFG，SFG，SEG两两垂直，所以选项A，C正确；若SE⊥平面EFG，则SE⊥EG，这与SG⊥EG矛盾，同理可知EF⊥平面SEG不正确，所以B，D不正确.
答案 AC
14.（多选题）如图，边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A′DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形（A′不与A，F重合），则下列命题中正确的是（ ）
A.动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上
B.BC∥平面A′DE
C.三棱锥A′－FED的体积有最大值
D.三棱锥A′－FED可能是正三棱锥
解析 注意折叠前DE⊥AF，折叠后其位置关系没有改变.
A中，由已知可得平面A′FG⊥平面ABC，∴点A′在平面ABC上的射影在线段AF上.
B中，BC∥DE，BC⊄平面A′DE，DE⊂平面A′DE，
∴BC∥平面A′DE.
C中，当平面A′DE⊥平面ABC时，三棱锥A′－FED的体积达到最大.
D中，因为A′F的长度在
范围内，所以存在一个位置，使A′F＝
a，
又因为△DEF是正三角形，所以该位置使三棱锥A′－FED是正三棱锥.
答案 ABCD
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