秋人教必修2863第二课时平面与平面垂直的性质.docx

1、秋人教必修2863第二课时平面与平面垂直的性质第二课时平面与平面垂直的性质课标要求素养要求1.借助长方体，通过直观感知，归纳出平面与平面垂直的性质定理，并加以证明.2.能用平面与平面垂直的性质定理解决一些简单的空间线面位置关系问题.在发现、推导和应用平面与平面垂直的性质定理的过程中，发展学生的数学抽象素养、逻辑推理素养和直观想象素养.教材知识探究教室内的黑板所在的平面与地面所在的平面垂直.问题(1)在黑板上任意画一条直线与地面垂直吗？(2)怎样画才能保证所画直线与地面垂直？提示(1)不一定，也可能平行、相交(不垂直).(2)只要保证所画的线与两面的交线垂直即可.平面与平面垂直的性质定理文字语言

2、两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直符号语言，l，a，ala图形语言教材拓展补遗微判断1.若平面平面，则平面内所有直线都垂直于平面.()2.若平面平面，则平面内一定存在直线平行于平面.()3.若平面不垂直于平面，则平面内一定不存在直线垂直于平面.()提示平面内的直线也可能平行于平面或相交但不垂直.微训练若平面平面，平面平面，则()A. B.C.与相交但不垂直 D.以上都有可能解析两个平面都垂直于同一个平面，则这两个平面可能平行，也可能相交，故A，B，C都有可能，故选D.答案D微思考平面与平面垂直的性质定理有什么作用？提示(1)判定直线和平面垂

3、直；(2)作平面的垂线.题型一垂直关系的相互转化【例1】m，n表示直线，表示平面，给出下列三个命题：(1)若m，n，nm，则n；(2)若，m，n，则nm；(3)若m，n，mn，则.其中正确的命题为()A.(1)(2) B.(3)C.(2)(3) D.(1)(2)(3)解析对于(1)，依据线面垂直的判定定理，一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，才能得到该直线与此平面垂直，而n只与内的一条直线m垂直，不能得到n，故(1)不正确.对于(2)，如图所示，在长方体ABCDABCD中，平面DCCD平面ABCD，平面ABCD与平面DCCD的交线为CD，与平面ABCD的交线为AB，但CDAB.故(2)不正

4、确.对于(3)，由于m，mn，则n在平面内或n.若n在平面内，由n可得；若n，过n作平面与交于直线l，则nl，由n得l，从而.故(3)正确.答案B规律方法空间中的垂直关系有线线垂直、线面垂直、面面垂直，这三种关系不是孤立的，而是相互关联的，它们之间的转化关系如下：【训练1】若m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中正确的是()A.若m，则mB.若m，n，mn，则C.若m，m，则D.若，则解析由线面平行、垂直的有关知识可排除A，B，D；对于C，因为m，过m作平面交于m，则mm，由于m，故m，又m，则，所以C正确.答案C题型二平面与平面垂直的性质及应用面面线面探究1证明直线和平面垂直

5、【例21】如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是DAB60且边长为a的菱形.侧面PAD为正三角形， 其所在平面垂直于底面ABCD.G为AD边的中点.求证：(1)BG平面PAD；(2)ADPB.证明(1)由题意知PAD为正三角形，G是AD的中点，PGAD.又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PG平面PAD，PG平面ABCD，由BG平面ABCD，PGBG.又四边形ABCD是菱形且DAB60，ABD是正三角形，BGAD.又ADPGG，AD，PG平面PAD，BG平面PAD.(2)由(1)可知BGAD，PGAD，BGPGG，BG，PG平面PBG，所以AD平面PBG，又

6、PB平面PBG，所以ADPB.探究2与面面垂直的性质有关的计算问题【例22】如图，在四面体ABCD中，平面ABC平面ACD，ABBC，ACAD2，BCCD1.求四面体ABCD的体积.解如图所示，在平面ACD内过D点作DFAC，垂足为F，故由平面ABC平面ACD，AC为交线，DF平面ACD，知DF平面ABC，即DF是四面体ABCD的面ABC上的高.设G为边CD的中点，连接AG，则由ACAD，知AGCD，从而AG.由ACDFCDAG得DF.在RtABC中，AB，SABCABBC.故四面体ABCD的体积VSABCDF.探究3面面垂直的性质在探究性问题中的应用【例23】如图1，在矩形ABCD中，AD1

7、，AB3，M为CD上一点，且CM2MD.将ADM沿AM折起，使得平面ADM平面ABCM，如图2，点E是线段AM的中点.(1)求四棱锥DABCM的体积；(2)求证：平面BDE平面ABCM；(3)过B点是否存在一条直线l，同时满足以下两个条件：l平面ABCM；lAD.请说明理由.(1)解由已知DADM，E是AM的中点，DEAM.平面ADM平面ABCM，平面ADM平面ABCMAM，DE平面ABCM.四棱锥PABCM的体积VSABCMDE.(2)证明由(1)可得，DE平面ABCM，DE平面DEB，平面DEB平面ABCM.(3)解过B点存在一条直线l，同时满足以下两个条件：l平面ABCM；lAD.理由：

8、在平面ABCM中，过点B作直线l，使lAM，平面ADM平面ABCM，平面ABCM平面ADMAM，l平面ADM，lAD.规律方法1.证明或判定线面垂直的常用方法：(1)线面垂直的判定定理；(2)面面垂直的性质定理；(3)若ab，a，则b(a，b为直线，为平面)；(4)若a，则a(a为直线，为平面)；2.两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直，方法是在其中一个面内作(找)与交线垂直的直线.【训练2】如图，在三棱锥ABCD中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EFAD.求证：(1)EF平面ABC；(2)ADAC.证明(1)在

9、平面ABD内，ABAD，EFAD，则ABEF.AB平面ABC，EF平面ABC，EF平面ABC.(2)BCBD，平面ABD平面BCDBD，平面ABD平面BCD，BC平面BCD，BC平面ABD.AD平面ABD，BCAD.ABAD，BC，AB平面ABC，BCABB，AD平面ABC，又AC平面ABC，ADAC.题型三平行关系、垂直关系的综合应用【例3】如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，E，F分别为AD，PB的中点.(1)求证：PEBC；(2)求证：平面PAB平面PCD；(3)求证：EF平面PCD.证明(1)因为PAPD，E为AD的中点，所以PE

10、AD.因为底面ABCD为矩形，所以BCAD.所以PEBC.(2)因为底面ABCD为矩形，所以ABAD.又因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，AB平面ABCD，所以AB平面PAD.所以ABPD.又因为PAPD，且PAABA，PA，PB平面PAB，所以PD平面PAB.又PD平面PCD，所以平面PAB平面PCD.(3)如图，取PC中点G，连接FG，DG.因为F，G分别为PB，PC的中点，所以FGBC，FGBC.因为ABCD为矩形，且E为AD的中点，所以DEBC，DEBC.所以DEFG，DEFG.所以四边形DEFG为平行四边形.所以EFDG.又因为EF平面PCD，DG平面PCD，所

11、以EF平面PCD.规律方法1.三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.2.垂直与平行的综合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.【训练3】如图，在多面体ABCDPE中，四边形ABCD和CDPE都是直角梯形，ABDC，PEDC，ADDC，PD平面ABCD，ABPDDA2PE，CD3PE，F是CE的中点.(1)求证：BF平面ADP；(2)已知O是BD的中点，求证：BD平面AOF.证明 (1)如图，取PD的中点为G，连接FG，AG.F是CE的中点，FG是梯形CDPE的中位线，CD3PE，FG2PE，FGCD.CDAB，AB2PE，ABFG，ABFG，即四边

12、形ABFG是平行四边形，BFAG，又BF平面ADP，AG平面ADP，BF平面ADP.(2)延长AO交CD于M，连接BM，FM.BAAD，CDDA，ABAD，O为BD的中点，四边形ABMD是正方形，则BDAM，MD2PE，FMPD.PD平面ABCD，FM平面ABCD，FMBD，AMFMM，AM，FM平面AMF，BD平面AMF，BD平面AOF.一、素养落地1.通过学习和应用面面垂直的性质定理，重点培养数学抽象素养，及提升逻辑推理素养和直观想象素养.2.垂直关系之间的相互转化3.判定线面垂直的方法主要有以下五种线面垂直的定义；线面垂直的判定定理；面面垂直的性质定理；如果两条平行线中的一条垂直于一个平

13、面，那么另一条也垂直于同一平面，b；如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面，a.二、素养训练1.在空间中，下列命题正确的是()A.垂直于同一条直线的两直线平行B.平行于同一条直线的两个平面平行C.垂直于同一平面的两个平面平行D.垂直于同一平面的两条直线平行解析A项中，垂直于同一条直线的两直线可能平行、异面或相交；B项中，平行于同一条直线的两个平面可能平行或相交；C项中，垂直于同一平面的两个平面可能平行或相交；D项正确.答案D2.已知互相垂直的平面，交于直线l，若直线m，n满足m，n，则()A.ml B.mn C.nl D.mn解析因为l，所以l，又n，所以nl.答

14、案C3.如图所示，三棱锥PABC中，平面PAB底面ABC，且PAPBPC，则ABC是_三角形.解析设P在平面ABC上的射影为O，平面PAB底面ABC，平面PAB平面ABCAB，OAB.PAPBPC，OAOBOC，O是ABC的外心，且是AB的中点，ABC是直角三角形.答案直角4.如图，在三棱台ABCDEF中，平面BCFE平面ABC，ACB90，BEEFFC1，BC2.求证：BF平面ACFD.证明延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示.因为平面BCFE平面ABC，平面BCFE平面ABCBC，且ACBC，AC平面ABC，所以AC平面BCK，因此BFAC.又因为EFBC，BEEFFC1，BC2，所

15、以BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BFCK.又CKACC，CK，AC平面ACFD，所以BF平面ACFD.基础达标一、选择题1.已知平面平面，则下列命题中真命题的个数是()内的任意直线必垂直于内的无数条直线；在内垂直于与的交线的直线必垂直于内的任意一条直线；内的任意一条直线必垂直于；过内的任意一点作与交线的垂线，则这条直线必垂直于.A.4 B.3 C.2 D.1解析设l，a，b，bl，则ab，故内与b平行的无数条直线均垂直于内的任意直线，为真命题；内垂直于与交线的直线垂直于平面，则它垂直于内的任意直线，为真命题；内不与交线垂直的直线不垂直于，为假命题；垂直于交线的直线必须在平面内才与平面

16、垂直，否则不垂直，为假命题.答案C2.在长方体ABCDA1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作EFA1B1于F，则EF与平面A1B1C1D1的关系是()A.平行 B.EF平面A1B1C1D1C.相交但不垂直 D.相交且垂直解析在长方体ABCDA1B1C1D1中，平面A1ABB1平面A1B1C1D1且平面A1ABB1平面A1B1C1D1A1B1，又EF面A1ABB1，EFA1B1，EF平面A1B1C1D1，答案D正确.答案D3.如图所示，三棱锥PABC中，平面ABC平面PAB，PAPB，ADDB，则()A.PD平面ABCB.PD平面ABCC.PD与平面ABC相交但不垂直D.PD平面ABC解析PA

17、PB，ADDB，PDAB.又平面ABC平面PAB，平面ABC平面PABAB，PD平面PAB，PD平面ABC.答案B4.如图所示，三棱锥PABC的底面在平面内，且ACPC，平面PAC平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是()A.一条线段B.一条直线C.一个圆D.一个圆，但要去掉两个点解析平面PAC平面PBC，ACPC，平面PAC平面PBCPC，AC平面PAC，AC平面PBC.又BC平面PBC，ACBC，ACB90.动点C的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点.答案D5.如图，平面平面，A，B，AB与两平面，所成的角分别为和.过A，B分别作两平面交线的垂线，垂足为A，B，则ABAB等于

18、()A.21 B.31C.32 D.43解析由已知条件可知BAB，ABA，设AB2a，则BB2asin a，AB2acos a，在RtBBA中，得ABa，ABAB21.答案A二、填空题6.在长方体ABCDA1B1C1D1中，E平面ABCD，F平面A1B1C1D1，且EF平面ABCD，则EF与AA1的位置关系是_.解析AA1平面ABCD，EF平面ABCD，AA1EF.答案平行7.已知a，b为直线，为平面.在下列四个命题中，正确的命题是_(填序号).若a，b，则ab；若a，b，则ab；若a，a，则；若b，b，则.解析由“垂直于同一平面的两直线平行”知真；由“平行于同一平面的两直线平行或异面或相交”

19、知假；由“垂直于同一直线的两平面平行”知真；易知假.答案8.如图，在三棱锥PABC内，侧面PAC底面ABC，且PAC90，PA1，AB2，则PB_.解析侧面PAC底面ABC，交线为AC，PAC90(即PAAC)，PA平面ABC，又AB平面ABC，PAAB，PB.答案三、解答题9.已知平面ABC平面ACD，AB平面BCD，BEAC于点E.(1)判断DC与BE的关系；(2)求证：DCBC.(1)解DCBE，理由如下：平面ABC平面ACD，BEAC于点E，平面ABC平面ACDAC，BE平面ABC，BE平面ACD，又DC平面ACD，BEDC.(2)证明AB平面BCD，CD平面BCD，ABCD.BECD

20、，ABBEB，AB，BE平面ABC，CD平面ABC，又BC平面ABC，CDBC.10.如图所示，在平行四边形ABCD中，已知AD2AB2a，BDa，ACBDE，将其沿对角线BD折成直二面角.求证：(1)AB平面BCD；(2)平面ACD平面ABD.证明(1)在ABD中，ABa，AD2a，BDa，AB2BD2AD2，ABD90，ABBD.又平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，AB平面ABD，AB平面BCD.(2)折叠前四边形ABCD是平行四边形，且ABBD，CDBD.AB平面BCD，ABCD.ABBDB，AB，BD平面ABD，CD平面ABD.又CD平面ACD，平面ACD平面ABD.能力

21、提升11.如图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点.若CD2，平面ABCD平面DCEF，则线段MN的长等于_.解析取CD的中点G，连接MG，NG.因为ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，所以MGCD，MG2，NG.因为平面ABCD平面DCEF，所以MG平面DCEF，可得MGNG，所以MN.答案12.如图，ABC和BCD所在平面互相垂直，且ABBCBD2.ABCDBC120，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点.(1)求证：EF平面BCG；(2)求三棱锥DBCG的体积.(1)证明ABBCBD2，ABCDBC120，ABCDBC，ACDC.G为A

22、D的中点，CGAD.同理BGAD，CGBGG，CG，BG平面BGC，AD平面BGC.又E，F分别是AC，CD的中点，EFAD，EF平面BCG.(2)解在平面ABC内，作AOCB，交CB的延长线于O，ABC和BCD所在平面互相垂直，平面ABC平面BCDBC，且AO平面ABC，AO平面BCD.G为AD的中点，G到平面BCD的距离h是AO长度的一半.在AOB中，AOABsin 60，h.在BCD中，BFBDcos 6021，DFABsin 60，DC2，故SDCBBFDC12.VDBCGVGBCDSDCBh.创新猜想13.(多选题)如图，正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，

23、现在沿SE，SF，EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3重合，重合后的点记为G.给出下列关系成立的有()A.SG平面EFG B.SE平面EFGC.GFSE D.EF平面SEG解析由SGGE，SGGF，得SG平面EFG，同理可证GF平面GSE，所以平面EFG，SFG，SEG两两垂直，所以选项A，C正确；若SE平面EFG，则SEEG，这与SGEG矛盾，同理可知EF平面SEG不正确，所以B，D不正确.答案AC14.(多选题)如图，边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知ADE是ADE绕DE旋转过程中的一个图形(A不与A，F重合)，则下列命题中正确的是()A.动点A在平面ABC上的射影在线段AF上B.BC平面ADEC.三棱锥AFED的体积有最大值D.三棱锥AFED可能是正三棱锥解析注意折叠前DEAF，折叠后其位置关系没有改变.A中，由已知可得平面AFG平面ABC，点A在平面ABC上的射影在线段AF上.B中，BCDE，BC平面ADE，DE平面ADE，BC平面ADE.C中，当平面ADE平面ABC时，三棱锥AFED的体积达到最大.D中，因为AF的长度在范围内，所以存在一个位置，使AFa，又因为DEF是正三角形，所以该位置使三棱锥AFED是正三棱锥.答案ABCD