高一数学必修1第二章基本初等函数知识点总结归纳.docx

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高一数学必修1第二章基本初等函数知识点总结归纳

必修1第二章基本初等函数（Ⅰ知识点整理

〖2.1〗指数函数

2.1.1指数与指数幂的运算

（1根式的概念①如果,,,1n

aaRxRn=∈∈>,且nN+∈,那么x叫做a的n次方根.当n是奇数时,a的n

表示;当n是偶数时,正数a的正的n

次方根用符号0的n次方根是0;负数

a没有n次方根.

n叫做根指数,a叫做被开方数.当n为奇数时,a为任意实数;当n为偶数时,0a≥.

③根式的性质:

na=;当n

a=;当n为偶数时,

（0

||（0aaaaa≥⎧==⎨

-<⎩

.（2分数指数幂的概念

①正数的正分数指数幂的意义是:

0,,,m

amnN+=>∈且1n>.0的正分数指数幂等于0.②正数的负分数

指数幂的意义是:

1（0,,,mmn

amnNa-+==>∈且1n>.0的负分数指数幂没有意义.注意口诀:

底

数取倒数,指数取相反数.（3分数指数幂的运算性质

①（0,,r

srsa

aaarsR+⋅=>∈②（（0,,rsrsaaarsR=>∈③（（0,0,rrrabababrR=>>∈

2.1.2指数函数及其性质

（4指数函数

〖2.2〗对数函数

【2.2.1】对数与对数运算

（1对数的定义

①若（0,1x

Naa=>≠且,则x叫做以a为底N的对数,记作logax

N=,其中a叫做底数,N

叫做真数.

②负数和零没有对数.③对数式与指数式的互化:

log（0,1,0xaxNaNaaN=⇔=>≠>.

（2几个重要的对数恒等式:

log10a=,log1a

a=,logbaab=.（3常用对数与自然对数:

常用对数:

lgN,即10logN;自然对数:

lnN

即loge

N（其中2.71828e=…

.（4对数的运算性质如果0,1,0,0a

aMN>≠>>,那么

①加法:

logloglog（a

aaMNMN+=②减法:

logloglogaaa

MNN

③数乘:

loglog（n

aanMMnR=∈④logaN

⑤loglog（0,bn

aanMMbnRb

=≠∈⑥换底公式:

loglog（0,1logbabNNbba=

>≠且

【2.2.2】对数函数及其性质

（5对数函数

（6反函数的概念

设函数

（yfx=的定义域为A,值域为C,从式子（yfx=中解出x,得式子（xyϕ=.如果对于y在C中

的任何一个值,通过式子（xyϕ=,x在A中都有唯一确定的值和它对应,那么式子（xyϕ=表示x是y的函数,函

数（x

yϕ=叫做函数（yfx=的反函数,记作1（xfy-=,习惯上改写成1（yfx-=.

（7反函数的求法

①确定反函数的定义域,即原函数的值域;②从原函数式（yfx=中反解出1（xfy-=;

③将1（x

fy-=改写成1（yfx-=,并注明反函数的定义域.

（8反函数的性质

①原函数

（yfx=与反函数1（yfx-=的图象关于直线yx=对称.

②函数

（yfx=的定义域、值域分别是其反函数1（yfx-=的值域、定义域.

③若（,Pab在原函数（yfx=的图象上,则'（,Pba在反函数1（yfx-=的图象上.

④一般地,函数

（yfx=要有反函数则它必须为单调函数.

〖2.3〗幂函数

（1幂函数的定义一般地,函数

yxα=叫做幂函数,其中x为自变量,α是常数.

（2幂函数的图象

（3幂函数的性质

①图象分布:

幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象.幂函数是偶函数时,图象分布在第一、二象限（图象关于

y轴对称;是奇函数时,图象分布在第一、三象限（图象关于原点对称;是非奇非偶函数时,图象只分布在第一象限.

②过定点:

所有的幂函数在（0,+∞都有定义,并且图象都通过点（1,1.③单调性:

如果0α

>,则幂函数的图象过原点,并且在[0,+∞上为增函数.如果0α<,则幂函数的图象在（0,

+∞上为减函数,在第一象限内,图象无限接近x轴与

y轴.

④奇偶性:

当α为奇数时,幂函数为奇函数,当α为偶数时,幂函数为偶函数.当q

（其中,pq互质,p和qZ∈,

若p为奇数q为奇数时,则q

=是奇函数,若

p为奇数q为偶数时,则qp

yx=是偶函数,若

p为偶数q为奇数时,

则

=是非奇非偶函数.

⑤图象特征:

幂函数,（0,yxxα=∈+∞,当1α>时,若01x<<,其图象在直线yx=下方,若1x>,其图象

在直线

yx=上方,当1α<时,若01x<<,其图象在直线yx=上方,若1x>,其图象在直线yx=下方.

〖补充知识〗二次函数

（1二次函数解析式的三种形式①一般式:

2（（0fxaxbxca=++≠②顶点式:

2（（（0fxaxhka=-+≠③两根式:

12（（（（0fxaxxxxa=--≠

（2求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时,宜用一般式.

②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小值有关时,常使用顶点式.③若已知抛物线与x轴有两个交点,且横线坐标已知时,选用两根式求（fx更方便.

（3二次函数图象的性质

①二次函数

（（0fxaxbxca=++≠的图象是一条抛物线,对称轴方程为,2b

xa=-顶点坐标是24（,

24bacbaa

--②当0a

>时,抛物线开口向上,函数在（,]2ba-∞-

上递减,在[,2ba-+∞上递增,当2b

=-时,

min4（4acbfxa

;当0a<时,抛物线开口向下,函数在（,]2ba-∞-

上递增,在[,2b

-+∞上递减,当2b

xa=-时,2max4（4acbfxa

③二次函数

2（（0fxaxbxca=++≠当240bac∆=->时,图象与x轴有两个交点

M1（x1,0,M2（x2,0,|M1M2|=|x1-x2|=（4）一元二次方程ax2D．|a|+bx+c=0（a¹0根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程ax2+bx+c=0（a¹0的两实根为x1,x2，且x1£x2．令f（x=ax2+bx+c，从以下四个方=-b2a③判别式：

D④端点函数值符号．面来分析此类问题：

①开口方向：

a②对称轴位置：

x①k＜x1≤x2Ûyya>0Of（k>0·x=-b2akx2x=-b2aOkx1x·x1x2xa<0f（k<0②x1≤x2＜kÛyyf（k>0·a>0Ox=-Ob2ax1x2kx2·kxb2ax1a<0xx=-③x1＜k＜x2f（k<0Ûyaf（k＜0ya>0·f（k>0x2xa<0Ok·x1x2xx1Okf（k<0④k1＜x1≤x2＜k2Û6

y··a>0yf（k1>0f（k>02x1x2k2xk1O·x=-b2aOk1x1x2k2·xx=-b2af（k1<0a<0f（k2<0f（k1f（k2<0，并同时考虑f（k1=0或f（k2=0这两⑤有且仅有一个根x1（或x2）满足k1＜x1（或x2）＜k2种情况是否也符合Ûy·a>0yf（k1>0·f（k1>0x1k2·Ok1x2xOx1k1a<0x2k2·xf（k2<0⑥k1＜x1＜k2≤p1＜x2＜p2此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数设f（k2<0Ûf（x=ax2+bx+c（a¹0在闭区间[p,q]上的最值，最小值为m，令x0f（x在区间[p,q]上的最大值为M=1（p+q．2③若-（Ⅰ）当a①若->0时（开口向上）②若b0p£-bb£q，则m=f（-2a2ab>q，则m=f（q2aa>0yx=-bf（qpO2aa>0yx=-f（pqxb2ayx=-f（qOf（-b2af（pqxb2aqpOfbf（（p-2apxb2aff（-（qb£x0，则M=f（q①若-2ayx=-ba>02ab>x0，则M=f（p②-2ayba>0x=-fOfq（px0gp（q72ax（q0pgfqOxxb2abf（（p-2aff（-

<0时（开口向下bq，则M=f（q2aa<0ff（-a<0f（-yb2af（-yb2ayb2af（pOfq（pxO（qqpxOpbx=-（q2apbx=-（q2aqx=-b2axff（pf①若-b£x0，则m=f（q2aa<0f（-②-b>x0，则m=f（p．2aa<0ff（-yb2ayb2af（pO（qx0gpbx=-（q2aqxx0pgf（pOqx=-b2axf8

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