三角形四心与向量课件doc.docx
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三角形四心与向量课件doc
三角形的四心与平面向量总结
三角形“四心”向量形式的充要条件应用
知识点总结
1．O是ABC的重心OAOBOC0
;
若O是ABC的重心，则
S
1
BOCSSS
AOCAOB
3
ABC
故OAOBOC0;
PGPAPBPCG为ABC的重心.
1（）
3
2．O是ABC的垂心OAOBOBOCOCOA
;
若O是ABC（非直角三角形）的垂心，则SSStanAtanBtanC
BOC：
：
：
：
AOCAOB
故tanAOAtanBOBtanCOC0
3．O是ABC的外心|OA||OB||OC|（或
222
OAOBOC）
若O是ABC的外心则SSSsinBOCsinAOCsinAOBsin2A:
sin2B:
sin2C
BOC：
：
：
：
AOCAOB
故sin2AOAsin2BOBsin2COC0
4．O是内心ABC的充要条件是
OA（
|
AB
AB
|
AC
AC
）OB（
|
BA
BA
|
|
BC
BC
）
|
OC
（
|
CA
CA
|
|
CB
CB
|
）
0
引进单位向量，使条件变得更简洁。
如果记AB,BC,CA的单位向量为e1,e2,e3，则刚才O是ABC内心的充要条件
可以写成OA（e1e3）OB（e1e2）OC（e2e3）0
，O是ABC内心的充要条件也可以是
a。
若O是ABC的内心，则SSSabc
OAbOBcOC0
BOC：
：
：
：
AOCAOB
故aOAbOBcOC0或sinAOAsinBOBsinCOC0;
|AB|PC|BC|PA|CA|PB0P是ABC的内心;
A
ABAC
向量（）（0）所在直线过ABC的内心（是BAC的角平分线所在直
|AB||AC|
e
1
e
2
C
B线）；
范例
（一）将平面向量与三角形内心结合考查
P
ABAC
例1．O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足OPOA（），0,则
ABAC
P点的轨迹一定通过ABC的（）
（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心
AB
是向量AB的单位向量设AB与AC方向上的单位向量分别为e1和e2，又OPOAAP，则原
解析：
因为
AB
式可化为AP（e1e2），由菱形的基本性质知AP平分BAC，那么在ABC中，AP平分BAC，则知选B.
（二）将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”
例2．H是△ABC所在平面内任一点，HAHBHBHCHCHA点H是△ABC的垂心.
由HAHBHBHCHB（HCHA）0HBAC0HBAC,
同理HCAB，HABC.故H是△ABC的垂心.（反之亦然（证略））
-1-
例3.（湖南）P是△ABC所在平面上一点，若PAPBPBPCPCPA，则P是△ABC的（D）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
解析:
由PAPBPBPC得PAPBPBPC0.即PB（PAPC）0,即PBCA0
则PBCA,同理PABC,PCAB所以P为ABC的垂心.故选D.
（三）将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”
例4．G是△ABC所在平面内一点，GAGBGC=0点G是△ABC的重心.
证明作图如右，图中GBGCGE
连结BE和CE，则CE=GB，BE=GCBGCE为平行四边形D是BC的中点，AD为BC边上
的中线.
将GBGCGE代入GAGBGC=0，
得GAEG=0GAGE2GD，故G是△ABC的重心.（反之亦然（证略））
1
例5．P是△ABC所在平面内任一点.G是△ABC的重心PG（PAPBPC）.
3
证明PGPAAGPBBGPCCG3PG（AGBGCG）（PAPBPC）
∵G是△ABC的重心∴GAGBGC=0AGBGCG=0，即3PGPAPBPC
1
由此可得PG（PAPBPC）.（反之亦然（证略））
3
例6若O为ABC内一点，OAOBOC0，则O是ABC的（）
A．内心B．外心C．垂心D．重心
解析：
由OAOBOC0得OBOCOA，如图以OB、OC为相邻两边构作平行四边形，则OBOCOD，由
平行四边形性质知
1
OEOD，OA2OE，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D。
2
（四）将平面向量与三角形外心结合考查
例7若O为ABC内一点，OAOBOC，则O是ABC的（）
A．内心B．外心C．垂心D．重心
解析：
由向量模的定义知O到ABC的三顶点距离相等。
故O是ABC的外心，选B。
（五）将平面向量与三角形四心结合考查
例8．已知向量
OP，OP2，OP3满足条件OP1+OP2+OP3=0，|OP1|=|OP2|=|OP3|=1，
1
求证△P1P2P3是正三角形.（《数学》第一册（下），复习参考题五B组第6题）
证明由已知OP1+OP2=-OP3，两边平方得OP1·OP2=
1
2
，
同理OP2·OP3=OP3·OP1=
1
2
，
∴|P1P2|=|P2P3|=|P3P1|=3，从而△P1P2P3是正三角形.
反之，若点O是正三角形△P
1P2P3的中心，则显然有OP1+OP2+OP3=0且|OP1|=|OP2|=|OP3|.
即O是△ABC所在平面内一点，
OP+OP2+OP3=0且|OP1|=|OP2|=|OP3|点O是正△P1P2P3的中心.
1
例9．在△ABC中，已知Q、G、H分别是三角形的外心、重心、垂心。
求证：
Q、G、H三点共线，且QG:
GH=1:
2。
【证明】：
以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系。
设A（0,0）、B（x1,0）、C（x2,y2），D、E、F分别
为AB、BC、AC的中点，则有：
xxxyxyx
D（1,0）、（12,2）、（2,2）由题设可设1EFQ（,y）、H（x,y）,324
222222
G
xxy
122
（,）
33
xxy
212
AH（x,y），QF（,y）
243
222
y
C（x2,y2）
BC（xx,y）
212
-2-
FHE
G
AHBC
AHBCx（xx）yy0
22124
y
4
x（xx）
221
y
2
QFAC
xxy
212
QFACx（）y（y）0
223
222
y
3
x（xx）y
2212
2y2
2
x2xx3x（xx）y
1212212
QH（x,yy）,）
（
243
22y
22
2
xxxy2xxyx（xx）y
21122122212
QG（,y）,）
（3
323632y2
2
2xx3x（xx）y12xx3x（xx）y
212212212212
（,）（,）
66y6322y2
22
1
=QH3
即QH=3QG，故Q、G、H三点共线，且QG：
GH=1：
2
例10．若O、H分别是△ABC的外心和垂心.求证OHOAOBOC.
证明若△ABC的垂心为H，外心为O，如图.
连BO并延长交外接圆于D，连结AD，CD.
∴ADAB，CDBC.又垂心为H，AHBC，CHAB，
∴AH∥CD，CH∥AD，
∴四边形AHCD为平行四边形，
∴AHDCDOOC，故OHOAAHOAOBOC.著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心、重心、垂心的位置关系：
（1）三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线”；
（2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外——垂连线的第一个三分点，即重心到垂
心的距离是重心到外心距离的2倍。
“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题.
1
例11．设O、G、H分别是锐角△ABC的外心、重心、垂心.求证OGOH
3
1
证明按重心定理G是△ABC的重心OG（OAOBOC）
3
1
按垂心定理OHOAOBOC由此可得OGOH
3
.
补充练习
1．已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足
OP=
1
3
（
1
2
1
OA+OB
2
+2OC）,则点P一定为三角形ABC的（B）
A.AB边中线的中点B.AB边中线的三等分点（非重心）
C.重心D.AB边的中点
1.B取AB边的中点M，则OAOB2OM，由OP=
1
3
（
1
2
1
OA+OB
2
+2OC）可得3OP3OM2MC，
2，即点P为三角形中AB边上
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