湖南师大附中高一上学期第二次阶段性检测数学试题.docx
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湖南师大附中高一上学期第二次阶段性检测数学试题
数学
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知直线的倾斜角为
，在
轴上的截距为2，则此直线方程为（）
A．
B．
C．
D．
2．利用斜二侧画法画水平放置的平面图形的直观图，得到下列结论，其中正确的是（）
A．正三角形的直观图仍然是正三角形
B．平行四边形的直观图一定是平行四边形
C．正方形的直观图是正方形
D．圆的直观图是圆
3．设
是两个不同的平面，
是一条直线，以下命题正确的是（）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
4．已知函数
，则
的值是（）
A．6B．5C．
D．
5．一个几何体的三视图及尺寸如下图所示，其中正视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，该几何体的表面积是（）
A．
B．
C．
D．
6．若直线
与直线
相交，且交点在第一象限，则直线
的倾斜角的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
7．若实数
满足
，则
关于
的函数的图象大致是（）
A．
B．
C．
D．
8．已知某三棱锥的三视图如图所示，则此三棱锥的外接球的表面积为（）
A．
B．
C．
D．
9．已知定义在
上的函数
满足：
对任意正实数
，都有
，且当
时恒有
，则下列结论正确的是（）
A．
在
上是减函数
B．
在
上是增函数
C．
在
上是减函数，在
上是增函数
D．
在
上是增函数，在
上是减函数
10．把正方形
沿对角线
折起，当以
四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线
和平面
所成的角的大小为（）
A．
B．
C．
D．
11．如下图，动点
在正方体
的对角线
上．过点
作垂直于平面
的直线，与正方体表面相交于
．设
，
，则函数
的图象大致是（）
A．
B．
C．
D．
12．若函数
的图象和直线
无交点，给出下列结论：
①方程
一定没有实数根；
②若
，则必存在实数
，使
；
③若
，则不等式
对一切实数
都成立；
④函数
的图象与直线
也一定没有交点．
其中正确的结论个数有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：
本大题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．无论
为何值，直线
恒过一定点
，则点
的坐标为．
14．如图，长方体
中，
，
，点
分别是
、
、
的中点，则异面直线
与
所成的角是．
15．已知函数
，其中
为自然对数的底数，若关于
的方程
有且只有一个实数根，则实数
的取值范围是．
16．对定义在区间
上的函数
，若存在常数
，使对任意的
，都有
成立，则称
为区间
上的“
阶增函数”．已知
是定义在
上的奇函数，且当
，
．若
为
上的“4阶增函数”，则实数
的取值范围是．
三、解答题：
本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知直线
，
．
（1）若
，求实数
的值；
（2）当
，求直线
与
之间的距离．
18．一只小船以
的速度由南向北匀速驶过湖面，在离湖面高20米的桥上，一辆汽车由西向东以
的速度前进（如图），现在小船在水平面上的
点以南的40米处，汽车在桥上
点以西的30米处（其中
水平面），请画出合适的空间图形并求小船与汽车间的最短距离．（不考虑汽车与小船本身的大小）．
19．如图，已知三棱柱
的所有棱长都相等，且侧棱垂直于底面，由
沿棱柱侧面经过棱
到点
的最短路线长为
，设这条最短路线与
的交点为
．
（1）求三棱柱
的体积；
（2）证明：
平面
平面
．
20．已知
是定义在
上的奇函数，且当
时，
．
（1）求
的函数解析式；
（2）若对任意的
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围．
21．如图（甲），在直角梯形
中，
，
，
，且
，
，
、
、
分别为
、
、
的中点，现将
沿
折起，使平面
平面
，如图（乙）．
（1）求证：
平面
平面
；
（2）若
，求二面角
的余弦值．
22．已知函数
，
且
．
（1）当
时，设集合
，求集合
；
（2）在
（1）的条件下，若
，且满足
，求实数
的取值范围；
（3）若对任意的
，存在
，使不等式
恒成立，求实数
的取值范围．
试卷答案
一、选择题
1-5:
CBCAD6-10:
CBCAC11、12：
BC
二、填空题
13．
14．
15．
16．
三、解答题
17．【解析】
（1）由
知
，
解得
；
（2）当
时，有
，解得
，
此时，
的方程为：
，
的方程为：
即
，
则它们之间的距离为
．
18．【解析】设经过时间
汽车在
点，船在
点（如图），
则
，
，
，
且有
，
，
．
设小船所在平面为
确定的平面为
，记
，
由
得
．
又
水平面，即
．
作
，则
．连接
，则
．
再由
，
得
，
所以
，
所以
时
最短，最短距离为
．
19．【解析】
（1）如图，将侧面
绕棱
旋转
使其与侧面
在同一平面上，点
运动到点
的位置，连接
，则
就是由点
沿棱柱侧面经过棱
到点
的最短路线．
设棱柱的棱长为
，则
，
∵
，∴
为
的中点，
在
中，由勾股定理得
，
即
解得
，
∵
，
∴
．
（2）设
与
的交点为
，连结
，
∵
，
∴
，∴
，
∵
，∴
平面
．
又∵
平面
，∴平面
平面
．
20．【解析】
（1）因为
是定义在
上的奇函数，所以当
时，
，
，又
，所以
的函数解析式为
．
（2）当
时，
，
在
上是增函数，因为
是定义在
上的奇函数，
在
上是增函数，所以
恒成立，
恒成立，
由于函数
在
上单调递增，
所以
，即
，即
21．【解析】
（1）证明：
由图（甲）结合已知条件知四边形
为正方形，如图（乙），
∵
分别为
的中点，∴
．
∵
，∴
．
∵
面
，
面
．∴
面
．
同理可得
面
，
又∵
∴平面
平面
．
（2）
这时
，
从而
，
过点
作
于
，连结
．
∵
，∴
面
．
∵
面
，∴
∴
面
，
∵
面
，∴
，
∴
是二面角
的平面角，
由
得
，
∴
，
在
中
．
22．【解析】
（1）由
时，由
得
，即
，解得
，所以
．
（2）由
得
，所以
，
可转化为：
在
上恒成立，解得实数
的取值范围为
．
（3）对任意的
，存在
，使不等式
恒成立，等价于
，
时，
．
当
时，由复合函数的单调性可知
为
上的减函数，
为
上的增函数，
等价于
，即
，解得
；
当
时，
为
上的增函数，
为
上的减函数，
等价于
，即
，解得
．
综上，实数
的取值范围为
．
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