高考数学复习同步练习 第2讲一元二次不等式及其解法.docx

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高考数学复习同步练习第2讲一元二次不等式及其解法

第2讲一元二次不等式及其解法

一、选择题

1．不等式

≤0的解集是（　　）

A．（－∞，－1）∪（－1,2]　　　　B．（－1,2]

C．（－∞，－1）∪[2，＋∞）D．[－1,2]

解析∵

≤0⇔

⇔

∴x∈（－1,2]．

答案B

2.若集合

，则

（）

A.

B.

C.

D.

解析因为集合

所以

选B.

答案B

3．设a>0，不等式－c

A．1∶2∶3B．2∶1∶3

C．3∶1∶2D．3∶2∶1

解析　∵－c0，∴－

.

∵不等式的解集为{x|－2

∴

∴

∴a∶b∶c＝a∶

∶

＝2∶1∶3.

答案　B

4．不等式（x2－2）log2x>0的解集是（　　）．

A．（0,1）∪（

，＋∞）B．（－

，1）∪（

，＋∞）

C．（

，＋∞）D．（－

，

）

解析　原不等式等价于

或

∴x>

或0

，＋∞）．

答案　A

5．已知二次函数f（x）＝ax2－（a＋2）x＋1（a∈Z），且函数f（x）在（－2，－1）上恰有一个零点，则不等式f（x）>1的解集为（　　）．

A．（－∞，－1）∪（0，＋∞）B．（－∞，0）∪（1，＋∞）

C．（－1,0）D．（0,1）

解析　∵f（x）＝ax2－（a＋2）x＋1，Δ＝（a＋2）2－4a＝a2＋4>0，

∴函数f（x）＝ax2－（a＋2）x＋1必有两个不同的零点，

又f（x）在（－2，－1）上有一个零点，则f（－2）f（－1）<0，

∴（6a＋5）（2a＋3）<0，∴－

，又a∈Z，

∴a＝－1，不等式f（x）>1即为－x2－x>0，

解得－1

答案　C

6．设函数f（x）＝

若f（－4）＝f（0），f（－2）＝0，则关于x的不等式f（x）≤1的解集为（　　）．

A．（－∞，－3]∪[－1，＋∞）B．[－3，－1]

C．[－3，－1]∪（0，＋∞）D．[－3，＋∞）

解析　当x≤0时，f（x）＝x2＋bx＋c且f（－4）＝f（0），故其对称轴为x＝－

＝－2，∴b＝4.又f（－2）＝4－8＋c＝0，∴c＝4，当x≤0时，令x2＋4x＋4≤1有－3≤x≤－1；当x＞0时，f（x）＝－2≤1显然成立，故不等式的解集为

[－3，－1]∪（0，＋∞）．

答案　C

二、填空题

7．已知关于x的不等式ax2＋2x＋c>0的解集为

，则不等式－cx2＋2x－a>0的解集为________．

解析　由ax2＋2x＋c>0的解集为

知a<0，且－

，

为方程ax2＋2x＋c＝0的两个根，由根与系数的关系得－

＋

＝－

，－

×

＝

，解得a＝－12，c＝2，∴－cx2＋2x－a>0，即2x2－2x－12<0，其解集为（－2,3）．

答案　（－2,3）

8．已知函数f（x）＝

则满足不等式f（1－x2）＞f（2x）的x的取值范围是________．

解析　由函数f（x）的图象可知（如下图），满足f（1－x2）＞f（2x）分两种情况：

①

⇒0≤x＜

－1.

②

⇒－1＜x＜0.

综上可知：

－1＜x＜

－1.

答案　（－1，

－1）

9．已知函数f（x）＝－x2＋2x＋b2－b＋1（b∈R），若当x∈[－1,1]时，f（x）>0恒成立，则b的取值范围是________．

解析　依题意，f（x）的对称轴为x＝1，且开口向下，

∴当x∈[－1,1]时，f（x）是增函数．

若f（x）>0恒成立，则f（x）min＝f（－1）＝－1－2＋b2－b＋1>0，即b2－b－2>0，∴（b－2）（b＋1）>0，∴b>2或b<－1.

答案　（－∞，－1）∪（2，＋∞）

10．设a∈R，若x>0时均有[（a－1）x－1]（x2－ax－1）≥0，则a＝________.

解析　显然a＝1不能使原不等式对x>0恒成立，故a≠1且当x1＝

，a≠1时原不等式成立．对于x2－ax－1＝0，设其两根为x2，x3，且x20.当x>0时，原不等式恒成立，故x1＝

满足方程x2－ax－1＝0，代入解得a＝

或a＝0（舍去）．

答案　

三、解答题

11．设二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c，函数F（x）＝f（x）－x的两个零点为m，n（m

（1）若m＝－1，n＝2，求不等式F（x）>0的解集；

（2）若a>0，且0

，比较f（x）与m的大小．

解　

（1）由题意知，F（x）＝f（x）－x＝a（x－m）（x－n），

当m＝－1，n＝2时，不等式F（x）>0，即a（x＋1）（x－2）>0.

当a>0时，不等式F（x）>0的解集为{x|x<－1或x>2}；当a<0时，不等式F（x）>0的解集为{x|－1

（2）f（x）－m＝F（x）＋x－m＝a（x－m）（x－n）＋x－m＝（x－m）（ax－an＋1），

∵a>0，且0

，∴x－m<0,1－an＋ax>0.

∴f（x）－m<0，即f（x）

12．已知不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}，

（1）求a，b；

（2）解不等式ax2－（ac＋b）x＋bc<0.

解　

（1）因为不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}，所以x1＝1与x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个实数根，且b>1.

由根与系数的关系，得

解得

（2）由

（1）知不等式ax2－（ac＋b）x＋bc<0为x2－（2＋c）x＋2c<0，即（x－2）（x－c）<0.

①当c>2时，不等式（x－2）（x－c）<0的解集为{x|2

综上所述：

当c>2时，不等式的解集为{x|2

当c<2时，不等式的解集为{x|c

当c＝2时，不等式的解集为∅.

13．已知抛物线y＝（m－1）x2＋（m－2）x－1（x∈R）．

（1）当m为何值时，抛物线与x轴有两个交点？

（2）若关于x的方程（m－1）x2＋（m－2）x－1＝0的两个不等实根的倒数平方和不大于2，求m的取值范围．

解　

（1）根据题意，m≠1且Δ>0，

即Δ＝（m－2）2－4（m－1）（－1）>0，得m2>0，

所以m≠1且m≠0.

（2）在m≠0且m≠1的条件下，

因为

＋

＝

＝m－2，

所以

＋

＝

2－

＝（m－2）2＋2（m－1）≤2.

得m2－2m≤0，所以0≤m≤2.

所以m的取值范围是{m|0

14．设函数f（x）＝a2lnx－x2＋ax，a＞0.

（1）求f（x）的单调区间；

（2）求所有的实数a，使e－1≤f（x）≤e2对x∈[1，e]恒成立．

注　e为自然对数的底数．

解　

（1）因为f（x）＝a2lnx－x2＋ax，其中x＞0，

所以f′（x）＝

－2x＋a＝－

.

由于a＞0，所以f（x）的增区间为（0，a），减区间为（a，＋∞）．

（2）由题意得，f

（1）＝a－1≥e－1，即a≥e.

由

（1）知f（x）在[1，e]内单调递增，

要使e－1≤f（x）≤e2，对x∈[1，e]恒成立，

只要

解得a＝e.

第3讲二元一次不等式（组）与简单的线性

规划问题

一、选择题

1．不等式x－2y＞0表示的平面区域是（　　）．

解析　将点（1,0）代入x－2y得1－2×0＝1＞0.

答案　D

2．设实数x，y满足不等式组

若x，y为整数，则3x＋4y的最小值是（　　）．

A．14B．16C．17D．19

解析　线性区域边界上的整点为（3,1），因此最符合条件的整点可能为（4,1）或（3,2），对于点（4,1），3x＋4y＝3×4＋4×1＝16；对于点（3,2），3x＋4y＝3×3＋4×2＝17，因此3x＋4y的最小值为16.

答案　B

3．若不等式组

表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是（　　）．

A．（－∞，5）B．[7，＋∞）

C．[5,7）D．（－∞，5）∪[7，＋∞）

解析　画出可行域，知当直线y＝a在x－y＋5＝0与y轴的交点（0,5）和x－y＋5＝0与x＝2的交点（2,7）之间移动时平面区域是三角形．故5≤a<7.

答案　C

4．设实数x，y满足条件

若目标函数z＝ax＋by（a＞0，

b＞0）的最大值为12，则

＋

的最小值为（　　）．

A.

B.

C.

D．4

解析　由可行域可得，当x＝4，y＝6时，目标函数z＝ax＋by取得最大值，∴4a＋6b＝12，即

＋

＝1.∴

＋

＝

·

＝

＋

＋

≥

＋2＝

.

答案　A

5．实数x，y满足

若目标函数z＝x＋y取得最大值4，则实数a的值为（　　）．

A．4B．3C．2D.

解析　作出可行域，由题意可知可行域为△ABC内部及边界，y＝－x＋z，则z的几何意义为直线在y轴上的截距，将目标函数平移可知当直线经过点A时，目标函数取得最大值4，此时A点坐标为（a，a），代入得4＝a＋a＝2a，所以a＝2.

答案　C

6．某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（　　）．

A．1800元B．2400元C．2800元D．3100元

解析　设某公司生产甲产品x桶，生产乙产品y桶，获利为z元，则x，y满足的线性约束条件为

目标函数z＝300x＋400y.

作出可行域，如图中四边形OABC的边界及其内部整点．作直线l0：

3x＋4y＝0，平移直线l0经可行域内点B时，z取最大值，由

得B（4,4），满足题意，所以zmax＝4×300＋4×400＝2800.

答案　C

二、填空题

7．若x，y满足约束条件

则z＝3x－y的最小值为________．

解析　画出可行域，如图所示，将直线y＝3x－z移至点A（0,1）处直线在y轴上截距最大，zmin＝3×0－1＝－1.

答案　－1

8．若x，y满足约束条件

则x－y的取值范围是________．

解析　记z＝x－y，则y＝x－z，所以z为直线y＝x－z在y轴上的截距的相反数，画出不等式组表示的可行域如图中△ABC区域所示．结合图形可知，当直线经过点B（1,1）时，x－y取得最大值0，当直线经过点C（0,3）时，x－y取得最小值－3.

答案　[－3,0]

9．设实数x、y满足

则

的最大值是________．

解析　不等式组确定的平面区域如图阴影部分．

设

＝t，则y＝tx，求

的最大值，即求y＝tx的斜率的最大值．显然y＝tx过A点时，t最大．

由

解得A

.

代入y＝tx，得t＝

.所以

的最大值为

.

答案　

10．设m>1，在约