第九章概率.docx

第九章概率.docx

《第九章概率.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第九章概率.docx（40页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

第九章概率

第九章概率

第一节

随机事件的概率

1．事件的相关概念

2．频数、频率和概率

（1）频数、频率：

在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn（A）＝为事件A出现的频率．

（2）概率：

对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn（A）稳定在某个常数上，把这个常数记作P（A），称为事件A的概率．

3．事件的关系与运算

名称

条件

结论

符号表示

包含关系

A发生⇒B发生

事件B包含事件A（事件A包含于事件B）

B⊇A（或A⊆B）

相等关系

若B⊇A且A⊇B

事件A与事件B相等

A＝B

并（和）事件

A发生或B发生

事件A与事件B的并事件（或和事件）

A∪B（或A＋B）

交（积）事件

A发生且B发生

事件A与事件B的交事件（或积事件）

A∩B（或AB）

互斥事件

A∩B为不可能事件

事件A与事件B互斥

A∩B＝∅

对立事件

A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件

事件A与事件B互为对立事件

A∩B＝∅，P（A∪B）＝1

4．概率的几个基本性质

（1）概率的取值范围：

0≤P（A）≤1.

（2）必然事件的概率为1.

（3）不可能事件的概率为0.

（4）概率的加法公式：

如果事件A与事件B互斥，则P（A∪B）＝P（A）＋P（B）．

（5）对立事件的概率：

若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件，P（A∪B）＝1，P（A）＝1－P（B）．

[小题体验]

1．（教材习题改编）某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次中10环，有3次中9环，有4次中8环，有1次未打靶．假设此人射击1次，则其中靶的概率约为____________；中10环的概率约为________．

解析：

中靶的频数为9，试验次数为10，所以中靶的频率为＝0.9，所以此人射击1次，中靶的概率约为0.9.同理得中10环的概率约为0.2.

答案：

0.9　0.2

2．（教材习题改编）如果从不包括大、小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心的概率是，取到方块的概率是，则取到黑色牌的概率是________．

答案：

3．（教材习题改编）给出下列三个命题，其中正确命题有________个．

①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；

②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是；

③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．

解析：

①错，不一定是10件次品；②错，是频率而非概率；③错，频率不等于概率，这是两个不同的概念．

答案：

0

1．易将概率与频率混淆，频率随着试验次数变化而变化，而概率是一个常数．

2．互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．

[小题纠偏]

1．甲：

A1，A2是互斥事件；乙：

A1，A2是对立事件，那么（　　）

A．甲是乙的充分但不必要条件

B．甲是乙的必要但不充分条件

C．甲是乙的充要条件

D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件

解析：

选B　两个事件是对立事件，则它们一定互斥，反之不一定成立．

2．在运动会火炬传递活动中，有编号为1,2,3,4,5的5名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号相连的概率为（　　）

A.　　　　　　　　　　　B.

C.D.

解析：

选A　从1,2,3,4,5中任取三个数的结果有10种，其中选出的火炬手的编号相连的事件有：

（1,2,3），（2,3,4），（3,4,5），∴选出的火炬手的编号相连的概率为P＝.

[题组练透]

1．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（　　）

A．至多有一次中靶　　　　B．两次都中靶

C．只有一次中靶D．两次都不中靶

解析：

选D　事件“至少有一次中靶”包括“中靶一次”和“中靶两次”两种情况．由互斥事件的定义，可知“两次都不中靶”与之互斥．

2．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是，那么概率是的事件是（　　）

A．至多有一张移动卡

B．恰有一张移动卡

C．都不是移动卡

D．至少有一张移动卡

解析：

选A　至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”、“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件，故选A.

3．对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一次击中飞机}，D＝{至少有一次击中飞机}，其中彼此互斥的事件是________，互为对立事件的是________．

解析：

设I为对飞机连续射击两次所发生的所有情况，因为A∩B＝∅，A∩C＝∅，B∩C＝∅，B∩D＝∅，故A与B，A与C，B与C，B与D为互斥事件．而B∩D＝∅，B∪D＝I，故B与D互为对立事件．

答案：

A与B，A与C，B与C，B与D　B与D

[谨记通法]

判断互斥、对立事件的2种方法

（1）定义法

判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．

（2）集合法

①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．

②事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．

[题组练透]

1．在投掷一枚硬币的试验中，共投掷了100次，“正面朝上”的频数为51，则“正面朝上”的频率为（　　）

A．49　　　　　　　　　B．0.5

C．0.51D．0.49

解析：

选C　由题意，根据事件发生的频率的定义可知，“正面朝上”的频率为＝0.51.

2．（2015·北京高考）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“”表示购买，“”表示未购买.

　　　商品

顾客人数　　　

甲

乙

丙

丁

100

217

200

300

85

98

（1）估计顾客同时购买乙和丙的概率；

（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；

（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？

解：

（1）从统计表可以看出，在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为＝0.2.

（2）从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为＝0.3.

（3）与

（1）同理，可得：

顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为＝0.2，

顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为＝0.6，

顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为＝0.1，

所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．

[谨记通法]

1．概率与频率的关系

频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．

2．随机事件概率的求法

利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．

[提醒]　概率的定义是求一个事件概率的基本方法．

[典例引领]

某战士射击一次，问：

（1）若中靶的概率为0.95，则不中靶的概率为多少？

（2）若命中10环的概率是0.27，命中9环的概率为0.21，命中8环的概率为0.24，则至少命中8环的概率为多少？

不够9环的概率为多少？

解：

（1）设中靶为事件A，则不中靶为.

则由对立事件的概率公式可得，

P（）＝1－P（A）＝1－0.95＝0.05.

即不中靶的概率为0.05.

（2）设命中10环为事件B，命中9环为事件C，命中8环为事件D，由题意知P（B）＝0.27，P（C）＝0.21，P（D）＝0.24.

记至少命中8环为事件E，

则P（E）＝P（B＋C＋D）＝P（B）＋P（C）＋P（D）

＝0.27＋0.21＋0.24＝0.72.

故至少命中8环的概率为0.72.

记至少命中9环为事件F，则不够9环为，

则P（F）＝P（B＋C）＝P（B）＋P（C）＝0.27＋0.21＝0.48.

则P（）＝1－P（F）＝1－0.48＝0.52.

即不够9环的概率为0.52.

[由题悟法]

求复杂互斥事件概率的2种方法

（1）直接求法：

将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的和，运用互斥事件概率的加法公式计算．

（2）间接求法：

先求此事件的对立事件，再用公式P（A）＝1－P（）求得，即运用逆向思维（正难则反），特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法就会较简便．

[提醒]　应用互斥事件概率的加法公式，一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥，然后求出各事件发生的概率，再求和（或差）．

[即时应用]

（2017·洛阳模拟）经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如下：

排队人数

0

1

2

3

4

5人及5人以上

概率

0.1

0.16

0.3

0.3

0.1

0.04

求：

（1）至多2人排队等候的概率是多少？

（2）至少3人排队等候的概率是多少？

解：

记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F互斥．

（1）记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A∪B∪C，

所以P（G）＝P（A∪B∪C）

＝P（A）＋P（B）＋P（C）

＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.

（2）法一：

记“至少3人排队等候”为事件H，则

H＝D∪E∪F，

所以P（H）＝P（D∪E∪F）

＝P（D）＋P（E）＋P（F）

＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.

法二：

记“至少3人排队等候”为事件H，

则其对立事件为事件G，

所以P（H）＝1－P（G）＝0.44.

一抓基础，多练小题做到眼疾手快

1．甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙不输的概率是（　　）

A.　　　　　　　　　　　B.

C.D.

解析：

选A　乙不输包含两种情况：

一是两人和棋，二是乙获胜，故所求概率为＋＝.

2．一个盒子内装有红球、白球、黑球三种球，其数量分别为3,2,1，从中任取两球，则互斥而不对立的两个事件为（　　）

A．至少有一个白球；都是白球

B．至少有一个白球；至少有一个红球

C．恰有一个白球；一个白球一个黑球

D．至少有一个白球；红球、黑球各一个

解析：

选D　红球、黑球各取一个，则一定取不到白球，故“至少有一个白球”“红球、黑球各一个”为互斥事件，又任取两球还包含“两个红球”这个事件，故不是对立事件．

3．掷一个骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A＋发生的概率为（　　）

A.B.

C.D.

解析：

选C　掷一个骰子的试验有6种可能结果，依题意P（A）＝＝，P（B）＝＝，

所以P（）＝1－P（B）＝1－＝，

因为表示“出现5点或6点”的事件，因此事件A与互斥，从而P（A＋）＝P（A）＋P（）＝＋＝.

4．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160cm的概率为0.2，该同学的身高在[160,175]cm的概率为0.5，那么该同学的身高超过175cm的概率为________．

解析：

由对立事件的概率可求该同学的身高超过175cm的概率为1－0.2－0.5＝0.3.

答案：

0.3

5．如果事件A与B是互斥事件，且事件A∪B发生的概率是0.64，事件B发生的概率是事件A发生的概率的3倍，则事件A发生的概率为________．

解析：

设P（A）＝x，P（B）＝3x，

∴P（A∪B）＝P（A）＋P（B）＝x＋3x＝0.64.

∴P（A）＝x＝0.16.

答案：

0.16

二保高考，全练题型做到高考达标

1．（2017·石家庄模拟）某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽检一件是正品（甲级）的概率为（　　）

A．0.95B．0.97

C．0.92D．0.08

解析：

选C　记抽检的产品是甲级品为事件A，是乙级品为事件B，是丙级品为事件C，这三个事件彼此互斥，因而所求概率为P（A）＝1－P（B）－P（C）＝1－5%－3%＝92%＝0.92.

2．袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则下面事件是互斥事件但不是对立事件的为（　　）

A．恰有1个白球和全是白球；

B．至少有1个白球和全是黑球；

C．至少有1个白球和至少有2个白球；

D．至少有1个白球和至少有1个黑球．

解析：

选A　由题意可知，事件C、D均不是互斥事件；A、B为互斥事件，但B又是对立事件，满足题意只有A，故选A.

3．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是（　　）

A.B.

C.D．1

解析：

选C　设“从中取出2粒都是黑子”为事件A，“从中取出2粒都是白子”为事件B，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C，则C＝A∪B，且事件A与B互斥．所以P（C）＝P（A）＋P（B）＝＋＝，即任意取出2粒恰好是同一色的概率为.

4．抛掷一枚均匀的骰子（骰子的六个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点）一次，观察掷出向上的点数，设事件A为掷出向上为偶数点，事件B为掷出向上为3点，则P（A∪B）＝（　　）

A.B.

C.D.

解析：

选B　事件A为掷出向上为偶数点，所以P（A）＝.

事件B为掷出向上为3点，所以P（B）＝，

又事件A，B是互斥事件，事件（A∪B）为事件A，B有一个发生的事件，所以P（A∪B）＝P（A）＋P（B）＝.

5．设条件甲：

“事件A与事件B是对立事件”，结论乙：

“概率满足P（A）＋P（B）＝1”，则甲是乙的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

解析：

选A　若事件A与事件B是对立事件，则A∪B为必然事件，再由概率的加法公式得P（A）＋P（B）＝1.设掷一枚硬币3次，事件A：

“至少出现一次正面”，事件B：

“3次出现正面”，则P（A）＝，P（B）＝，满足P（A）＋P（B）＝1，但A，B不是对立事件．

6．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P（A）＝0.65，P（B）＝0.2，P（C）＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为________．

解析：

“抽到的不是一等品”与事件A是对立事件，∴所求概率为1－P（A）＝0.35.

答案：

0.35

7．袋中装有9个白球，2个红球，从中任取3个球，则①恰有1个红球和全是白球；

②至少有1个红球和全是白球；

③至少有1个红球和至少有2个白球；

④至少有1个白球和至少有1个红球．

在上述事件中，是对立事件的为________（填序号）．

解析：

至少有1个红球和全是白球不同时发生，且一定有一个发生，所以②中两事件是对立事件．

答案：

②

8．一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为，取得两个绿球的概率为，则取得两个同颜色的球的概率为________；至少取得一个红球的概率为________．

解析：

由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，取得两个同色球，只需两互斥事件有一个发生即可，因而取得两个同色球的概率为P＝＋＝.

由于事件A“至少取得一个红球”与事件B“取得两个绿球”是对立事件，则至少取得一个红球的概率为

P（A）＝1－P（B）＝1－＝.

答案：

9．近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：

吨）：

“厨余垃圾”箱

“可回收物”箱

“其他垃圾”箱

厨余垃圾

400

100

100

可回收物

30

240

30

其他垃圾

20

20

60

（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率；

（2）试估计生活垃圾投放错误的概率．

解：

（1）厨余垃圾投放正确的概率约为

＝＝.

（2）设生活垃圾投放错误为事件A，则事件表示生活垃圾投放正确．事件的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P（）约为＝0.7，所以P（A）约为1－0.7＝0.3.

10．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的相关数据，如下表所示.

一次购物量

1至4件

5至8件

9至12件

13至16件

17件以上

顾客数（人）

x

30

25

y

10

结算时间（分钟/分）

1

1.5

2

2.5

3

已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%.

（1）求x，y的值．

（2）求顾客一次购物的结算时间超过2分钟的概率．

解：

（1）由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，

所以x＝15，y＝20.

（2）记A：

一位顾客一次购物的结算时间超过2分钟．

A1：

该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟．

A2：

该顾客一次购物的结算时间为3分钟．

将频率视为概率，可得P（A）＝P（A1）＋P（A2）＝＋＝0.3.

所以一位顾客一次购物的结算时间超过2分钟的概率为0.3.

三上台阶，自主选做志在冲刺名校

1．若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且分别为P（A）＝2－a，P（B）＝3a－4，则实数a的取值范围为____________．

解析：

因为随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且分别为P（A）＝2－a，P（B）＝3a－4，

所以

即解得

答案：

2．某保险公司利用简单随机抽样的方法，对投保的车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：

赔偿金额（元）

0

1000

2000

3000

4000

车辆数（辆）

500

130

100

150

120

（1）若每辆车的投保金额为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率．

（2）在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．

解：

（1）设A表示事件“赔付金额为3000元”，B表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率得P（A）＝＝0.15，P（B）＝＝0.12，

由于投保额为2800元，赔付金额大于投保金额的情形是赔付3000元和4000元，

所以其概率为P（A）＋P（B）＝0.15＋0.12＝0.27.

（2）设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，样本车辆中车主是新司机的有0.1×1000＝100（位），而赔付金额为4000元的车辆中车主为新司机的有0.2×120＝24（位），

所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为＝0.24，

由频率估计概率得P（C）＝0.24.

第二节

古_典_概_型

1．基本事件的特点

（1）任何两个基本事件是互斥的．

（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和．

2．古典概型

（1）

（2）概率计算公式：

P（A）＝.

[小题体验]

1．（教材习题改编）一个口袋内装有2个白球和3个黑球，则在先摸出1个白球后放回的条件下，再摸出1个白球的概率是________．

解析：

先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率，实质上就是第二次摸到白球的概率，因为袋内装有2个白球和3个黑球，因此概率为.

答案：

2．从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是________．

解析：

两数之和等于5有两种情况（1,4）和（2,3），总的基本事件有（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5），共10种．∴所求概率P＝＝.

答案：

1．在计算古典概型中试验的所有结果数和事件发生结果时，易忽视他们是否是等可能的．

2．概率的一般加法公式P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（A∩B）中，易忽视只有当A∩B＝∅，即A，B互斥时，P（A∪B）＝P（A）＋P（B），此时P（A∩B）＝0.

[小题纠偏]

1．（2015·江苏高考）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球．从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．

解析：

设4只球分别为白、红、黄1、黄2，从中一次随机摸出2只球，所有基本事件为（白，红）、（白，黄1）、（白，黄2）、（红，黄1）、（红，黄2）、（黄1，黄2），共6个，颜色不同的有5个，所以2只球颜色不同的概率为.

答案：

2．从一副混合后的扑克牌（除去大、小王52张）中，随机抽取1张．事件A为“抽到红桃K”，事件B为“抽到黑桃”，则P（A∪B）＝________（结果用最简分数表示）．

解析：

∵P（A）＝，

P（B）＝，

∴P（A∪B）＝P（A）＋P（B）＝＋＝＝.

答案：

[题组练透]

1．（2016·全国丙卷）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（　　）

A.　　　　　　　　　　　B.

C.D.

解析：

选C　∵Ω＝{（M,1），（M,2），（M,3），（M,4），（M,5），（I,1），（I,2），（I,3），（I,4），（I,5），（N,1），（N,2），（N,3），（N,4），（N,5）}，∴事件总数有15种．

∵正确的开机密码只有1种，∴P＝.

2.（2016·北京高考）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（　　）

A.　　　　　　　　　　B.

C.D.

解析：

选B　设另外三名学生分别为丙、丁、戊．从5名学生中随机选出2人，有（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（甲，戊），（乙，丙），（乙，丁），（乙，戊），（丙，丁），（丙，戊），（丁，戊），共10种情形，其中甲被选中的有（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（甲，戊），共4种情形，故甲被选中的概率P＝＝.

3．（2015·山东高考）某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：

（单位：

人）

参加书法社团

未参加书法社团

参加演讲社团

8

5

未参