第九章概率.docx

1、第九章 概率第九章概率第一节随机事件的概率1事件的相关概念2频数、频率和概率(1)频数、频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)为事件A出现的频率(2)概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率3事件的关系与运算名称条件结论符号表示包含关系A发生B发生事件B包含事件A(事件A包含于事件B)BA(或AB)相等关系若BA且AB事件A与事件B相等AB并(和)事件A发生或B发生事件A与事件B的并事件(或和事件)

2、AB(或AB)交(积)事件A发生且B发生事件A与事件B的交事件(或积事件)AB(或AB)互斥事件AB为不可能事件事件A与事件B互斥AB对立事件AB为不可能事件，AB为必然事件事件A与事件B互为对立事件AB，P(AB)14概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0P(A)1.(2)必然事件的概率为1.(3)不可能事件的概率为0.(4)概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(AB)P(A)P(B)(5)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则AB为必然事件，P(AB)1，P(A)1P(B)小题体验1(教材习题改编)某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次中10环，有3次中9环，有4

3、次中8环，有1次未打靶假设此人射击1次，则其中靶的概率约为_；中10环的概率约为_解析：中靶的频数为9，试验次数为10，所以中靶的频率为0.9，所以此人射击1次，中靶的概率约为0.9.同理得中10环的概率约为0.2.答案：0.90.22(教材习题改编)如果从不包括大、小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心的概率是，取到方块的概率是，则取到黑色牌的概率是_答案：3(教材习题改编)给出下列三个命题，其中正确命题有_个有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是；随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率解

4、析：错，不一定是10件次品；错，是频率而非概率；错，频率不等于概率，这是两个不同的概念答案：01易将概率与频率混淆，频率随着试验次数变化而变化，而概率是一个常数2互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件小题纠偏1甲：A1，A2是互斥事件；乙：A1，A2是对立事件，那么()A甲是乙的充分但不必要条件B甲是乙的必要但不充分条件C甲是乙的充要条件D甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件解析：选B两个事件是对立事件，则它们一定互斥，反之不一定成立2在运动会火炬传递活动中，有编

5、号为1,2,3,4,5的5名火炬手若从中任选3人，则选出的火炬手的编号相连的概率为()A.B.C. D.解析：选A从1,2,3,4,5中任取三个数的结果有10种，其中选出的火炬手的编号相连的事件有：(1,2,3)，(2,3,4)，(3,4,5)，选出的火炬手的编号相连的概率为P.题组练透1一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是()A至多有一次中靶 B两次都中靶C只有一次中靶 D两次都不中靶解析：选D事件“至少有一次中靶”包括“中靶一次”和“中靶两次”两种情况由互斥事件的定义，可知“两次都不中靶”与之互斥2在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张

6、全是移动卡”的概率是，那么概率是的事件是()A至多有一张移动卡B恰有一张移动卡C都不是移动卡D至少有一张移动卡解析：选A至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”、“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件，故选A.3对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A两次都击中飞机，B两次都没击中飞机，C恰有一次击中飞机，D至少有一次击中飞机，其中彼此互斥的事件是_，互为对立事件的是_解析：设I为对飞机连续射击两次所发生的所有情况，因为AB，AC，BC，BD，故A与B，A与C，B与C，B与D为互斥事件而BD，BDI，故B与D互为对立事件答案：A与B，A与C，B与C，B与DB与D谨

7、记通法判断互斥、对立事件的2种方法(1)定义法判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件(2)集合法由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集题组练透1在投掷一枚硬币的试验中，共投掷了100次，“正面朝上”的频数为51，则“正面朝上”的频率为()A49 B0.5C0.51 D0.49解析：选C由题意，根据事件发生的频率的定义可知，“正面朝上”的频率为0.51.2(2015北京高考)某超市随机选取

8、1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“ ”表示购买，“ ”表示未购买.商品顾客人数甲乙丙丁100 217 200 300 85 98 (1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？解：(1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为0.2.(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其

9、他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为0.3.(3)与(1)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为0.1，所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大谨记通法1概率与频率的关系频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值2随机事件概率的求法利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数

10、就是概率提醒概率的定义是求一个事件概率的基本方法典例引领某战士射击一次，问：(1)若中靶的概率为0.95，则不中靶的概率为多少？(2)若命中10环的概率是0.27，命中9环的概率为0.21，命中8环的概率为0.24，则至少命中8环的概率为多少？不够9环的概率为多少？解：(1)设中靶为事件A，则不中靶为.则由对立事件的概率公式可得，P()1P(A)10.950.05.即不中靶的概率为0.05.(2)设命中10环为事件B，命中9环为事件C，命中8环为事件D，由题意知P(B)0.27，P(C)0.21，P(D)0.24.记至少命中8环为事件E，则P(E)P(BCD)P(B)P(C)P(D)0.270

11、.210.240.72.故至少命中8环的概率为0.72.记至少命中9环为事件F，则不够9环为，则P(F)P(BC)P(B)P(C)0.270.210.48.则P()1P(F)10.480.52.即不够9环的概率为0.52.由题悟法求复杂互斥事件概率的2种方法(1)直接求法：将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的和，运用互斥事件概率的加法公式计算(2)间接求法：先求此事件的对立事件，再用公式P(A)1P()求得，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法就会较简便提醒应用互斥事件概率的加法公式，一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥，然后求出各事件发生的概率，再求和(或差

12、)即时应用(2017洛阳模拟)经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如下：排队人数012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求：(1)至多2人排队等候的概率是多少？(2)至少3人排队等候的概率是多少？解：记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F互斥(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则GABC，所以P(G)P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.10.160.30.56.(2)法一：记“至少3人排队

13、等候”为事件H，则HDEF，所以P(H)P(DEF)P(D)P(E)P(F)0.30.10.040.44.法二：记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)1P(G)0.44. 一抓基础，多练小题做到眼疾手快1甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙不输的概率是()A. B.C. D.解析：选A乙不输包含两种情况：一是两人和棋，二是乙获胜，故所求概率为.2一个盒子内装有红球、白球、黑球三种球，其数量分别为3,2,1，从中任取两球，则互斥而不对立的两个事件为()A至少有一个白球；都是白球B至少有一个白球；至少有一个红球C恰有一个白球；一个白球一个黑球D至少有一

14、个白球；红球、黑球各一个解析：选D红球、黑球各取一个，则一定取不到白球，故“至少有一个白球”“红球、黑球各一个”为互斥事件，又任取两球还包含“两个红球”这个事件，故不是对立事件3掷一个骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A发生的概率为()A. B.C. D.解析：选C掷一个骰子的试验有6种可能结果，依题意P(A)，P(B)，所以P()1P(B)1，因为表示“出现5点或6点”的事件，因此事件A与互斥，从而P(A)P(A)P().4从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm的概率为0.2，该同学的身高在160,175 cm

15、的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm的概率为_解析：由对立事件的概率可求该同学的身高超过175 cm的概率为10.20.50.3.答案：0.35如果事件A与B是互斥事件，且事件AB发生的概率是0.64，事件B发生的概率是事件A发生的概率的3倍，则事件A发生的概率为_解析：设P(A)x，P(B)3x，P(AB)P(A)P(B)x3x0.64.P(A)x0.16.答案：0.16 二保高考，全练题型做到高考达标1(2017石家庄模拟)某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽检一件是正品(甲级)的概率为()A0.95

16、B0.97C0.92 D0.08解析：选C记抽检的产品是甲级品为事件A，是乙级品为事件B，是丙级品为事件C，这三个事件彼此互斥，因而所求概率为P(A)1P(B)P(C)15%3%92%0.92.2袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则下面事件是互斥事件但不是对立事件的为()A恰有1个白球和全是白球；B至少有1个白球和全是黑球；C至少有1个白球和至少有2个白球；D至少有1个白球和至少有1个黑球解析：选A由题意可知，事件C、D均不是互斥事件；A、B为互斥事件，但B又是对立事件，满足题意只有A，故选A.3围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是.则从中任

17、意取出2粒恰好是同一色的概率是()A. B.C. D1解析：选C设“从中取出2粒都是黑子”为事件A，“从中取出2粒都是白子”为事件B，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C，则CAB，且事件A与B互斥所以P(C)P(A)P(B)，即任意取出2粒恰好是同一色的概率为.4抛掷一枚均匀的骰子(骰子的六个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点)一次，观察掷出向上的点数，设事件A为掷出向上为偶数点，事件B为掷出向上为3点，则P(AB)()A. B.C. D.解析：选B事件A为掷出向上为偶数点，所以P(A).事件B为掷出向上为3点，所以P(B)，又事件A，B是互斥事件，事件(AB)为事件A，B有一个发生的事

18、件，所以P(AB)P(A)P(B).5设条件甲：“事件A与事件B是对立事件”，结论乙：“概率满足P(A)P(B)1”，则甲是乙的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A若事件A与事件B是对立事件，则AB为必然事件，再由概率的加法公式得P(A)P(B)1.设掷一枚硬币3次，事件A：“至少出现一次正面”，事件B：“3次出现正面”，则P(A)，P(B)，满足P(A)P(B)1，但A，B不是对立事件6从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A抽到一等品，事件B抽到二等品，事件C抽到三等品，且已知P(A)0.65，P(B)0.2，P(C)0.1，则事件“抽到的不是一等

19、品”的概率为_解析：“抽到的不是一等品”与事件A是对立事件，所求概率为1P(A)0.35.答案：0.357袋中装有9个白球，2个红球，从中任取3个球，则恰有1个红球和全是白球；至少有1个红球和全是白球；至少有1个红球和至少有2个白球；至少有1个白球和至少有1个红球在上述事件中，是对立事件的为_(填序号)解析：至少有1个红球和全是白球不同时发生，且一定有一个发生，所以中两事件是对立事件答案：8一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为，取得两个绿球的概率为，则取得两个同颜色的球的概率为_；至少取得一个红球的概率为_解析：由于“取得两个红

20、球”与“取得两个绿球”是互斥事件，取得两个同色球，只需两互斥事件有一个发生即可，因而取得两个同色球的概率为P.由于事件A“至少取得一个红球”与事件B“取得两个绿球”是对立事件，则至少取得一个红球的概率为P(A)1P(B)1.答案：9近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率

21、；(2)试估计生活垃圾投放错误的概率解：(1)厨余垃圾投放正确的概率约为.(2)设生活垃圾投放错误为事件A，则事件表示生活垃圾投放正确事件的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P()约为0.7，所以P(A)约为10.70.3.10某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的相关数据，如下表所示.一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件以上顾客数(人)x3025y10结算时间(分钟/分)11.522.53已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)求x

22、，y的值(2)求顾客一次购物的结算时间超过2分钟的概率解：(1)由已知得25y1055，x3045，所以x15，y20.(2)记A：一位顾客一次购物的结算时间超过2分钟A1：该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟A2：该顾客一次购物的结算时间为3分钟将频率视为概率，可得P(A)P(A1)P(A2)0.3.所以一位顾客一次购物的结算时间超过2分钟的概率为0.3. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且分别为P(A)2a，P(B)3a4，则实数a的取值范围为_解析：因为随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且分别为P(A)2a，P(B)3a4，

23、所以即解得a.答案：2某保险公司利用简单随机抽样的方法，对投保的车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：赔偿金额(元)01 0002 0003 0004 000车辆数(辆)500130100150120(1)若每辆车的投保金额为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率解：(1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”，B表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得P(A)0.15，P(B)0.12，由于投保额为2 8

24、00元，赔付金额大于投保金额的情形是赔付3 000元和4 000元，所以其概率为P(A)P(B)0.150.120.27.(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主是新司机的有0.11 000100(位)，而赔付金额为4 000元的车辆中车主为新司机的有0.212024(位)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为0.24，由频率估计概率得P(C)0.24.第二节古_典_概_型1基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和2古典概型(1)(2)概率计算公式：P(A).小题体验1(教材习题改

25、编)一个口袋内装有2个白球和3个黑球，则在先摸出1个白球后放回的条件下，再摸出1个白球的概率是_解析：先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率，实质上就是第二次摸到白球的概率，因为袋内装有2个白球和3个黑球，因此概率为.答案：2从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是_解析：两数之和等于5有两种情况(1,4)和(2,3)，总的基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10种所求概率P.答案：1在计算古典概型中试验的所有结果数和事件发生结果时，易忽视他们是否是等可能的2概率的一般加法公

26、式P(AB)P(A)P(B)P(AB)中，易忽视只有当AB，即A，B互斥时，P(AB)P(A)P(B)，此时P(AB)0.小题纠偏1(2015江苏高考)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为_解析：设4只球分别为白、红、黄1、黄2，从中一次随机摸出2只球，所有基本事件为(白，红)、(白，黄1)、(白，黄2)、(红，黄1)、(红，黄2)、(黄1，黄2)，共6个，颜色不同的有5个，所以2只球颜色不同的概率为.答案：2从一副混合后的扑克牌(除去大、小王52张)中，随机抽取1张事件A为“抽到红桃K”，事件B为“抽到黑桃”，则P

27、(AB)_(结果用最简分数表示)解析：P(A)，P(B)，P(AB)P(A)P(B).答案：题组练透1(2016全国丙卷)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是()A. B.C. D.解析：选C(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)，事件总数有15种正确的开机密码只有1种，P.2.(2016北京高考)从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为()A. B.C. D.解析：选B设另外三名学生分别为丙、丁、戊从5名学生中随机选出2人，有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，(乙，丙)，(乙，丁)，(乙，戊)，(丙，丁)，(丙，戊)，(丁，戊)，共10种情形，其中甲被选中的有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，共4种情形，故甲被选中的概率P.3(2015山东高考)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)参加书法社团未参加书法社团参加演讲社团85未参