数值计算方法I实验报告作业.docx

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数值计算方法I实验报告作业

重庆交通大学学生实验报告

实验课程名称数值计算方法I

开课实验室数学实验室

学院理学院年级12专业班信息与计算科学1班学生姓名浦中正学号631222020101开课时间2012至2013学年第_2_学期

评分细则

评分

报告表述的清晰程度和兀整性（20分）

程序设计的正确性（40分）

实验结果的分析（30分）

实验方法的创新性（10分）

总成绩

教师签名

实验一误差分析

试验1.1（病态问题）

问题提出：

考虑一个高次的代数多项式

p（x）=（x-1）（x-2）（x-20）岂|（x-k）（1.1）

显然该多项式的全部根为1,2,…,20共计20个，且每个根都是单重的。

现考虑该多项

式的一个扰动

p（x）；x=0（1.2）

其中；是一个非常小的数。

这相当于是对（1.1）中x19的系数作一个小的扰动。

我们

希望比较（1.1）和（1.2）根的差别，从而分析方程（1.1）的解对扰动的敏感性。

实验内容：

为了实现方便，我们先介绍两个MATLAB函数：

“roots"和"poly”。

u=roots（a）

其中若变量a存储n+1维的向量，则该函数的输出u为一个n维的向量。

设a的元素

依次为a「a2,…，a.1，则输出u的各分量是多项式方程

n丄n4丄■…丄丄

a1xa2x亠亠anxan0

的全部根；而函数

b=poly（v）

的输出b是一个n+1维向量，它是以n维向量v的各分量为根的多项式的系数。

可见

“roots"和"poly"是两个互逆的运算函数。

ess二0.000000001;

ve=zeros（1,21）;

（2）=ess

roots（poly（1:

20）ve）

上述简单的MATLAB程序便得到（1.2）的全部根，程序中的“ess”即是（1.2）

中的；。

实验要求：

（1）选择充分小的ess,反复进行上述实验，记录结果的变化并分析它们。

如果扰动项的系数；很小，我们自然感觉（1.1）和（1.2）的解应当相差很小。

计算中你有什么出乎意料的发现？

表明有些解关于如此的扰动敏感性如何？

（2）将方程（1.2）中的扰动项改成；x18或其它形式，实验中又有怎样的现象？

（3）（选作部分）请从理论上分析产生这一问题的根源。

注意我们可以将方程

（1.2）写成展开的形式，

2019

p（x,：

）=x—：

x19叮-0（1.3）

同时将方程的解X看成是系数:

的函数，考察方程的某个解关于:

的扰动是否敏感，与研究它关于:

的导数的大小有何关系？

为什么？

你发现了什么现象，哪些根关于〉的变化更敏感？

实验过程：

对ess取不同的值，带入函数得出相同i的情况下，结果的差异；

对i取不同的值，带入函数得出相同ess的情况下，结果的不同。

程序：

functioneffect（ess）ve=zeros（1,21）;

（2）=ess;formatshortroots（poly（1:

20）+ve）

实验结果：

ans

0.000001

0.0000001

0.00000001

0.000000001

0.0000000001

21.3025+

20.4220+

19.8692+

19.9513

19.9952

1.5672i

0.9992i

0.4830i

19.2322

19.0330

21.3025-

20.4220-

19.8692-

17.6604+

17.8638

1.5672i

0.9992i

0.4830i

0.7003i

17.2299

18.5028+

18.1572+

17.8767+

17.6604-

15.5044+

3.6004i

2.4702i

1.5257i

0.7003i

0.1556i

18.5028-

18.1572-

17.8767-

15.4537+

15.5044-

3.6004i

2.4702i

1.5257i

0.8891i

0.1556i

15.1651+

15.3147+

15.4031+

15.4537-

13.6984

3.7612i

2.6987i

1.7507i

0.8891i

13.2332

15.1651-

15.3147-

15.4031-

13.3455+

11.9006

3.7612i

2.6987i

1.7507i

0.4972i

11.0500

12.4866+

12.8460+

13.1302+

13.3455-

9.9829

2.8828i

2.0622i

1.2796i

0.4972i

9.0050

12.4866-

12.8460-

13.1302-

11.8733

7.9989

2.8828i

2.0622i

1.2796i

11.0239

7.0002

10.5225+

10.9206+

11.2511+

10.0014

6.0000

1.7196i

1.1013i

0.4806i

8.9984

5.0000

10.5225-

10.9206-

11.2511-

8.0004

4.0000

1.7196i

1.1013i

0.4806i

6.9999

3.0000

9.0448+

9.5767

9.9302

6.0000

2.0000

0.5947i

9.1074

9.0101

5.0000

1.0000

9.0448-

7.9948

7.9990

4.0000

0.5947i

7.0001

3.0000

7.9489

6.0000

2.0000

7.0025

5.0000

1.0000

6.0000

4.0000

5.0000

3.0000

4.0000

2.0000

3.0000

1.0000

2.0000

1.0000

20.2296+

19.7653+

19.9765

19.9976

19.9994

0.8314i

0.2995i

19.1384

19.0177

19.0055

20.2296-

19.7653-

17.6369+

17.9330

17.9744

0.8314i

0.2995i

0.5206i

17.1227

17.0653

18.1285+

17.8425+

17.6369-

15.8172

15.8551

2.1925i

1.3013i

0.5206i

15.1710

15.1864

18.1285-

17.8425-

15.4896+

13.9089

13.7981

2.1925i

1.3013i

0.7750i

13.0372

13.1723

15.4044+

15.4531+

15.4896-

11.9976

11.9091

2.5140i

1.5826i

0.7750i

10.9944

11.0465

15.4044-

15.4531-

13.3819+

10.0038

9.9846

2.5140i

1.5826i

0.5003i

8.9987

9.0041

12.9354+

13.1873+

13.3819-

8.0003

7.9992

1.9888i

1.1911i

0.5003i

7.0000

7.0001

12.9354-

13.1873-

11.8068

6.0000

1.9888i

1.1911i

11.0737

5.0000

10.9628+

11.2774+

9.9859

4.0000

1.0902i

0.4266i

9.0022

3.0000

10.9628-

11.2774-

7.9998

2.0000

1.0902i

0.4266i

7.0000

1.0000

9.5623

9.9429

6.0000

9.1226

9.0061

5.0000

7.9934

8.0000

4.0000

7.0003

6.9999

3.0000

6.0000

2.0000

5.0000

1.0000

4.0000

3.0000

2.0000

1.0000

19.8184

19.9881

19.9984

20.0002

19.5494

19.0816

19.0139

18.9979

18.9987

17.8047+

17.6096+

17.9374

18.0104

18.0038

1.0917i

0.3292i

17.1353

16.9680

16.9952

17.8047-

17.6096-

15.6615

16.0585

15.9995

1.0917i

0.3292i

15.3816

14.9185

15.0117

15.4956+

15.5064+

13.6778

14.0786

13.9791

1.4207i

0.6411i

13.2631

12.9473

13.0207

15.4956-

15.5064-

11.8919

12.0286

11.9868

1.4207i

0.6411i

11.0513

10.9894

11.0058

13.2439+

13.4056+

9.9847

10.0031

9.9985

1.1128i

0.4138i

9.0038

8.9993

9.0002

13.2439-

13.4056-

7.9993

8.0001

8.0000

1.1128i

0.4138i

7.0001

7.0000

11.3003+

11.8365

6.0000

0.4128i

11.0604

5.0000

11.3003-

9.9888

4.0000

0.4128i

9.0014

3.0000

9.9340

8.0000

2.0000

9.0099

7.0000

1.0000

7.9992

6.0000

7.0000

5.0000

6.0000

4.0000

5.0000

3.0000

4.0000

2.0000

3.0000

1.0000

2.0000

1.0000

19.9948

19.9998

20.0003

20.0002

19.0405

19.0013

18.9976

18.9987

17.7775

17.9951

18.0083

18.0038

17.3662

17.0102

16.9825

16.9952

15.5112+

15.9866

16.0228

15.9995

0.4154i

15.0100

14.9808

15.0117

15.5112-

13.9989

14.0104

13.9791

0.4154i

12.9933

12.9970

13.0207

13.4374+

12.0089

12.0005

11.9868

0.1797i

10.9933

10.9994

11.0058

13.4374-

10.0034

10.0007

9.9985

0.1797i

8.9988

8.9995

9.0002

11.8905

8.0003

8.0002

8.0000

11.0414

6.9999

7.0000

9.9903

6.0000

9.0020

5.0000

7.9997

4.0000

7.0000

3.0000

6.0000

2.0000

5.0000

1.0000

4.0000

3.0000

2.0000

1.0000

20.0007

20.0002

18.9932

18.9987

18.0283

18.0038

16.9158

16.9952

16.1375

15.9995

14.7973

15.0117

14.1994

13.9791

12.8695

13.0207

12.0816

11.9868

10.9679

11.0058

10.0111

9.9985

8.9973

9.0002

8.0005

8.0000

6.9999

7.0000

6.0000

5.0000

4.0000

3.0000

2.0000

1.0000

7~21

20.0002

18.9987

18.0038

16.9952

15.9995

15.0117

13.9791

13.0207

11.9868

11.0058

9.9985

9.0002

8.0000

7.0000

6.0000

5.0000

4.0000

3.0000

2.0000

1.0000

实验分析：

（1）对于同一项即（i=21,20,19,18,…）的扰动，随着扰动系数的减小，扰动也越来

越小

（2）当相同的扰动系数作用于不同的项式，随着幕数的降低，扰动越来越小，扰动

的项的幕数越高，扰动越敏感，误差越大。

实验总结：

通过本次试验，了解了病态问题的产生原因和产生的影响。

在以后的学习中，对于病态问题的处理应该给予相当大的重视。

实验二插值法

实验2.1（多项式插值的振荡现象）

问题提出：

考虑一个固定的区间上用插值逼近一个函数。

显然拉格朗日

插值中使用的节点越多，插值多项式的次数就越高。

我们自然关心插值多

项式的次数增加时，Ln（x）是否也更加靠近被逼近的函数。

龙格（Runge）

重复上述的实验看其结果如何。

（3）区间［a,b］上切比雪夫点的定义为

'（2k-1）兀

l2（n+1）

以X1,X2，…Xn・1为插值节点构造上述各函数的拉格朗日插值多项式，比较其结果

实验2.2（样条插值的收敛性）

问题提出：

多项式插值是不收敛的，即插值的节点多，效果不一定就好。

对样条函数插值又如何呢？

理论上证明样条插值的收敛性是比较困难的，但通过本实验可以验证这一理论结果。

实验内容：

请按一定的规则分别选择等距或者非等距的插值节点，并不

断增加插值节点的个数。

考虑实验2.1中的函数或选择其他你有兴趣的函数，可以用MATLAB的函数“spline”作此函数的三次样条插值。

实验要求：

（1）随节点个数增加，比较被逼近函数和样条插值函数误差的变化情况。

分析所得结果并与拉格朗日多项式插值比较。

（2）样条插值的思想是早产生于工业部门。

作为工业应用的例子考虑如下问题：

某汽车制造商用三次样条插值设计车门的曲线，其中一段的数据如下：

0.01

0.79

1.53

2.19

2.71

r3.03]

3.27

2.89

3.06

3.19

[3.29

yk'

0.8

0.2

思考题一：

（二维插值）

在一丘陵地带测量高程，x和y方向每隔100米测一个点，得高程数据如下。

试用MATLAB的二维插值函数“interp2”进行插值，并由此找出最高点和该点的高程。

yf^—x.

100

200

300

400

100

：

636

697

624

478

200

698

712

630

478

300

：

680

674

598

412「

400

662

626

552

334