安徽省亳州市蒙城县中考二模数学试题.docx
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安徽省亳州市蒙城县中考二模数学试题
2021年安徽省亳州市蒙城县中考二模数学试题
学校:
___________姓名：
___________班级：
___________考号：
___________
一、单选题
1．与
的积为1的数是（ ）
A．2B．
C．﹣2D．-
2．如图所示的几何体的主视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．计算：
（﹣a3）2÷a2＝（ ）
A．﹣a3B．a3C．a4D．a7
4．2021年春晩“奋进新时代，欢度幸福年”，在和谐、温暖、欢乐的氛围里传递了社会的正能量和浓浓的家国情怀，海内外收视的观众总规模达到11.73亿人，其中数据11.73亿用科学记数法表示正确的是（ ）
A．11.73×108B．1.173×108
C．1.173×109D．0.1173×1010
5．下列多项式能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A．a2﹣1B．a2﹣2a﹣1C．a2﹣a+1D．a2﹣2a+1
6．一元二次方程2x2﹣3x+1=0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
7．某组长统计组内5人一天在课堂上的发言次数分别为3，0，4，3，5，关于这组数据，下列说法不正确的是（ ）
A．平均数是3B．众数是3C．中位数是4D．方差是2.8
8．2021年安徽全省生产总值比2021年增长8.02%，2021年比2021年增长8.5%．设安徽省这两年生产总值的年平均增长率为x，则所列方程正确的为（ ）
A．（1+x）2＝8.02%×8.5%
B．（1+2x）2＝8.02%×8.5%
C．（1+2x）2＝（1+8.02%）×（1+8.5%）
D．（1+x）2＝（1+8.02%）×（1+8.5%）
9．如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，点E在边AD上，点G在边BC上，点F、H在对角线BD上，若四边形EFGH是正方形，则AE的长是（ ）
A．5B．
C．
D．
10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）经过点A（1，0）和点B（0，﹣2），且顶点在第三象限，记m＝a﹣b+c，则m的取值范围是（ ）
A．﹣1＜m＜0B．﹣2＜m＜0C．﹣4＜m＜﹣2D．﹣4＜m＜0
二、填空题
11．
的整数部分是____________．
12．
＝1的解为_____．
13．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，∠ABC的平分线交⊙O于点D．若AB＝6，∠BAC＝30°，则
的长等于_____．
14．已知△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，D为平面内的任意一点，且满足CD＝AC，若△ADB是以AD为腰的等腰三角形，则∠CDB的度数为_____．
三、解答题
15．先化简，再求值：
，其中x＝﹣2．
16．解不等式
．
17．如图，在平面直角坐标系中，A（0，1），B（4，2），C（2，0）．
（1）将△ABC沿y轴翻折得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
（2）将△ABC绕着点（﹣1，﹣1）旋转180°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2；
（3）线段B2C2可以看成是线段B1C1绕着平面直角坐标系中某一点逆时针旋转得到，直接写出旋转中心的坐标为 ．
18．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：
两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左、右两数之和，它给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b2展开式中的系数等．
（1）（a+b）n展开式中项数共有 项．
（2）写出（a+b）5的展开式：
（a+b）5＝ ．
（3）利用上面的规律计算：
25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1．
19．某校九
（1）班开展数学活动，李明和张华两位同学合作用测角仪测量学校旗杆的高度，李明站在B点测得旗杆顶端E点的仰角为45°，张华站在D（D点在直线FB上）测得旗杆顶端E点仰角为15°，已知李明和张华相距（BD）30米，李明的身高（AB）1.6米，张华的身高（CD）1.75米，求旗杆的高EF的长．（结果精确到0.1．参考数据：
sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27）
20．如图，已知△ABC，且∠ACB＝90°．
（1）请用直尺和圆规按要求作图（保留作图痕迹，不写作法和证明）：
①以点A为圆心，BC边的长为半径作⊙A；
②以点B为顶点，在AB边的下方作∠ABD＝∠BAC．
（2）请判断直线BD与⊙A的位置关系，并说明理由．
21．九
（1）班开展了“读一本好书”的活动，班委会对学生阅读书籍的情况进行了问卷调查，问卷设置了“小说”“戏剧”“散文”“其他”四个类别，每位同学仅选一项．根据调查结果绘制了不完整的频数分布表和扇形统计图．
类别
频数（人数）
频率
小说
a
0.5
戏剧
4
散文
10
0.25
其他
6
合计
b
1
根据图表提供的信息，回答下列问题：
（1）直接写出：
a＝ ．b＝ m＝ ；
（2）在调查问卷中，甲、乙、丙、丁四位同学选择了“戏剧”类，现从中任意选出2名同学参加学校的戏剧社团，请求选取的2人恰好是甲和乙的概率．
22．某公司用100万元研发一种市场急需电子产品，已于当年投入生产并销售，已知生产这种电子产品的成本为4元/件，在销售过程中发现：
每年的年销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图所示，其中AB为反比例函数图象的一部分，设公司销售这种电子产品的年利润为s（万元）．
（1）请求出y（万件）与x（元/件）的函数表达式；
（2）求出第一年这种电子产品的年利润s（万元）与x（元/件）的函数表达式，并求出第一年年利润的最大值．
23．定义：
经过三角形一边中点，且平分三角形周长的直线叫做这个三角形在该边上的中分线，其中落在三角形内部的部分叫做中分线段．
（1）如图，△ABC中，AC＞AB，DE是△ABC在BC边上的中分线段，F为AC中点，过点B作DE的垂线交AC于点G，垂足为H，设AC＝b，AB＝c．
①求证：
DF＝EF；
②若b＝6，c＝4，求CG的长度；
（2）若题
（1）中，S△BDH＝S△EGH，求
的值．
参考答案
1．A
【解析】
【分析】
根据乘积是1的两数互为倒数，进行求解．
【详解】
解：
∵
的倒数是2，
∴与
乘积为1的数是2，
故选A．
【点睛】
本题主要考查了倒数的概念，解题时注意：
正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0没有倒数．
2．B
【解析】
【分析】
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【详解】
解：
从正面看是一个半圆形和一个梯形，如图所示：
故选：
B．
【点睛】
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
3．C
【解析】
【分析】
直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的除法运算法则分别计算得出答案．
【详解】
解：
（﹣a3）2÷a2＝a6÷a2＝a4
故选：
C．
【点睛】
此题主要考查了积的乘方运算以及同底数幂的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4．C
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】
解：
将11.73亿用科学记数法表示为：
1.173×109．
故选：
C．
【点睛】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．D
【解析】
【分析】
直接利用公式法分解因式进而得出答案．
【详解】
解：
A、a2﹣1＝（a+1）（a﹣1），故此选项错误；
B、a2﹣2a﹣1，无法分解因式，故此选项错误；
C、a2﹣a+1，无法运用完全平方公式分解因式，故此选项错误；
D、a2﹣2a+1＝（a﹣1）2，正确．
故选：
D．
【点睛】
此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
6．B
【解析】
试题分析：
对于一元二次方程
，当△=
时方程有两个不相等的实数根，当△=
时方程有两个相等的实数根，当△=
时方程没有实数根.根据题意可得：
△=
，则方程有两个不相等的实数根.
7．C
【解析】
【分析】
根据方差、众数、平均数、中位数的含义和求法，逐一判断即可．
【详解】
解：
将数据重新排列为0，3，3，4，5，
则这组数的众数为3，中位数为3，平均数为
＝3，方差为
×[（0﹣3）2+2×（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]＝2.8，
故选：
C．
【点睛】
本题考查了众数、中位数、平均数以及方差，解题的关键是牢记概念及公式．
8．D
【解析】
【分析】
用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设徽省这两年生产总值的年平均增长率为x，根据已知可以得出方程．
【详解】
解：
如果设徽省这两年生产总值的年平均增长率为x，
那么根据题意得：
（1+x）2＝（1+8.02%）×（1+8.5%），
故选：
D．
【点睛】
考查了由实际问题抽象出一元二次方程，平均增长率问题，一般形式为a（1+x）2＝b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
9．B
【解析】
【分析】
连接EG，交BD于点O，由勾股定理可求BD＝13，即可求OD＝
，通过证明△ABD∽△OED，可求DE＝
，则可求AE的长.
【详解】
解：
如图，连接EG，交BD于点O，
∵四边形ABCD是矩形
∴AD＝BC＝12，∠A＝90°，AD∥BC
∴BD＝
＝13
∵四边形EFGH是正方形
∴EO＝OG，EG⊥FH
∵AD∥BC
∴
∴DO＝BO＝
∵∠A＝∠EOD＝90°，∠ADB＝∠EDO
∴△ABD∽△OED
∴
即
∴DE＝
∴AE＝AD﹣DE＝
.
故选：
B．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，证明△ABD∽△OED是本题的关键．
10．D
【解析】
【分析】
求出a＞0，b＞0，把x＝1代入求出a＝2﹣b，b＝2﹣a，把x＝﹣1代入得出y＝a﹣b+c＝2a﹣4，求出2a﹣4的范围即可．
【详解】
解：
∵二次函数的图象开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴在y轴的左边，
∴
＜0，
∴b＞0，
∵图象与y轴的交点坐标是（0，﹣2），过（1，0）点，
代入得：
a+b﹣2＝0，
∴a＝2﹣b，b＝2﹣a，
∴y＝ax2+（2﹣a）x﹣2，
当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝a﹣（2﹣a）﹣2＝2a﹣4，
∵b＞0，
∴b＝2﹣a＞0，
∴a＜2，
∵a＞0，
∴0＜a＜2，
∴0＜2a＜4，
∴﹣4＜2a﹣4＜0，
∵y＝a﹣b+c＝a﹣（2﹣a）﹣2＝2a﹣4，
∴﹣4＜a﹣b+c＜0，
即﹣4＜m＜0．
故选：
D．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与系数的关系：
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x＝
；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）．
11．2
【分析】
看
在哪两个整数之间即可得到它的整数部分．
【详解】
∵
＜
＜
即2＜
＜3，
∴无理数
的整数部分是2．
故答案为2.
【点睛】
此题主要考查了估算无理数的大小，注意首先估算被开方数在哪两个相邻的平方数之间，再估算该无理数在哪两个相邻的整数之间．现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
12．-1
【解析】
方程两边同乘以x-1,得2x=x-1，解得x=-1.检验：
当x=-1时，x-1=-2≠0，所以x=-1是原分式方程的解
13．π．
【解析】
【分析】
根据直径所对的圆周角是直角求出∠ACB＝90°，再根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC，然后根据角平分线的定义求出∠ABD，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的二倍求出∠AOD，然后根据弧长公式列式计算即可得解．
【详解】
解：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝30°，
∴∠ABC＝90°﹣30°＝60°，
∵∠ABC的平分线交⊙O于点D，
∴∠ABD＝
∠ABC＝
×60°＝30°，
∴∠AOD＝2∠ABD＝2×30°＝60°，
∴
的长＝
＝π．
故答案为：
π．
【点睛】
本题考查了弧长的计算，圆周角定理，直角三角形两锐角互余的性质，比较简单，熟记定理与公式并求出∠AOD的度数是解题的关键．
14．45°或135°．
【解析】
【分析】
当△ADB是以AD为腰的等腰三角形，可以分两种情况进行讨论：
①AD＝AB，②AD＝BD；
①当AD＝AB时，又分两种情况：
当点D在AC边上方时，如图1所示．由△ACD为等边三角形，得∠CAD＝60°，根据角的关系可得结论；
当点D在AC边下方时，如图2所示．同理可得结论；
②当AD＝BD时又分两种情况：
当点D在BC的上方，如图3所示．作辅助线，证明∠EDA＝∠ADC，根据角平分线的性质得：
AF＝AE＝
AB＝
AC，利用直角三角形30°角的判定得：
Rt△AFC中，∠ACF＝30°，从而得出结论；
当D在BC的下方时，如图4，同理构建矩形AEFC，由CF＝
AB＝
AC＝
CD，得Rt△CFD中，∠CDF＝30°，可得结论．
【详解】
解：
①当AD＝AB时，
∵AB＝AC，CD＝AC，AD＝AB，
∴AC＝AD＝CD，
∴△ACD为等边三角形．
当点D在AC边上方时，如图1所示．
∵△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，△ACD为等边三角形，
∴∠BAC＝90°，∠CAD＝60°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝150°．
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB＝
（180°﹣∠BAD）＝15°，
∴∠CDB＝∠ADC﹣∠ADB＝60°﹣15°＝45°；
当点D在AC边下方时，如图2所示．
∵∠BAC＝90°，∠CAD＝60°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝30°．
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB＝
（180°﹣∠BAD）＝75°，
∴∠CDB＝∠ADB+∠ADC＝75°+60°＝135°．
②当AD＝BD时，
当点D在BC的上方，如图3所示．
过D作DE⊥AB于E，过A作AF⊥CD于F，
∴∠BED＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BED＝∠BAC，
∴ED∥AC，
∴∠EDA＝∠DAC，
∵AD＝CD，
∴∠ADC＝∠DAC，
∴∠EDA＝∠ADC，
∴AF＝AE＝
AB＝
AC，
Rt△AFC中，∠ACF＝30°，
∴∠ADC＝
＝75°，
∴∠ADB＝2∠ADE＝2∠ADC＝150°，
∴∠CDB＝360°﹣150°﹣75°＝135°；
当D在BC的下方时，如图4，
过D作DE⊥AC于E，过C作CF⊥ED于F，
∴∠AEF＝∠BAC＝∠EFC＝90°，
∴四边形AEFC是矩形，
∴CF＝AE，
∵AD＝BD，DE⊥AB，
∴AE＝
AB，∠ADE＝∠BDE，
∴CF＝
AB＝
AC＝
CD，
Rt△CFD中，∠CDF＝30°，
∵AC∥ED，
∴∠CAD＝∠ADE，
∵AC＝CD，
∴∠CAD＝∠ADC，
∴∠CDA＝∠ADE＝
∠CDF＝15°，
∴∠ADB＝30°，
∴∠CDB＝45°．
综上所述，则∠CDB的度数为45°或135°；
故答案为：
45°或135°．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和判定、等腰直角三角形的性质和判定、角平分线的性质、中垂线的性质以及直角三角形30°的判定，本题多解，要注意不要丢解，采用了分类讨论的思想，并利用数形结合，有一定难度．
15．
1
【解析】
【分析】
先化简，然后将x的值代入计算即可．
【详解】
解：
原式＝
＝
当x＝﹣2时，
原式＝
.
【点睛】
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．
16．x＜2．
【解析】
【分析】
根据解不等式的步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1求解即可求得答案．
【详解】
解：
去分母得：
3x＜6﹣（x﹣2）
去括号得：
3x＜6﹣x+2，
移项合并得：
4x＜8，
系数化1，得：
x＜2．
【点睛】
此题考查了一元一次不等式的解法．注意解不等式依据不等式的基本性质，特别是在系数化为1这一个过程中要注意不等号的方向的变化．去分母的过程中注意不能漏乘没有分母的项．
17．
（1）详见解析；
（2）详见解析；（3）（﹣2，﹣2）．
【解析】
【分析】
（1）利用关于y轴对称的点坐标特征写出点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出点A1、B1、C1的对应点A2、B2、C2，从而得到△A2B2C2；
（3）作B1B2和C1C2的垂直平分线，它们相交于点P，则点P为旋转中心，然后写出P点坐标即可．
【详解】
解：
（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作；
（3）如图，线段B2C2可以看成是线段B1C1绕着点P逆时针旋转90°得到，此时P点的坐标为（﹣2，﹣2）．
故答案为（﹣2，﹣2）．
【点睛】
本题考查了作图﹣旋转变换：
根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
18．
（1）n+1；
（2）a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；（3）1.
【解析】
【分析】
（1）根据规律，可知n+1项；
（2）根据规律，可知（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；
（3）根据规律得出原式＝（2﹣1）5．
【详解】
解：
（1））（a+b）n展开式中项数共有n+1项，
故答案为n+1；
（2）（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
故答案为a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
（3）25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1
＝25+5×24×（﹣1）+10×23×（﹣1）2+10×22×（﹣1）3+5×2×（﹣1）4+（﹣1）5
＝（2﹣1）5
＝1．
【点睛】
本题考查了数字的规律变化，要求学生通过观察数字，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键．
19．旗杆的高
为
米.
【解析】
【分析】
过点A作AM⊥EF于M，过点C作CN⊥EF于N，则MN=0.15m．由李明站在B点测得旗杆顶端E点的仰角为45°，可得△AEM是等腰直角三角形，继而得出得出AM=ME，设AM=ME=xm，则CN=（x+30）m，EN=（x-0.15）m．在Rt△CEN中，由tan∠ECN=
，代入CN、EN解方程求出x的值，继而可求得旗杆的高EF．
【详解】
过点A作AM⊥EF于M，过点C作CN⊥EF于N，
∵AB=1.6，CD=1.75，
∴MN=0.15m，
∵∠EAM=45°，
∴AM=ME，
设AM=ME=xm，
则CN=（x+30）m，EN=（x-0.15）m，
∵∠ECN=15°，
∴tan∠ECN=
=
，
即
≈0.27，
解得：
x≈11.3，
则EF=EM+MF≈11.3+1.6=12.9（m），
答：
旗杆的高
为
米.
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，是一个比较常规的解直角三角形问题，建立模型比较简单，但求解过程中涉及到根式和小数，算起来麻烦一些．
20．
（1）详见解析；
（2）直线BD与⊙A相切，理由详见解析．
【解析】
【分析】
（1）①以点A为圆心，以BC的长度为半径画圆即可；
②以点A为圆心，以任意长为半径画弧，与边AB、AC相交于两点E、F，再以点B为圆心，以同等长度为半径画弧，与AB相交于一点M，再以点M为圆心，以EF长度为半径画弧，与前弧相交于点N，作射线BN即可得到∠ABD；
（2）根据内错角相等，两直线平行可得AC∥BD，再根据平行线间的距离相等可得点A到BD的距离等于BC的长度，然后根据直线与圆的位置关系判断直线BD与⊙A相切．
【详解】
解：
（1）如图所示；
（2）直线BD与⊙A相切．
∵∠ABD＝∠BAC，
∴AC∥BD，
∵∠ACB＝90°，⊙A的半径等于BC，
∴点A到直线BD的距离等于BC，
∴直线BD与⊙A相切．
【点睛】
本题考查了复杂作图，主要利用了作一个角等于已知角，直线与圆的位置关系的判断，是基本作图，难度不大．
21．
（1）20、40、15；
（2）
【分析】
（1）先由散文对应的频数及其频率可得总人数b，再用总人数乘以小数对应频率求得其人数a，用其他人数除以总人数可得m的值；
（2）利用树状图法展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好是甲和乙的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】
解：
（1）∵被调查的总人数b＝10÷0.25＝40（人），
∴a＝40×0.5＝20，m%＝
×100%＝15%，即m＝15，
故答案为20、40、15；
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果数，其中恰好是甲和乙的只有2种，
所以选取的2人恰好是甲和乙的概率＝
．
【点睛】
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法或列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比.
22．
（1）y＝
；
（2）当每件的销售价格定为16元时，第一年年利润的最大值为44万元．
【解析】
【分析】
（1）依据待定系数法，即可求出y（万件）与x（元/件）之间的函数关系式；
（2）分两种情况进行讨论，当x＝8时，smax＝﹣20；当x＝16时，smax＝44；根据44＞﹣20，可得当每件的销售价格定为16元时，第一年年利润的最大值为44万元．
【详解】
解：
（1）当4≤x≤8时，设y＝
，将A（4，40）代入得k＝4×40＝160，
∴y与x之间的函数关系式为y＝
；
当8＜x≤28时，设y＝k'x+b，将B（8，20），C（28，0）代入得，
，
解得
，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+28，
综上所述，y＝
；
（2）当4≤x≤8时，s＝（x﹣4）y﹣160＝（x﹣4）•
﹣100＝
+60，
∵当4≤x≤8时，s随着x的增大而增大，
∴当x＝8时，smax＝
+60＝﹣20；
当8＜x≤28时，s＝（x﹣4）y﹣80＝（x﹣4）（﹣x+28）﹣80＝﹣（x﹣100）2+44，
∴当x＝16时，smax＝44；
∵44＞﹣20，
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