第八讲等边三角形.docx
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第八讲等边三角形
第八讲等边三角形
一．知识回顾
1等边三角形的性质和判定.2,含30°RT三角形的性质
二．讲解与练习
1．如图所示，△ABC为等边三角形，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则四个结论正确的
是 ．
①P在∠A的平分线上；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP．
2．如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的两动点，且总使AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则
= ．
3．如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°．以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长为 ．
34
4．如图，等边三角形ABC中，D、E分别在AB、BC边上，且AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G．下列结论：
①AE=CD；②∠AFC=120°；③△ADF是正三角形；④
．其中正确的结论是 （填所有正确答案的序号）．
5．用一块等边三角形的硬纸片（如图甲）做一个底面为等边三角形且高相等的无盖的盒子（边缝忽略不计，如图乙），在△ABC的每个顶点处各需剪掉一个四边形，其中四边形AMDN中，∠MDN的度数为 ．
6．如图，D为等边三角形ABC内一点，AD=BD，BP=AB，∠DBP=∠DBC，则∠BPD= 度．
7．下列条件：
①有两个角等于60°的三角形；
②有一个角等于60°的等腰三角形；
③三个外角（每个顶点各取一个外角）都相等的三角形；
④有一条边上的高和中线重合的三角形，
其中是等边三角形的有 （填序号）．
8．如图，在等边△ABC的边BC上任取一点D，作∠ADE=60°，DE交∠C的外角平分线于E，则△ADE是 三角形．
89
9．如图所示，已知∠1=∠2，AD=BD=4，CE⊥AD，2CE=AC，那么DE的长是 ．
10．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点，AD平分
∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若BE=60cm，DE=2cm，则BC= cm．
11．等边△ABC，点D是直线BC上一点，以AD为边在AD的右侧作等边△ADE，连接CE．
（1）如图1，若点D在线段BC上，求证：
CE+CD=AB；
（2）如图2，若点D在CB的延长线上，线段CE，CD，AB的数量有怎样的数量关系？
请加以证明．
12．在等边三角形ABC中，D、E分别在边BC、AC上，DC=AE，AD、BE交于点F，
（1）请你量一量∠BFD的度数，并证明你的结论；
（2）若D、E分别在边BC、CA的延长线上，其它条件不变，
（1）中的结论是否成立，请画图证明你的结论．
13．已知：
等边三角形ABC
（1）如图1，P为等边△ABC外一点，且∠BPC=120°．试猜想线段BP、PC、AP之间的数量关系，并证明你的猜想；
（2）如图2，P为等边△ABC内一点，且∠APD=120°．求证：
PA+PD+PC＞BD．
14．如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．
（1）如图1，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？
点F是否在直线NE上？
都请直接写出结论，不必证明或说明理由；
（2）如图2，当点M在BC上时，其它条件不变，
（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？
若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；
（3）若点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，并判断
（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？
若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由．
15．如图，点C是线段AB上除点A、B外的任意一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交DC于M，连接BD交CE于N，连接MN．
（1）求证：
AE=BD；
（2）求证：
MN∥AB．
16．如图，△ABC是边长为9cm的等边三角形，D、E是边BC、BA上的动点，D点由B点开始以1cm/秒的速度向C点运动，E点由B点开始以2cm/秒的速度向A点运动，D、E同时出发，设运动时间为t，当其中一点到达边的端点时，运动便停止，在运动过程始终保持∠EDF=60°．
（1）求证：
∠EDB=∠DFC；
（2）当t=3秒时，求BE+CF的值；
（3）是否存在这样的t值，使得CF=
cm？
若存在，试求出t的值；若不存在，请说明理由．
17．△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC到E，使CE=CD，过点D作DF⊥BE于F．探究FC与BE间的数量关系，并证明．
18．如图，在等边三角形ABC中，AD为BC边上的中线，以AD为一边作等边三角形ADE，DE与AC交于点F
（1）试探究线段AC与线段DE的位置关系，并说明理由；
（2）连线CE，试探究线段CE与BC的数量关系，并说明理由．
19．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD．
（1）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（2）探究：
当a为多少度时，△AOD是等腰三角形？
20．如图，已知线段AB的同侧有两点C、D满足∠ACB=∠ADB=60°，
∠ABD=90°﹣
∠DBC．求证：
AC=AD．
三．作业
1．如图，将边长为1的正三角形OAP沿x轴正方向连续翻转2012次，点P依次落在点p1、p2、…p2012的位置，则点p2012的横坐标为 ．
2．已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE=CD=1，连接DE，则DE= ．
3．△ABC是等边三角形，把∠A按如图折叠，则
∠1+∠2= ．
4．两块完全一样的含30°角的直角三角板，将它们重叠在一起并绕其较长直角边的中点M转动，使上面一块三角板的斜边刚好过下面一块三角板的直角顶点C，如图所示．已知AC=6，则这两块直角三角板顶点A、A′之间的距离等于 ．
5．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．则下列结论：
①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP．其中正确的是 ．
6．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．
（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；
（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？
如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．
7．已知：
在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD．
（1）如图①，若∠AOB=∠COD=60°，求证：
①AC=BD②∠APB=60°．
（2）如图②，若∠AOB=∠COD=α，则AC与BD间的等量关系式为 ，∠APB的大小为 （直接写出结果，不证明）
8．如图，在平面直角坐标系中，等边△OAB的顶点0为坐标原点，B点坐标为（4，0），且△OAB的面积为4
，点P从A点出发沿射线AB运动．点Q从B点出发沿x轴正半轴运动，点P、点Q同时出发，速度均为每秒2个单位长度．运动时间为t秒，过点P作PH⊥x轴于点H．
（1）求A点的坐标；
（2）当点P在线段AB上运动时，用含t的式子表示线段BQ的长度．
（3）在点P0、点Q的运动过程，当∠PQB=30°时，求点P、点Q运动时间t的值．
9．如图，已知等边三角形ABC中，AG⊥BC，PD⊥BC，PE⊥AC，PF⊥AB．求证：
PD+PE+PF=AG．
10．如图，在△ABC中，AB=AC，D是三角形外一点，且∠ABD=60°，BD+DC=AB．求证：
∠ACD=60°．
第八讲等边三角形
参考答案与试题解析
1．①②③④ ．2．
．3． 6 ．4． ①②④ ）．5．120° ．6． 30 度．
7． ①②③ （填序号）．8． 等边 ．9． 1 ．
10．解：
延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，作DF∥BC，∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN=CN，∵∠EBC=∠E=60°，∴△BEM为等边三角形，
∴△EFD为等边三角形，∵BE=60，DE=2，∴DM=58，∵△BEM为等边三角形，∴∠EMB=60°，∵AN⊥BC，∴∠DNM=90°，∴∠NDM=30°，∴NM=29，∴BN=31，∴BC=2BN=62，
故答案为62．
11．证明：
（1）如图1，∵△ADE与△ABC都是等边三角形，∴AC=AB，AE=AD，∠DAE=∠BAC=60°．∴∠DAE﹣∠CAD=∠BAC﹣∠CAD．即∠CAE=∠BAD．
△CAE≌△BAD（SAS）．∴EC=DB（全等三角形的对应边相等）；
∴CE+CD=DB+CD=BC=AB，即CE+CD=AB；
（2）CE+CD=AB；理由如下：
如图2，∵△ADE与△ABC都是等边三角形，
∴AC=AB，AE=AD，∠DAE=∠BAC=60°．∴∠DAE﹣∠BAE=∠BAC﹣∠BAE．
即∠CAE=∠BAD．△CAE≌△BAD（SAS）．∴EC=DB（全等三角形的对应边相等）；
∴CE+AB=DB+BC=CD，即CE+AB=CD．
12．解：
（1）∠BFD=60°在等边三角形ABC与三角形CDA中，AB=AC，∠BAE=∠C=60°，AE=CD，∴△AEB≌△CDA．∴∠AEB=∠CDA，又∠DAC+∠ADC=180°﹣∠C=120°，∴∠AEB+∠DAC=120°，∴∠AFE=∠BFD=60°
（2）∵∠BAC=∠ACB=60°，∴∠EAB=∠ACD=120°，△ABE≌△ACD，∴∠E=∠D，∵∠EAF=∠CAD，∠CAD+∠D=60°，∴∠EAF+∠E=60°，
∴∠BFD=60°．
13．猜想：
AP=BP+PC，
（1）证明：
延长BP至E，使PE=PC，连接CE，
∵∠BPC=120°，∴∠CPE=60°，又PE=PC，∴△CPE为等边三角形，∴CP=PE=CE，∠PCE=60°，∵△ABC为等边三角形，∴AC=BC，∠BCA=60°，∴∠ACB=∠PCE，∴∠ACB+∠BCP=∠PCE+∠BCP，即：
∠ACP=∠BCE，∴△ACP≌△BCE（SAS），
∴AP=BE，∵BE=BP+PE，∴AP=BP+PC．
（2）证明：
在AD外侧作等边△AB′D，则点P在三角形ADB′外，连接PB'，B'C，
∵∠APD=120°∴由
（1）得PB′=AP+PD，在△PB′C中，有PB′+PC＞CB′，
∴PA+PD+PC＞CB′，∵△AB′D、△ABC是等边三角形，∴AC=AB，AB′=AD，
∠BAC=∠DAB′=60°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAB′+∠CAD，即：
∠BAD=∠CAB′，
∴△AB′C≌△ADB，∴CB′=BD，
∴PA+PD+PC＞BD．
14．解：
（1）判断：
EN与MF相等（或EN=MF），点F在直线NE上，
（2）成立．
连接DF，NF，证明△DBM和△DFN全等（AAS），∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC．又∵D，E，F是三边的中点，∴EF=DF=BF．∵∠BDM+∠MDF=60°，∠FDN+∠MDF=60°，∴∠BDM=∠FDN，∴△DBM≌△DFN，∴BM=FN，∠DFN=∠FDB=60°，∴NF∥BD，∵E，F分别为边AC，BC的中点，∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥BD，∴F在直线NE上，∵BF=EF，∴MF=EN．
（3）如图③，MF与EN相等的结论仍然成立（或MF=NE成立）．
连接DF、DE，
由
（2）知DE=DF，∠NDE=∠FDM，DN=DM，∴△DNE≌△DMF，
∴MF=NE．
15．
16．证明：
（1）∵∠EDF=60°，∴∠CDF+∠EDB=120°，∵△ABC是等边三角形，∴∠C=60°，∴∠CDF+∠DFC=120°，∴∠EDB=∠DFC；
（2）∵D点由B点开始以1cm/秒的速度向C点运动，E点由B点开始以2cm/秒的速度向A点运动，
∴t=3秒，BE=6，BD=3，∴CD=BC﹣BD=9﹣3=6，∵△EBD∽△DFC，∴
=
，即
=
，∴CF=3，∴BE+CF=6+3=9．
（3）存在，理由如下．∵△EBD∽△DFC，∴
=
=
，
∵CF=
cm，∴CD=
，∴BD=9﹣
=
，∴BE=9，即t=
，
∴当t=
时，使得CF=
cm．
17．证明：
∵△ABC是等边三角形，BD⊥AC，∴∠DBE=30°，∠ACB=60°，
∵CE=CD，∴∠CDE=∠E，∵∠ACB是△CDE的外角，∴∠ACB=∠E+∠CDE=60°，∴∠E=30°，∴∠E=∠DBE=30°，∴BD=DE，∴△BDE是等腰三角形，∵DF⊥BE，∴BF=EF，即BF=
BE，∵∠DFC=90°，∠ACB=60°，∴∠FDC=30°，∴CF=
CD=
CE，∴CF=
EF，∴CF=
BE．
18．
（1）解：
AC⊥DE；理由如下：
∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴∠BAC=∠DAE=60°，∵AD为BC边上的中线，∴BD=CD，∠BAD=∠DAC=
∠BAC=30°，∴∠CAE=60°﹣30°=30°，∴∠DAC=∠CAE，∴AC垂直平分DE，
即AC⊥DE；
（2）解：
BC=2CE；理由如下：
∵AC垂直平分DE，
∴CD=CE，∵BD=CD，∴BC=2CE．
19．解：
（1）∵△OCD是等边三角形，∴OC=CD，而△ABC是等边三角形，∴BC=AC，∵∠ACB=∠OCD=60°，∴∠BCO=∠ACD，△BOC≌△ADC，∴∠BOC=∠ADC，
而∠BOC=α=150°，∠ODC=60°，∴∠ADO=150°﹣60°=90°，∴△ADO是直角三角形；
（2）∵设∠CBO=∠CAD=a，∠ABO=b，∠BAO=c，∠CAO=d，
则a+b=60°，b+c=180°﹣110°=70°，c+d=60°，a+d=50°∠DAO=50°，
∴b﹣d=10°，∴（60°﹣a）﹣d=10°，∴a+d=50°，
即∠CAO=50°，
①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO，∴190°﹣α=α﹣60°，∴α=125°；
②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO，∴α﹣60°=50°，∴α=110°；
③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD，∴190°﹣α=50°，∴α=140°．
所以当α为110°、125°、140°时，三角形AOD是等腰三角形．
20．证明：
以AB为轴作△ABC的对称△ABC′，如图：
则AC=AC′，∠C=∠C′=60°，∠ABC′=∠ABC，因为∠ABD=90°﹣
∠DBC
所以2∠ABD+∠DBC=180°所以∠ABD+∠DBC+∠ABD=180°即∠ABC+∠ABD=180°
所以∠ABC′+∠ABD=180°所以D、B、C′共线又因为∠D=60°所以∠DAC=180°﹣∠C′﹣∠D=60°=∠D=∠C′所以△ADC′是等边三角形，所以AD=AC′=AC．
【作业】
1． 2011 ．2．
．3．120° ．
4．解：
连接AA′，∵点M是线段AC、线段A′C′的中点，AC=6，∴M=MC=A′M=MC′=3，∵∠MA′C=30°，∴∠MCA′=∠MA′C=30°，∴∠MCB′=180°﹣30°=150°，∴∠C′MC=360°﹣（∠MCB′+∠B′+∠C′）=180°﹣（150°+60°+90°）=60°，∴∠AMA′=∠C′MC=60°，
∴△AA′M是等边三角形，∴AA′=AM=3，
故答案为：
3．
5．①②③
6．解：
（1）∵△ABC是边长为6的等边三角形，
∴∠ACB=60°，∵∠BQD=30°，∴∠QPC=90°，
设AP=x，则PC=6﹣x，QB=x，∴QC=QB+BC=6+x，∵在Rt△QCP中，∠BQD=30°，∴PC=
QC，即6﹣x=
（6+x），解得x=2，∴AP=2；
（2）当点P、Q同时运动且速度相同时，线段DE的长度不会改变．理由如下：
作QF⊥AB，交直线AB于点F，连接QE，PF，又∵PE⊥AB于E，∴∠DFQ=∠AEP=90°，∵点P、Q速度相同，∴AP=BQ，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°，在△APE和△BQF中，∵∠AEP=∠BFQ=90°，∴∠APE=∠BQF，△APE≌△BQF（AAS），∴AE=BF，PE=QF且PE∥QF，∴四边形PEQF是平行四边形，∴DE=
EF，∵EB+AE=BE+BF=AB，∴DE=
AB，又∵等边△ABC的边长为6，∴DE=3，∴点P、Q同时运动且速度相同时，线段DE的长度不会改变．
7．解：
（1）①证明：
∵∠AOB=∠COD=60°，∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，
∴∠AOC=∠BOD．△AOC≌△BOD（SAS），∴AC=BD；②证明：
∵△AOC≌△BOD，
∴∠OAC=∠OBD，∴∠OAC+∠AOB=∠OBD+∠APB，∴∠OAC+60°=∠OBD+∠APB，
∴∠APB=60°；
（2）AC=BD，∠APB=α．
8．解：
（1）如图1，过A作AD⊥OB于D，∵B点坐标为（4，0），
∴OB=4，∵△AOB是等边三角形，∴OD=
OB=2，∵△OAB的面积为4
，∴
=4
，∴AD=2
，∴A点的坐标为：
（2.2
）；
（2）BQ=2t；
（3）如图2，当点P在线段AB上时，∵△ABO是等边三角形，∴∠ABO=60°，
∵∠PQB=30°，∴∠BPQ=30°，∴∠PQB=∠BPQ，∴PB=BQ，即4﹣2t=2t，∴t=1，
当P在射线AB上时，如图3，连接PQ，∵△ABO是等边三角形，∴∠ABO=60°，∴∠PBQ=∠ABO=60°，∵∠PQB=30°，∴∠BPQ=90°，∴BQ=2PB，
即2t=2（2t﹣4），∴t=4，∴当t=1或4时，∠PQB=30°．
9．
10．证明：
延长BD至E，使CD=DE，连接AE，AD，
∵BD+CD=AB，BE=BD+DE，
∴BE=AB，
∵∠ABD=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=AB=AC，∠E=60°，
在△ACD和△ADE中，
，
∴△ACD≌△ADE（SSS），
∴∠ACD=∠E=60°．
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