1、第八讲 等边三角形第八讲 等边三角形一知识回顾1等边三角形的性质和判定.2,含30RT三角形的性质二讲解与练习1如图所示,ABC为等边三角形,AQ=PQ,PR=PS,PRAB于R,PSAC于S,则四个结论正确的是P在A的平分线上; AS=AR; QPAR; BRPQSP2如图,等边三角形ABC中,D、E分别为AB、BC边上的两动点,且总使AD=BE,AE与CD交于点F,AGCD于点G,则=3如图,ABC是边长为3的等边三角形,BDC是等腰三角形,且BDC=120以D为顶点作一个60角,使其两边分别交AB于点M,交AC于点N,连接MN,则AMN的周长为3 44如图,等边三角形ABC中,D、E分别
2、在AB、BC边上,且AD=BE,AE与CD交于点F,AGCD于点G下列结论:AE=CD;AFC=120;ADF是正三角形;其中正确的结论是(填所有正确答案的序号)5用一块等边三角形的硬纸片(如图甲)做一个底面为等边三角形且高相等的无盖的盒子(边缝忽略不计,如图乙),在ABC的每个顶点处各需剪掉一个四边形,其中四边形AMDN中,MDN的度数为6如图,D为等边三角形ABC内一点,AD=BD,BP=AB,DBP=DBC,则BPD=度7下列条件:有两个角等于60的三角形;有一个角等于60的等腰三角形;三个外角(每个顶点各取一个外角)都相等的三角形;有一条边上的高和中线重合的三角形,其中是等边三角形的有
3、(填序号)8如图,在等边ABC的边BC上任取一点D,作ADE=60,DE交C的外角平分线于E,则ADE是三角形8 99如图所示,已知1=2,AD=BD=4,CEAD,2CE=AC,那么DE的长是10如图,在ABC中,AB=AC,D、E是ABC内两点,AD平分BAC,EBC=E=60,若BE=60cm,DE=2cm,则BC=cm11等边ABC,点D是直线BC上一点,以AD为边在AD的右侧作等边ADE,连接CE(1)如图1,若点D在线段BC上,求证:CE+CD=AB;(2)如图2,若点D在CB的延长线上,线段CE,CD,AB的数量有怎样的数量关系?请加以证明12在等边三角形ABC中,D、E分别在边
4、BC、AC上,DC=AE,AD、BE交于点F,(1)请你量一量BFD的度数,并证明你的结论;(2)若D、E分别在边BC、CA的延长线上,其它条件不变,(1)中的结论是否成立,请画图证明你的结论13已知:等边三角形ABC(1)如图1,P为等边ABC外一点,且BPC=120试猜想线段BP、PC、AP之间的数量关系,并证明你的猜想;(2)如图2,P为等边ABC内一点,且APD=120求证:PA+PD+PCBD14如图,已知等边三角形ABC中,点D,E,F分别为边AB,AC,BC的中点,M为直线BC上一动点,DMN为等边三角形(点M的位置改变时,DMN也随之整体移动)(1)如图1,当点M在点B左侧时,
5、请你判断EN与MF有怎样的数量关系?点F是否在直线NE上?都请直接写出结论,不必证明或说明理由;(2)如图2,当点M在BC上时,其它条件不变,(1)的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立,请利用图2证明;若不成立,请说明理由;(3)若点M在点C右侧时,请你在图3中画出相应的图形,并判断(1)的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立,请直接写出结论,不必证明或说明理由15如图,点C是线段AB上除点A、B外的任意一点,分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边ACD和等边BCE,连接AE交DC于M,连接BD交CE于N,连接MN(1)求证:AE=BD;(2)求证:MNAB16如图,
6、ABC是边长为9cm的等边三角形,D、E是边BC、BA上的动点,D点由B点开始以1cm/秒的速度向C点运动,E点由B点开始以2cm/秒的速度向A点运动,D、E同时出发,设运动时间为t,当其中一点到达边的端点时,运动便停止,在运动过程始终保持EDF=60(1)求证:EDB=DFC;(2)当t=3秒时,求BE+CF的值;(3)是否存在这样的t值,使得CF=cm?若存在,试求出t的值;若不存在,请说明理由17ABC是等边三角形,BD是AC边上的高,延长BC到E,使CE=CD,过点D作DFBE于F探究FC与BE间的数量关系,并证明18如图,在等边三角形ABC中,AD为BC边上的中线,以AD为一边作等边
7、三角形ADE,DE与AC交于点F(1)试探究线段AC与线段DE的位置关系,并说明理由;(2)连线CE,试探究线段CE与BC的数量关系,并说明理由19如图,点O是等边ABC内一点,AOB=110,BOC=以OC为一边作等边三角形OCD,连接AC、AD(1)当=150时,试判断AOD的形状,并说明理由;(2)探究:当a为多少度时,AOD是等腰三角形?20如图,已知线段AB的同侧有两点C、D满足ACB=ADB=60,ABD=90DBC求证:AC=AD三作业1如图,将边长为1的正三角形OAP沿x轴正方向连续翻转2012次,点P依次落在点p1、p2、p2012的位置,则点p2012的横坐标为2已知ABC
8、为等边三角形,BD为中线,延长BC至E,使CE=CD=1,连接DE,则DE=3ABC是等边三角形,把A按如图折叠,则 1+2=4两块完全一样的含30角的直角三角板,将它们重叠在一起并绕其较长直角边的中点M转动,使上面一块三角板的斜边刚好过下面一块三角板的直角顶点C,如图所示已知AC=6,则这两块直角三角板顶点A、A之间的距离等于5如图,C为线段AE上一动点(不与点A,E重合),在AE同侧分别作等边ABC和等边CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ则下列结论:AD=BE;PQAE;AP=BQ;DE=DP其中正确的是6如图,ABC是边长为6的等边三角形,P是A
9、C边上一动点,由A向C运动(与A、C不重合),Q是CB延长线上一点,与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动(Q不与B重合),过P作PEAB于E,连接PQ交AB于D(1)当BQD=30时,求AP的长;(2)当运动过程中线段ED的长是否发生变化?如果不变,求出线段ED的长;如果变化请说明理由7已知:在AOB和COD中,OA=OB,OC=OD(1)如图,若AOB=COD=60,求证:AC=BD APB=60(2)如图,若AOB=COD=,则AC与BD间的等量关系式为,APB的大小为(直接写出结果,不证明)8如图,在平面直角坐标系中,等边OAB的顶点0为坐标原点,B点坐标为(4,0),且OAB
10、的面积为4,点P从A点出发沿射线AB运动点Q从B点出发沿x轴正半轴运动,点P、点Q同时出发,速度均为每秒2个单位长度运动时间为t秒,过点P作PHx轴于点H(1)求A点的坐标;(2)当点P在线段AB上运动时,用含t的式子表示线段BQ的长度(3)在点P0、点Q的运动过程,当PQB=30时,求点P、点Q运动时间t的值9如图,已知等边三角形ABC中,AGBC,PDBC,PEAC,PFAB求证:PD+PE+PF=AG10如图,在ABC中,AB=AC,D是三角形外一点,且ABD=60,BD+DC=AB求证:ACD=60第八讲 等边三角形参考答案与试题解析1236 4)5 120630度7(填序号)8等边9
11、110解:延长ED交BC于M,延长AD交BC于N,作DFBC,AB=AC,AD平分BAC,ANBC,BN=CN,EBC=E=60,BEM为等边三角形,EFD为等边三角形,BE=60,DE=2,DM=58,BEM为等边三角形,EMB=60,ANBC,DNM=90,NDM=30,NM=29,BN=31,BC=2BN=62,故答案为6211证明:(1)如图1,ADE与ABC都是等边三角形,AC=AB,AE=AD,DAE=BAC=60DAECAD=BACCAD即CAE=BADCAEBAD(SAS)EC=DB(全等三角形的对应边相等);CE+CD=DB+CD=BC=AB,即CE+CD=AB;(2)CE+
12、CD=AB;理由如下:如图2,ADE与ABC都是等边三角形,AC=AB,AE=AD,DAE=BAC=60DAEBAE=BACBAE即CAE=BADCAEBAD(SAS)EC=DB(全等三角形的对应边相等);CE+AB=DB+BC=CD,即CE+AB=CD12解:(1)BFD=60在等边三角形ABC与三角形CDA中,AB=AC,BAE=C=60,AE=CD,AEBCDAAEB=CDA,又DAC+ADC=180C=120,AEB+DAC=120,AFE=BFD=60(2)BAC=ACB=60,EAB=ACD=120,ABEACD,E=D,EAF=CAD,CAD+D=60,EAF+E=60,BFD=
13、6013猜想:AP=BP+PC,(1)证明:延长BP至E,使PE=PC,连接CE,BPC=120,CPE=60,又PE=PC,CPE为等边三角形,CP=PE=CE,PCE=60,ABC为等边三角形,AC=BC,BCA=60,ACB=PCE,ACB+BCP=PCE+BCP,即:ACP=BCE,ACPBCE(SAS),AP=BE,BE=BP+PE,AP=BP+PC(2)证明:在AD外侧作等边ABD,则点P在三角形ADB外,连接PB,BC,APD=120由(1)得PB=AP+PD,在PBC中,有PB+PCCB,PA+PD+PCCB,ABD、ABC是等边三角形,AC=AB,AB=AD,BAC=DAB=
14、60,BAC+CAD=DAB+CAD,即:BAD=CAB,ABCADB,CB=BD,PA+PD+PCBD14解:(1)判断:EN与MF相等(或EN=MF),点F在直线NE上,(2)成立连接DF,NF,证明DBM和DFN全等(AAS),ABC是等边三角形,AB=AC=BC又D,E,F是三边的中点,EF=DF=BFBDM+MDF=60,FDN+MDF=60,BDM=FDN,DBMDFN,BM=FN,DFN=FDB=60,NFBD,E,F分别为边AC,BC的中点,EF是ABC的中位线,EFBD,F在直线NE上,BF=EF,MF=EN(3)如图,MF与EN相等的结论仍然成立(或MF=NE成立)连接DF
15、、DE,由(2)知DE=DF,NDE=FDM,DN=DM,DNEDMF,MF=NE1516证明:(1)EDF=60,CDF+EDB=120,ABC是等边三角形,C=60,CDF+DFC=120,EDB=DFC;(2)D点由B点开始以1cm/秒的速度向C点运动,E点由B点开始以2cm/秒的速度向A点运动,t=3秒,BE=6,BD=3,CD=BCBD=93=6,EBDDFC,=,即=,CF=3,BE+CF=6+3=9(3)存在,理由如下EBDDFC,=,CF=cm,CD=,BD=9=,BE=9,即t=,当t=时,使得CF=cm17证明:ABC是等边三角形,BDAC,DBE=30,ACB=60,CE
16、=CD,CDE=E,ACB是CDE的外角,ACB=E+CDE=60,E=30,E=DBE=30,BD=DE,BDE是等腰三角形,DFBE,BF=EF,即BF=BE,DFC=90,ACB=60,FDC=30,CF=CD=CE,CF=EF,CF=BE18(1)解:ACDE;理由如下:ABC和ADE是等边三角形,BAC=DAE=60,AD为BC边上的中线,BD=CD,BAD=DAC=BAC=30,CAE=6030=30,DAC=CAE,AC垂直平分DE,即ACDE;(2)解:BC=2CE;理由如下:AC垂直平分DE,CD=CE,BD=CD,BC=2CE19解:(1)OCD是等边三角形,OC=CD,而
17、ABC是等边三角形,BC=AC,ACB=OCD=60,BCO=ACD,BOCADC,BOC=ADC,而BOC=150,ODC=60,ADO=15060=90,ADO是直角三角形;(2)设CBO=CAD=a,ABO=b,BAO=c,CAO=d,则a+b=60,b+c=180110=70,c+d=60,a+d=50DAO=50,bd=10,(60a)d=10,a+d=50,即CAO=50,要使AO=AD,需AOD=ADO,190=60,=125;要使OA=OD,需OAD=ADO,60=50,=110;要使OD=AD,需OAD=AOD,190=50,=140所以当为110、125、140时,三角形A
18、OD是等腰三角形20证明:以AB为轴作ABC的对称ABC,如图:则AC=AC,C=C=60,ABC=ABC,因为ABD=90DBC所以2ABD+DBC=180所以ABD+DBC+ABD=180即ABC+ABD=180所以ABC+ABD=180所以D、B、C共线又因为D=60所以DAC=180CD=60=D=C所以ADC是等边三角形,所以AD=AC=AC【作业】1201123 1204解:连接AA,点M是线段AC、线段AC的中点,AC=6,M=MC=AM=MC=3,MAC=30,MCA=MAC=30,MCB=18030=150,CMC=360(MCB+B+C)=180(150+60+90)=60
19、,AMA=CMC=60,AAM是等边三角形,AA=AM=3,故答案为:35 6解:(1)ABC是边长为6的等边三角形,ACB=60,BQD=30,QPC=90,设AP=x,则PC=6x,QB=x,QC=QB+BC=6+x,在RtQCP中,BQD=30,PC=QC,即6x=(6+x),解得x=2,AP=2;(2)当点P、Q同时运动且速度相同时,线段DE的长度不会改变理由如下:作QFAB,交直线AB于点F,连接QE,PF,又PEAB于E,DFQ=AEP=90,点P、Q速度相同,AP=BQ,ABC是等边三角形,A=ABC=FBQ=60,在APE和BQF中,AEP=BFQ=90,APE=BQF,APE
20、BQF(AAS),AE=BF,PE=QF且PEQF,四边形PEQF是平行四边形,DE=EF,EB+AE=BE+BF=AB,DE=AB,又等边ABC的边长为6,DE=3,点P、Q同时运动且速度相同时,线段DE的长度不会改变7解:(1)证明:AOB=COD=60,AOB+BOC=COD+BOC,AOC=BODAOCBOD(SAS),AC=BD;证明:AOCBOD,OAC=OBD,OAC+AOB=OBD+APB,OAC+60=OBD+APB,APB=60;(2)AC=BD,APB=8解:(1)如图1,过A作ADOB于D,B点坐标为(4,0),OB=4,AOB是等边三角形,OD=OB=2,OAB的面积
21、为4,=4,AD=2,A点的坐标为:(2.2);(2)BQ=2t;(3)如图2,当点P在线段AB上时,ABO是等边三角形,ABO=60,PQB=30,BPQ=30,PQB=BPQ,PB=BQ,即42t=2t,t=1,当P在射线AB上时,如图3,连接PQ,ABO是等边三角形,ABO=60,PBQ=ABO=60,PQB=30,BPQ=90,BQ=2PB,即2t=2(2t4),t=4,当t=1或4时,PQB=30910证明:延长BD至E,使CD=DE,连接AE,AD,BD+CD=AB,BE=BD+DE,BE=AB,ABD=60,ABE是等边三角形,AE=AB=AC,E=60,在ACD和ADE中,ACDADE(SSS),ACD=E=60
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