第八讲等边三角形.docx

1、第八讲 等边三角形第八讲 等边三角形一知识回顾1等边三角形的性质和判定.2,含30RT三角形的性质二讲解与练习1如图所示，ABC为等边三角形，AQ=PQ，PR=PS，PRAB于R，PSAC于S，则四个结论正确的是P在A的平分线上； AS=AR； QPAR； BRPQSP2如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的两动点，且总使AD=BE，AE与CD交于点F，AGCD于点G，则=3如图，ABC是边长为3的等边三角形，BDC是等腰三角形，且BDC=120以D为顶点作一个60角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则AMN的周长为3 44如图，等边三角形ABC中，D、E分别

2、在AB、BC边上，且AD=BE，AE与CD交于点F，AGCD于点G下列结论：AE=CD；AFC=120；ADF是正三角形；其中正确的结论是（填所有正确答案的序号）5用一块等边三角形的硬纸片（如图甲）做一个底面为等边三角形且高相等的无盖的盒子（边缝忽略不计，如图乙），在ABC的每个顶点处各需剪掉一个四边形，其中四边形AMDN中，MDN的度数为6如图，D为等边三角形ABC内一点，AD=BD，BP=AB，DBP=DBC，则BPD=度7下列条件：有两个角等于60的三角形；有一个角等于60的等腰三角形；三个外角（每个顶点各取一个外角）都相等的三角形；有一条边上的高和中线重合的三角形，其中是等边三角形的有

3、（填序号）8如图，在等边ABC的边BC上任取一点D，作ADE=60，DE交C的外角平分线于E，则ADE是三角形8 99如图所示，已知1=2，AD=BD=4，CEAD，2CE=AC，那么DE的长是10如图，在ABC中，AB=AC，D、E是ABC内两点，AD平分BAC，EBC=E=60，若BE=60cm，DE=2cm，则BC=cm11等边ABC，点D是直线BC上一点，以AD为边在AD的右侧作等边ADE，连接CE（1）如图1，若点D在线段BC上，求证：CE+CD=AB；（2）如图2，若点D在CB的延长线上，线段CE，CD，AB的数量有怎样的数量关系？请加以证明12在等边三角形ABC中，D、E分别在边

4、BC、AC上，DC=AE，AD、BE交于点F，（1）请你量一量BFD的度数，并证明你的结论；（2）若D、E分别在边BC、CA的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论是否成立，请画图证明你的结论13已知：等边三角形ABC（1）如图1，P为等边ABC外一点，且BPC=120试猜想线段BP、PC、AP之间的数量关系，并证明你的猜想；（2）如图2，P为等边ABC内一点，且APD=120求证：PA+PD+PCBD14如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，DMN为等边三角形（点M的位置改变时，DMN也随之整体移动）（1）如图1，当点M在点B左侧时，

5、请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；（2）如图2，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；（3）若点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由15如图，点C是线段AB上除点A、B外的任意一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边ACD和等边BCE，连接AE交DC于M，连接BD交CE于N，连接MN（1）求证：AE=BD；（2）求证：MNAB16如图，

6、ABC是边长为9cm的等边三角形，D、E是边BC、BA上的动点，D点由B点开始以1cm/秒的速度向C点运动，E点由B点开始以2cm/秒的速度向A点运动，D、E同时出发，设运动时间为t，当其中一点到达边的端点时，运动便停止，在运动过程始终保持EDF=60（1）求证：EDB=DFC；（2）当t=3秒时，求BE+CF的值；（3）是否存在这样的t值，使得CF=cm？若存在，试求出t的值；若不存在，请说明理由17ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC到E，使CE=CD，过点D作DFBE于F探究FC与BE间的数量关系，并证明18如图，在等边三角形ABC中，AD为BC边上的中线，以AD为一边作等边

7、三角形ADE，DE与AC交于点F（1）试探究线段AC与线段DE的位置关系，并说明理由；（2）连线CE，试探究线段CE与BC的数量关系，并说明理由19如图，点O是等边ABC内一点，AOB=110，BOC=以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD（1）当=150时，试判断AOD的形状，并说明理由；（2）探究：当a为多少度时，AOD是等腰三角形？20如图，已知线段AB的同侧有两点C、D满足ACB=ADB=60，ABD=90DBC求证：AC=AD三作业1如图，将边长为1的正三角形OAP沿x轴正方向连续翻转2012次，点P依次落在点p1、p2、p2012的位置，则点p2012的横坐标为2已知ABC

8、为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE=CD=1，连接DE，则DE=3ABC是等边三角形，把A按如图折叠，则 1+2=4两块完全一样的含30角的直角三角板，将它们重叠在一起并绕其较长直角边的中点M转动，使上面一块三角板的斜边刚好过下面一块三角板的直角顶点C，如图所示已知AC=6，则这两块直角三角板顶点A、A之间的距离等于5如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边ABC和等边CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ则下列结论：AD=BE；PQAE；AP=BQ；DE=DP其中正确的是6如图，ABC是边长为6的等边三角形，P是A

9、C边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PEAB于E，连接PQ交AB于D（1）当BQD=30时，求AP的长；（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由7已知：在AOB和COD中，OA=OB，OC=OD（1）如图，若AOB=COD=60，求证：AC=BD APB=60（2）如图，若AOB=COD=，则AC与BD间的等量关系式为，APB的大小为（直接写出结果，不证明）8如图，在平面直角坐标系中，等边OAB的顶点0为坐标原点，B点坐标为（4，0），且OAB

10、的面积为4，点P从A点出发沿射线AB运动点Q从B点出发沿x轴正半轴运动，点P、点Q同时出发，速度均为每秒2个单位长度运动时间为t秒，过点P作PHx轴于点H（1）求A点的坐标；（2）当点P在线段AB上运动时，用含t的式子表示线段BQ的长度（3）在点P0、点Q的运动过程，当PQB=30时，求点P、点Q运动时间t的值9如图，已知等边三角形ABC中，AGBC，PDBC，PEAC，PFAB求证：PD+PE+PF=AG10如图，在ABC中，AB=AC，D是三角形外一点，且ABD=60，BD+DC=AB求证：ACD=60第八讲 等边三角形参考答案与试题解析1236 4）5 120630度7（填序号）8等边9

11、110解：延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，作DFBC，AB=AC，AD平分BAC，ANBC，BN=CN，EBC=E=60，BEM为等边三角形，EFD为等边三角形，BE=60，DE=2，DM=58，BEM为等边三角形，EMB=60，ANBC，DNM=90，NDM=30，NM=29，BN=31，BC=2BN=62，故答案为6211证明：（1）如图1，ADE与ABC都是等边三角形，AC=AB，AE=AD，DAE=BAC=60DAECAD=BACCAD即CAE=BADCAEBAD（SAS）EC=DB（全等三角形的对应边相等）；CE+CD=DB+CD=BC=AB，即CE+CD=AB；（2）CE+

12、CD=AB；理由如下：如图2，ADE与ABC都是等边三角形，AC=AB，AE=AD，DAE=BAC=60DAEBAE=BACBAE即CAE=BADCAEBAD（SAS）EC=DB（全等三角形的对应边相等）；CE+AB=DB+BC=CD，即CE+AB=CD12解：（1）BFD=60在等边三角形ABC与三角形CDA中，AB=AC，BAE=C=60，AE=CD，AEBCDAAEB=CDA，又DAC+ADC=180C=120，AEB+DAC=120，AFE=BFD=60（2）BAC=ACB=60，EAB=ACD=120，ABEACD，E=D，EAF=CAD，CAD+D=60，EAF+E=60，BFD=

13、6013猜想：AP=BP+PC，（1）证明：延长BP至E，使PE=PC，连接CE，BPC=120，CPE=60，又PE=PC，CPE为等边三角形，CP=PE=CE，PCE=60，ABC为等边三角形，AC=BC，BCA=60，ACB=PCE，ACB+BCP=PCE+BCP，即：ACP=BCE，ACPBCE（SAS），AP=BE，BE=BP+PE，AP=BP+PC（2）证明：在AD外侧作等边ABD，则点P在三角形ADB外，连接PB，BC，APD=120由（1）得PB=AP+PD，在PBC中，有PB+PCCB，PA+PD+PCCB，ABD、ABC是等边三角形，AC=AB，AB=AD，BAC=DAB=

14、60，BAC+CAD=DAB+CAD，即：BAD=CAB，ABCADB，CB=BD，PA+PD+PCBD14解：（1）判断：EN与MF相等（或EN=MF），点F在直线NE上，（2）成立连接DF，NF，证明DBM和DFN全等（AAS），ABC是等边三角形，AB=AC=BC又D，E，F是三边的中点，EF=DF=BFBDM+MDF=60，FDN+MDF=60，BDM=FDN，DBMDFN，BM=FN，DFN=FDB=60，NFBD，E，F分别为边AC，BC的中点，EF是ABC的中位线，EFBD，F在直线NE上，BF=EF，MF=EN（3）如图，MF与EN相等的结论仍然成立（或MF=NE成立）连接DF

15、、DE，由（2）知DE=DF，NDE=FDM，DN=DM，DNEDMF，MF=NE1516证明：（1）EDF=60，CDF+EDB=120，ABC是等边三角形，C=60，CDF+DFC=120，EDB=DFC；（2）D点由B点开始以1cm/秒的速度向C点运动，E点由B点开始以2cm/秒的速度向A点运动，t=3秒，BE=6，BD=3，CD=BCBD=93=6，EBDDFC，=，即=，CF=3，BE+CF=6+3=9（3）存在，理由如下EBDDFC，=，CF=cm，CD=，BD=9=，BE=9，即t=，当t=时，使得CF=cm17证明：ABC是等边三角形，BDAC，DBE=30，ACB=60，CE

16、=CD，CDE=E，ACB是CDE的外角，ACB=E+CDE=60，E=30，E=DBE=30，BD=DE，BDE是等腰三角形，DFBE，BF=EF，即BF=BE，DFC=90，ACB=60，FDC=30，CF=CD=CE，CF=EF，CF=BE18（1）解：ACDE；理由如下：ABC和ADE是等边三角形，BAC=DAE=60，AD为BC边上的中线，BD=CD，BAD=DAC=BAC=30，CAE=6030=30，DAC=CAE，AC垂直平分DE，即ACDE；（2）解：BC=2CE；理由如下：AC垂直平分DE，CD=CE，BD=CD，BC=2CE19解：（1）OCD是等边三角形，OC=CD，而

17、ABC是等边三角形，BC=AC，ACB=OCD=60，BCO=ACD，BOCADC，BOC=ADC，而BOC=150，ODC=60，ADO=15060=90，ADO是直角三角形；（2）设CBO=CAD=a，ABO=b，BAO=c，CAO=d，则a+b=60，b+c=180110=70，c+d=60，a+d=50DAO=50，bd=10，（60a）d=10，a+d=50，即CAO=50，要使AO=AD，需AOD=ADO，190=60，=125；要使OA=OD，需OAD=ADO，60=50，=110；要使OD=AD，需OAD=AOD，190=50，=140所以当为110、125、140时，三角形A

18、OD是等腰三角形20证明：以AB为轴作ABC的对称ABC，如图：则AC=AC，C=C=60，ABC=ABC，因为ABD=90DBC所以2ABD+DBC=180所以ABD+DBC+ABD=180即ABC+ABD=180所以ABC+ABD=180所以D、B、C共线又因为D=60所以DAC=180CD=60=D=C所以ADC是等边三角形，所以AD=AC=AC【作业】1201123 1204解：连接AA，点M是线段AC、线段AC的中点，AC=6，M=MC=AM=MC=3，MAC=30，MCA=MAC=30，MCB=18030=150，CMC=360（MCB+B+C）=180（150+60+90）=60

19、，AMA=CMC=60，AAM是等边三角形，AA=AM=3，故答案为：35 6解：（1）ABC是边长为6的等边三角形，ACB=60，BQD=30，QPC=90，设AP=x，则PC=6x，QB=x，QC=QB+BC=6+x，在RtQCP中，BQD=30，PC=QC，即6x=（6+x），解得x=2，AP=2；（2）当点P、Q同时运动且速度相同时，线段DE的长度不会改变理由如下：作QFAB，交直线AB于点F，连接QE，PF，又PEAB于E，DFQ=AEP=90，点P、Q速度相同，AP=BQ，ABC是等边三角形，A=ABC=FBQ=60，在APE和BQF中，AEP=BFQ=90，APE=BQF，APE

20、BQF（AAS），AE=BF，PE=QF且PEQF，四边形PEQF是平行四边形，DE=EF，EB+AE=BE+BF=AB，DE=AB，又等边ABC的边长为6，DE=3，点P、Q同时运动且速度相同时，线段DE的长度不会改变7解：（1）证明：AOB=COD=60，AOB+BOC=COD+BOC，AOC=BODAOCBOD（SAS），AC=BD；证明：AOCBOD，OAC=OBD，OAC+AOB=OBD+APB，OAC+60=OBD+APB，APB=60；（2）AC=BD，APB=8解：（1）如图1，过A作ADOB于D，B点坐标为（4，0），OB=4，AOB是等边三角形，OD=OB=2，OAB的面积

21、为4，=4，AD=2，A点的坐标为：（2.2）；（2）BQ=2t；（3）如图2，当点P在线段AB上时，ABO是等边三角形，ABO=60，PQB=30，BPQ=30，PQB=BPQ，PB=BQ，即42t=2t，t=1，当P在射线AB上时，如图3，连接PQ，ABO是等边三角形，ABO=60，PBQ=ABO=60，PQB=30，BPQ=90，BQ=2PB，即2t=2（2t4），t=4，当t=1或4时，PQB=30910证明：延长BD至E，使CD=DE，连接AE，AD，BD+CD=AB，BE=BD+DE，BE=AB，ABD=60，ABE是等边三角形，AE=AB=AC，E=60，在ACD和ADE中，ACDADE（SSS），ACD=E=60