部编人教版数学九年级下册《锐角三角函数》省优质课一等奖教案.docx

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部编人教版数学九年级下册《锐角三角函数》省优质课一等奖教案

第二十八章　锐角三角函数

28．1　锐角三角函数

第1课时　锐角的正弦

教学目标：

1．经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实．

2．能根据正弦概念正确进行计算．

理解正弦（sinA）概念，知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实．

对当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值的事实理解．

一、创设情景　明确目标

复习提问：

1．以前我们学习了哪些函数？

（正比例函数，一次函数，二次函数）

2．函数定义是什么？

（在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．）我们今天学习一种新的函数．

二、自主学习　指向目标

1．自主学习教材第61至63页．

2．学习至此，请完成学生用书相应部分．

三、合作探究　达成目标

探究点一　正弦函数的概念的形成

活动一：

阅读教材，思考完成下面两个问题

1．在书本第61页问题中，如果使出水口的高度为50m，那么需要准备的水管的长度为__100m__；如果使出水口的高度为αm，那么需要准备的水管的长度为__2αm__．

2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，当∠A＝45°时，若直角边为5，则斜边为__5__；若直角边为α，则斜边为____α.

展示点评：

1.直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值为定值，等于.

2．直角三角形中，45°角的对边与斜边的比值为定值等于.

小组讨论1：

任意画Rt△ABC和Rt△A′B′C′，使得∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′＝a，那么与有什么关系，你能证明吗？

（证明：

因为∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′＝a，所以Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，＝，即＝）

反思小结：

在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比为定值．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的对边记作a，∠C的对边记作c.我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA＝＝

【针对训练】

1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，当∠A＝30°时，我们有sinA＝____．

2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，当∠A＝60°时，我们有sinA＝____．

探究点二　锐角的正弦值的计算

活动二：

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．

先应用勾股定理求出图

（1）中的AB和图

（2）中的AC长，再根据正弦的定义求解．

展示点评：

（1）sinA＝，sinB＝；

（2）sinA＝，sinB＝.

小组讨论2：

计算一个锐角的正弦值，必须将其放在什么形状的三角形中思考求解？

还应注意什么？

反思小结：

计算一个锐角的正弦值要注意两个方面的问题．一是确定__这个锐角所在的直角三角形__；二是要注意正弦等于__这个锐角的对边与斜边的比__．

【针对训练】

见学生用书

四、总结梳理　内化目标

知识小结：

1．在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比都是定值．

2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的__正弦__，记作__sinA__．

五、达标检测　反思目标

1．sin30°的值为____．

2．如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，若AB＝5，AC＝4，则sinA等（A）

A.　　　　　　B.

C.D.

3．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，sinA＝，则边AC的长是（D）

A.　　　　B．3　　　　C.　　　　D.

4．如图，已知点P的坐标是（a，b），则sinα等于（D）

A.　　B.　　C.　　D.

第4题图

第5题图

5．如图，在半径为1的⊙O中，∠AOB＝45°，则sinC的值为（B）

A.　　B.　　C.　　D.

作业布置：

1．上交作业　课本第68页，习题28.1复习巩固第1、2题．（只做与正弦函数有关的部分）

2．课后作业见“学生用书”．

教学反思：

在教学过程中，重视过程，深化理解，通过学生的主动探究来体现他们的主体地位，教师是通过对学生参与学习的启发、调整、激励来体现自己的引导作用，对学生的主体意识和合作交流的能力起着积极作用．

第2课时　锐角的余弦与正切

教学目标：

1．使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的邻边与斜边、对边与邻边的比值也都固定这一事实．

2．逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力．

理解余弦、正切的概念．

熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算．

一、创设情景　明确目标

一般地，当∠A取其他一定度数的锐角时，它的邻边与斜边的比是否也是一个固定值？

对边与邻边的比呢？

二、自主学习　指向目标

1．自主学习教材第7至8页．

2．学习至此，请完成学生用书相应部分．

三、合作探究　达成目标

探究点一　锐角A的余弦和正切的概念的形成

活动一：

如图：

Rt△ABC与Rt△A′B′C′，∠C＝∠C′＝90°，∠B＝∠B′＝α，

那么与有什么关系？

分析：

由于∠C＝∠C′＝90°，∠B＝∠B′＝α，所以Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，

＝，即＝

展示点评：

在直角三角形中，当锐角B的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠B的邻边与斜边的比也是一个固定值．

小组讨论1：

锐角的余弦、正切的定义是怎样的？

如何表示另一个锐角的余弦、正切？

锐角三角函数在现阶段指的是哪几个？

反思小结：

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角B的邻边与斜边的比叫做∠B的余弦，记作cosB即cosB＝＝；类似地，把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切．记作tanA，即tanA＝＝，锐角A的正弦，余弦，正切都叫做∠A的锐角三角函数．

【针对训练】

同学生用书

探究点二　根据锐角的已知三角函数值，求其它三角函数值

活动二：

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，求sinA、cosA、tanA的值．

展示点评：

先用勾股定理求出AC长，然后解锐角A的三角函数的　义计算求解．

解：

由勾股定理得AC＝＝＝8.因此sinA＝＝＝，cosA＝＝＝，tanA＝＝＝.

小组讨论2：

锐角三角函数值的实质是什么？

如何求？

反思小结：

三角函数值实质上就是直角三角形两边的比值，所以已知一锐角的三角函数值，求其它三角函数值时，有时需将三角函数转化为线段比，通过设k，并用含k的式子表示出直角三角形各边的长，利用三角函数的定义求出其它三角函数值．

【针对训练】

同学生用书

四、总结梳理　内化目标

知识点小结：

余弦和正切的概念

在Rt△ABC中，∠C＝90°，把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA＝＝；把∠A的__对边与邻边的比__叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA＝＝.

五、达标检测　反思目标

1．在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边，则有（C）

A．b＝a·tanA　　　B．b＝c·sinA　　　C．a＝c·cosB　　　D．c＝a·sinA

2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果cosA＝那么tanB的值为（D）

A.B.C.D.

3．如图：

P是∠α的边OA上一点，且P点的坐标为（3，4），则cosα＝____．

4．已知：

Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，AB＝15，则AC的长是（C）

A．3B．6C．9D．12

5．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C＝45°，sinB＝，AD＝1.

（1）求BC的长；

（2）求tan∠DAE的值．

解：

（1）在△ABC中，

∵AD是BC边上的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.在△ADC中，∵∠ADC＝90°，∠C＝45°，AD＝1，∴DC＝AD＝1.在△ADB中，∵∠ADB＝90°，sinB＝，AD＝1，∴AB＝＝3，∴BD＝＝2，∴BC＝BD＋DC＝2＋1；

（2）∵AE是BC边上的中线，∴CE＝BC＝＋，∴DE＝CE－CD＝－，∴tan∠DAE＝＝－.

作业布置：

1．上交作业　课本第68页，习题28.1复习巩固第1题、第2题．（只做与余弦、正切函数有关的部分）第4、6题．

2．课后作业　见学生用书．

教学反思：

在数学学习中，有一些学生往往不注重基本概念、基础知识，认为只要会做题就可以了，结果往往失分于选择题、填空题等一些概念性较强的题目．通过引导学生进行知识梳理，教会学生如何进行知识的归纳、总结，进一步帮助学生理解、掌握基本概念和基础知识．

第3课时　特殊锐角的三角函数值

教学目标：

1．能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值．

2．会利用特殊角的三角函数值进行计算．

熟记30°、45°、60°角的三角函数值，熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式．

30°、45°、60°角的三角函数值的推导过程．

一、创设情景　明确目标

还记得我们推导正弦关系的时候所得到的结论吗？

即sin30°＝，sin45°＝，你还能推导出sin60°的值及30°、45°、60°角的其它三角函数值吗？

二、自主学习　指向目标

1．自主学习教材第66至67页．

2．学习至此，请完成学生用书相应部分．

三、合作探究　达成目标

探究点一　含特殊角三角函数值的计算

活动一：

让学生画30°、45°、60°的直角三角形，分别求sin30°、cos45°、tan60°.

30°

45°

60°

sinA

cosA

tanA

例1　求下列各式的值．

（1）cos260°＋sin260°；　

（2）－tan45°.

展示点评：

sin260°表示（sin60°）2，即（sin60°）·（sin60°），熟记特殊锐角三角函数值是准确计算求解的前提．

解：

（1）原式＝（）2＋（）2＝1；

（2）原式＝÷－1＝0.

小组讨论1：

在这两个式子中包含几种运算？

运算顺序是怎样的？

计算求解时要注意什么？

反思小结：

含特殊角三角函数值的计算中，一要注意__运算顺序和法则__，二要注意__特殊角三角函数值的__准确带入．

【针对训练】

见学生用书

探究点二　由函数值求特殊角

活动二：

（1）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝，BC＝，求∠A的度数．

（2）如图②，已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的倍，求a.

展示点评：

锐角三角函数值是特殊值时，可以根据特殊角的三角函数值表示求解的度数．

解：

（1）在图①中，∵sinA＝＝＝，∴∠A＝45°

（2）在图②中，∵tanα＝＝＝，∴α＝60°.

小组讨论2：

已知锐角的三角函数值求锐角的关键是什么？

你是怎样理解和记忆的？

反思小结：

已知锐角的三角函数值求锐角，关键是熟记特殊角的三角函数值．一方面，要会借助两个基本直角三角形，推导30°、45°、60°角的三角函数值；另一方面，可以根据特殊角的三角且数值表反映的规律记忆．

【针对训练】

见学生用书

四、总结梳理　内化目标

要牢记下表：

30°

45°

60°

sinA

cosA

tanA

1

　　五、达标检测　反思目标

1．下列各式中不正确的是（B）

A．sin260°＋cos260°＝1　　　B．sin30°＋cos30°＝1

C．sin35°＝cos55°D．tan45°>sin45°

2．计算2sin30°－2cos60°＋tan45°的结果是（D）

A．2　　　　B.　　　　C.　　　　D．1

3．在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA＝，cosB＝，则△ABC的形状是（B）

A．直角三角形B．钝角三角形

C．锐角三角形D．不能确定

4．式子2cos30°－tan45°－的值是（B）

A．2－2　　B．0　　C．2　　D．2

5．先化简，再求代数式－÷的值，其中a＝6tan60°－2.

解：

原式＝－·＝－＝

∵a＝6tan30°－2＝6×－2＝2－2，

∴原式＝＝＝

作业布置：

1．上交作业　课本第69页习题28.1第3、10题．

2．课后作业　见学生用书．

教学反思：

课程设计中引入非常直接，直击课题，同时也对前两节学习的知识进行了整体的复习，效果很好．在讲解特殊角的三角函数值时讲解得很细，可以说前面部分的教学很成功，学生理解得很好．