模型24 活塞封闭气缸模型解析版.docx
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模型24活塞封闭气缸模型解析版
模型24活塞封闭气缸（解析版）
1.常见类型
（1）气体系统处于平衡状态,需综合应用气体实验定律和物体的平衡条件解题。
（2）气体系统处于力学非平衡状态,需要综合应用气体实验定律和牛顿运动定律解题。
（3）封闭气体的容器（如汽缸、活塞）与气体发生相互作用的过程中,如果满足守恒定律的适用条件,可根据相应的守恒定律解题。
（4）两个或多个汽缸封闭着几部分气体,并且汽缸之间相互关联的问题,解答时应分别研究各部分气体,找出它们各自遵循的规律,并写出相应的方程,还要写出各部分气体之间压强或体积的关系式,最后联立求解。
2.解题思路
（1）弄清题意,确定研究对象,一般地说,研究对象分两类:
一类是热学研究对象（一定质量的理想气体）;另一类是力学研究对象（汽缸、活塞或某系统）。
（2）分析清楚题目所述的物理过程,对热学研究对象分析清楚初、末状态及状态变化过程,依据气体实验定律列出方程;对力学研究对象要正确地进行受力分析,依据力学规律列出方程。
（3）注意挖掘题目的隐含条件,如几何关系等,列出辅助方程。
（4）多个方程联立求解。
对求解的结果应注意检验它们的合理性。
多个系统相互联系的一定质量气体问题,往往以压强建立起系统间的关系,各系统独立进行状态分析,要确定每个研究对象的变化性质,分别应用相应的实验定律,并充分应用各研究对象之间的压强、体积、温度等量的有效关联,若活塞可自由移动,一般要根据活塞平衡确定两部分气体的压强关系。
【典例1】如图所示,足够长的圆柱形汽缸竖直放置,其横截面积为1×10-3m2,汽缸内有质量m=2kg的活塞,活塞与汽缸壁封闭良好,不计摩擦。
开始时活塞被销子K销于如图所示位置,离缸底12cm,此时汽缸内被封闭气体的压强为1.5×105Pa,温度为300K。
外界大气压强p0=1.0×105Pa,g=10m/s2。
（1）现对密闭气体加热,当温度升到400K时,其压强为多大?
（2）若在
（1）的条件下拔去销子K,活塞开始向上运动,当它最后静止在某一位置时,汽缸内气体的温度为360K,则这时活塞离缸底的距离为多少?
【答案】
（1）2×105Pa
（2）18cm
【解析】
（1）根据查理定律,得
=
解得p2=2×105Pa。
（2）活塞静止时,缸内气体的压强
p3=p0+
=1.2×105Pa
根据气体的状态方程,得
=
解得l3=18cm。
【变式训练1】如图，柱形容器内用不漏气的轻质绝热活塞封闭一定量的理想气体，容器外包裹保温材料。
开始时活塞至容器底部的高度为H1，容器内气体温度与外界温度相等。
在活塞上逐步加上多个砝码后，活塞下降到距容器底部H2处，气体温度升高了△T；然后取走容器外的保温材料，活塞位置继续下降，最后静止于距容器底部H3处：
已知大气压强为p0。
求：
气体最后的压强与温度。
解析：
对取走容器外的保温材料，活塞位置继续下降的等压过程，由盖吕萨克定律，
=
解得：
T0=
△T
从初状态到最后状态，温度相同，由玻意耳定律：
p0H1S=p3H3S，解得：
p3=
p0。
【典例2】如图，在水平放置的刚性气缸内用活塞封闭两部分气体A和B，质量一定的两活塞用杆连接。
气缸内两活塞之间保持真空，活塞与气缸璧之间无摩擦，左侧活塞面积较大，A、B的初始温度相同。
略抬高气缸左端使之倾斜，再使A、B升高相同温度，气体最终达到稳定状态。
若始末状态A、B的压强变化量△pA、△pB均大于零，对活塞压力的变化量为△FA、△FB，则
（A）A体积增大（B）A体积减小（C）△FA
△FB（D）△pA<△pB
【答案】AD
【解析】以两个活塞和杆整体为研究对象，初始时刻，
，将左端倾斜平衡后，由于温度升高，气体体积变大，活塞向B端移动。
A项正确，B项错误；仍以两个活塞为研究对象，
；△pA<△pB，D项正确；压力的变化量：
△FA＜△FB，C项错误。
【变式训练2】如图，绝热气缸A与导热气缸B均固定于地面，由刚性杆连接的绝热活塞与两气缸间均无摩擦。
两气缸内装有处于平衡状态的理想气体，开始时体积均为
、温度均为
。
缓慢加热A中气体，停止加热达到稳定后，A中气体压强为原来的1.2倍。
设环境温度始终保持不变，求气缸A中气体的体积
和温度
。
【解析】设初态压强为
，膨胀后A，B压强相等
（1分）
B中气体始末状态温度相等
（3分）
∴
（1分）
A部分气体满足
（4分）
∴
（1分）
【典例3】（2019南昌二中1月质检）如图所示,两个截面积均为S的圆柱形容器,左右两边容器的高均为H,右边容器上端封闭,左边容器上端是一个可以在容器内无摩擦滑动的轻活塞（重力不计）,两容器由装有阀门的极细管道（体积忽略不计）相连通。
开始时阀门关闭,左边容器中装有热力学温度为T0的理想气体,平衡时活塞到容器底的距离为H,右边容器内为真空。
现将阀门缓慢打开,活塞便缓慢下降,直至系统达到平衡,此时被封闭气体的热力学温度为T,且T>T0。
求此过程中外界对气体所做的功。
已知大气压强为p0。
【答案】p0SH
【解析】打开阀门后,气体通过细管进入右边容器,活塞缓慢向下移动,气体作用于活塞的压强仍为p0。
活塞对气体的压强也是p0。
设达到平衡时活塞的高度为x,气体的温度为T,根据理想气体状态方程得
=
解得x=
H
此过程中外界对气体所做的功
W=p0S（H-x）=p0SH
。
【变式训练3】汽缸由两个横截面不同的圆筒连接而成,活塞A、B被轻质刚性细杆连接在一起,活塞可无摩擦移动,活塞A、B的质量分别为m1=24kg、m2=16kg,横截面积分别为S1=6.0×10-2m2,S2=4.0×10-2m2,一定质量的理想气体被封闭在两活塞之间,活塞外侧大气压强p0=1.0×105Pa。
（1）如图甲所示,汽缸水平放置达到平衡状态时,求内部气体的压强。
（2）已知水平放置平衡时气体的体积V=2.0×10-2m3,现保持温度不变将汽缸竖直放置,如图乙所示,取重力加速度g=10m/s2。
达到平衡后,活塞在汽缸内移动的距离为多少?
（活塞A还未到达汽缸连接处）
【答案】
（1）1.0×105Pa
（2）0.17m
【解析】
（1）设汽缸内气体压强为p1,对于活塞和杆,由力的平衡条件,有p0S1+p1S2=p1S1+p0S2
得p1=p0=1.0×105Pa。
（2）当汽缸竖直放置时,设缸内气体压强变为p2,由力的平衡条件,有p0S1+p2S2+（m1+m2）g=p2S1+p0S2
得p2=p0+
=1.2×105Pa
设活塞向下移动了L,气体的体积V'=V-S1L+S2L
气体做等温变化,有p1V=p2V'
得L≈0.17m。
【典例4】（2019四川成都开学模拟）如图所示,竖直放置的导热汽缸,活塞横截面积S=0.01m2,可在汽缸内无摩擦滑动,汽缸侧壁有一个小孔与装有水银的U形玻璃管相通,汽缸内封闭了一段高H=70cm的气柱（U形管内的气体体积不计）。
已知活塞质量m=6.8kg,大气压强p0=1×105Pa,水银密度ρ=13.6×103kg/m3,重力加速度g=10m/s2。
（1）求U形管中左管与右管的水银面的高度差h1。
（2）在活塞上加一竖直向上的拉力使U形管中左管水银面高出右管水银面h2=5cm,求活塞平衡距汽缸底部的高度H'。
【答案】
（1）5cm
（2）80.2cm
【解析】
（1）以活塞为研究对象有p0S+mg=p1S
所以p1=p0+
又根据液柱高度差可知p1=p0+ρgh1
所以有
=ρgh1
解得h1=5cm。
（2）活塞上加一竖直向上的拉力
封闭气体的压强p2=p0-ρgh2=93200Pa
初始时封闭气体的压强p1=p0+ρgh1=106800Pa
汽缸内的气体发生的是等温变化,根据玻意耳定律,有p1HS=p2H'S
解得H'≈80.2cm。
【变式训练4】（2018江西临川一中冲刺）如图所示,一绝缘良好的汽缸固定在水平地面上,通过活塞封闭有一定质量的理想气体,活塞与缸壁的摩擦可忽略不计,活塞的横截面积S=100cm2。
活塞与水平平台上的物块A用水平轻杆连接,在平台上有另一物块B,A、B的质量均为m=62.5kg,物块与平台间的动摩擦因数μ=0.8,两物块的间距d=10cm。
开始时活塞距缸底L1=10cm,缸内气体压强p1等于外界大气压强p0（p0=1×105Pa）,温度t=27℃。
现对汽缸内的气体缓慢加热,g取10m/s2,求:
（1）物块A开始移动时,汽缸内的温度。
（2）物块B开始移动时,汽缸内的温度。
【答案】
（1）450K
（2）1200K
【解析】
（1）物块A开始移动前气体做等容变化,则有
p2=p0+
=1.5×105Pa
由查理定律有
=
代入数据解得T2=450K。
（2）物块A开始移动后,气体做等压变化,到A与B刚接触时,有p3=p2=1.5×105Pa,V3=（L1+d）S
由盖—吕萨克定律有
=
代入数据解得T3=900K
之后气体又做等容变化,设物块A和B一起开始移动时气体的温度为T4,则p4=p0+
=2.0×105Pa,V4=V3
由查理定律有
=
代入数据解得T4=1200K。
【典例5】（2017全国卷Ⅱ,33）（多选）如图所示,用隔板将一绝热汽缸分成两部分,隔板左侧充有理想气体,隔板右侧与绝热活塞之间是真空。
现将隔板抽开,气体会自发扩散至整个汽缸。
待气体达到稳定后,缓慢推压活塞,将气体压回到原来的体积。
假设整个系统不漏气。
下列说法正确的是（ ）。
A.气体自发扩散前后内能相同
B.气体在被压缩的过程中内能增大
C.在自发扩散过程中,气体对外界做功
D.气体在被压缩的过程中,外界对气体做功
E.气体在被压缩的过程中,气体分子的平均动能不变
【解析】气体向真空扩散的过程中不对外做功,且又因为汽缸绝热,可知气体自发扩散前后内能相同,A项正确,C项错误;气体在被压缩的过程中活塞对气体做功,因汽缸绝热,所以气体内能增大,B、D两项正确;气体在被压缩的过程中,气体内能增加,温度升高,气体分子的平均动能增加,E项错误。
【答案】ABD
【变式训练5】[2018全国卷Ⅰ,33
（2）]如图,容积为V的汽缸由导热材料制成,面积为S的活塞将汽缸分成容积相等的上下两部分,汽缸上部通过细管与装有某种液体的容器相连,细管上有一阀门K。
开始时,K关闭,汽缸内上下两部分气体的压强均为p0。
现将K打开,容器内的液体缓慢地流入汽缸,当流入的液体体积为
时,将K关闭,活塞平衡时其下方气体的体积减小了
。
不计活塞的质量和体积,外界温度保持不变,重力加速度大小为g。
求流入汽缸内液体的质量。
【答案】
【解析】设活塞再次平衡后,活塞上方气体的体积为V1,压强为p1;下方气体的体积为V2,压强为p2。
在活塞下移的过程中,活塞上、下方气体的温度均保持不变,由玻意耳定律得
p0
=p1V1
p0
=p2V2
由已知条件得
V1=
+
-
=
V
V2=
-
=
设活塞上方液体的质量为m,由力的平衡条件得
p2S=p1S+mg
联立以上各式得m=
。
【典例6】[2018全国卷Ⅱ,33
（2）]如图,一竖直放置的汽缸上端开口,汽缸壁内有卡口a和b,a、b间距为h,a距缸底的高度为H;活塞只能在a、b间移动,其下方密封有一定质量的理想气体。
已知活塞质量为m,面积为S,厚度可忽略;活塞和汽缸壁均绝热,不计它们之间的摩擦。
开始时活塞处于静止状态,上、下方气体压强均为p0,温度均为T0。
现用电热丝缓慢加热汽缸中的气体,直至活塞刚好到达b处。
求此时汽缸内气体的温度以及在此过程中气体对外所做的功。
重力加速度大小为g。
【答案】
T0 （p0S+mg）h
【解析】开始时活塞位于a处,加热后,汽缸中的气体先经历等容过程,直至活塞开始运动。
设此时汽缸中气体的温度为T1,压强为p1,根据查理定律有
=
根据力的平衡条件有
p1S=p0S+mg
联立可得T1=
T0
此后,汽缸中的气体经历等压过程,直至活塞刚好到达b处,设此时汽缸中气体的温度为T2;活塞位于a处和b处时气体的体积分别为V1和V2。
根据盖—吕萨克定律有
=
式中V1=SH,V2=S（H+h）
联立解得T2=
T0
从开始加热到活塞到达b处的过程中,汽缸中的气体对外做的功
W=（p0S+mg）h。
【变式训练6】[2017全国卷Ⅰ,33
（2）]如图所示,容积均为V的汽缸A、B下端有细管（容积可忽略）连通,阀门K2位于细管的中部,A、B的顶部各有一阀门K1、K3;B中有一可自由滑动的活塞（质量、体积均可忽略）。
初始时,三个阀门均打开,活塞在B的底部;关闭K2、K3,通过K1给汽缸充气,使A中气体的压强达到大气压p0的3倍后关闭K1。
已知室温为27℃,汽缸导热。
（1）打开K2,求稳定时活塞上方气体的体积和压强。
（2）接着打开K3,求稳定时活塞的位置。
（3）再缓慢加热汽缸内气体使其温度升高20℃,求此时活塞下方气体的压强。
【答案】
（1）
2p0
（2）顶部 （3）1.6p0
【解析】
（1）设打开K2后,稳定时活塞上方气体的压强为p1,体积为V1。
依题意,被活塞分开的两部分气体都经历等温过程。
由玻意耳定律得p0V=p1V1
（3p0）V=p1（2V-V1）
联立上式得V1=
p1=2p0。
（2）打开K3后,由上式知,活塞必定上升。
设在活塞下方气体与A中气体的体积之和为V2（V2≤2V）时,活塞下方气体压强为p2,由玻意耳定律得（3p0）V=p2V2
解得p2=
p0
由上式知,打开K3后活塞上升至B的顶部为止,此时
p2=
p0。
（3）设加热后活塞下方气体的压强为p3,气体温度从T1=300K升高到T2=320K的等容过程中,由查理定律得
=
将有关数据代入得p3=1.6p0。
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