中考数学专题复习圆.docx
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中考数学专题复习圆
中考数学专题复习------圆
【教学笔记】
一、与圆有关的计算问题（重点）
1、
扇形面积的计算
扇形：
扇形面积公式
：
圆心角
：
扇形对应的圆的半径
：
扇形弧长
：
扇形面积
圆锥侧面展开图：
（1）
=
（2）圆锥的体积：
2、弧长的计算：
弧长公式
；
3、角度的计算
二、圆的基本性质（重点）
1、切线的性质：
圆的切线垂直于经过切点的半径．
2、圆周角定理：
一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半；
推论：
（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；
（2）相等的圆周角所对的弧也相等。
（3）半圆（直径）所对的圆周角是直角。
（4）90°的圆周角所对的弦是直径。
注意：
在圆中，同一条弦所对的圆周角有无数个。
3、垂径定理定理：
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧
推论：
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直与这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧
（2）弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧
（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧
（4）在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等
三、圆与函数图象的综合
一、
与圆有关的计算问题
【例1】（2016•资阳）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2
，以点B为圆心，BC的长为半径作弧，交AB于点D，若点D为AB的中点，则阴影部分的面积是（ ）
A．2
﹣
πB．4
﹣
πC．2
﹣
πD．
π
【解答】解：
∵D为AB的中点，∴BC=BD=
AB，∴∠A=30°，∠B=60°．∵AC=2
，
∴BC=AC•tan30°=2
•
=2，∴S阴影=S△ABC﹣S扇形CBD=
×2
×2﹣
=2
﹣
π．
故选A．
【例2】（2014•资阳）如图，扇形AOB中，半径OA=2，∠AOB=120°，C是
的中点，连接AC、BC，则图中阴影部分面积是（ ）
A．
﹣2
B．
﹣2
C．
﹣
D．
﹣
解答：
连接OC，
∵∠AOB=120°，C为弧AB中点，∴∠AOC=∠BOC=60°，∵OA=OC=OB=2，
∴△AOC、△BOC是等边三角形，∴AC=BC=OA=2，
∴△AOC的边AC上的高是
=
，△BOC边BC上的高为
，
∴阴影部分的面积是
﹣
×2×
+
﹣
×2×
=
π﹣2
，故选A．
【例3】（2013•资阳）钟面上的分针的长为1，从9点到9点30分，分针在钟面上扫过的面积是（ ）
A．
π
B．
π
C．
π
D．
π
解答：
从9点到9点30分分针扫过的扇形的圆心角是180°，
则分针在钟面上扫过的面积是：
=
π．故选：
A．
【例4】（2015成都）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和BC弧线的长分别为（）
A．2，
B．
，
C．
，
D．
，
【课后练习】
1、
（2015南充）如图，PA和PB是⊙O的切线，点A和B的切点，AC是⊙O的直径，已知∠P=40°，则∠ACB的大小是（ B ）
A．40°B．60°C．70°D．80°
2、（2015达州）如图，直径AB为12的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B旋转到点B′，则图中阴影部分的面积是（ B ）
A．12πB．24πC．6πD．36π
3、
（2015内江
）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=1
20°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为（ ）
A．40°B．35°C．30°D．45°
解析：
连接BD，∵∠DAB=180°-∠C=50°，AB是直径，∴∠ADB=90°，∠ABD=90°-∠DAB=40°，∵PD是切线，∴∠ADP=∠B=40°．故选A．
4、（2015自贡）如图，AB是⊙O
的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝
，则阴影部分的面积为
A．2πB．πC．
D．
解析：
∠BOD＝60°
5、（2015凉山州）如图，△ABC内接于⊙O，∠OBC=40°，则∠A的度数为（ ）
A．80°B．100°C．110°D．130°
6、（2015凉山州）将圆心角为90°，面积为4πcm2的扇形围成一个圆锥的侧面，则所围成的圆锥的底面半径（）
A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm
7、（2015泸州）如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，若∠C=65°，则∠P的度数为（ ）
A．65°B．130°C．50°D．100°
8、（2015眉山）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACO=450，则∠B的度数为（）
A．300B．350C．400D450
9、（2015巴中）如图，在⊙O中，弦AC∥半径OB，∠BOC=50°，则∠OAB的度数为（ ）
A．25°B．50°C．60°D．30°
10、（2015攀枝花）如图，已知⊙O的一条直径AB与弦CD相交于点E，且AC=2，AE=
，CE=1，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
11、（2015甘孜州）如图，已知扇形AOB的半径为2，圆心角为90°，连接AB，则图中阴影部分的面积是（）
A．π﹣2B．π﹣4C．4π﹣2D．4π﹣4
12、（2015
达州）已知正六边形ABCDEF的边心距为
cm，则正六边形的半径为cm．
13、（2015自贡）如图，已知AB是⊙O的一条直径，延长AB至C点，使AC=3BC，CD与⊙O相切于D点．若CD＝
，则劣弧AD的长为．
14、（2015遂宁）在半径
为5cm的⊙O中，45°的圆心角所对的弧长为cm．
15、（2015宜宾）如图，AB为⊙O的直径，延长AB至点D，使BD=OB，DC切⊙O于点C，点B是
的中点，弦CF交AB于点E．
若⊙O的半径为2，则CF=．
16、（2015泸州）用一个圆心角为120°，半
径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是
．
17、（2015眉山）已知⊙O的内接正六边形周长为12cm，则这个圆的半经是_________cm．
18、（2015广安）如图，A．B．C三点在⊙O上，且∠AOB=70°，则∠C=度．
19、24．（2015巴中）圆心角为60°，半径为4cm的扇形的弧长为cm．
20、（2015甘孜州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分半径OA，则∠ABC的大小为度．
二、圆的基本性质
【例1】（2016•资阳）如图，在⊙O中，点C是直径AB延长线上一点，过点C作⊙O的切线，切点为D，连结BD．
（1）求证：
∠A=∠BDC；
（2）若CM平分∠ACD，且分别交AD、BD于点M、N，当DM=1时，求MN的长．
【解答】解：
（1）如图，连接OD，
∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即∠A+∠ABD=90°，
又∵CD与⊙O相切于点D，∴∠CDB+∠ODB=90°，
∵OD=OB，∴∠ABD=∠ODB，∴∠A=∠BDC；
（2）∵CM平分∠ACD，∴∠DCM=∠ACM，
又∵∠A=∠BDC，∴∠A+∠ACM=∠BDC+∠DCM，即∠DMN=∠DNM，∵∠ADB=90°，DM=1，∴DN=DM=1，∴MN=
=
．
【例2】（2015•资阳）如图11，在△ABC中，BC是以AB为直径的⊙O的切线，且⊙O与AC相交于点D，E为BC的中点，连接DE.
（1）求证：
DE是⊙O的切线；
（2）连接AE，若∠C=45°，求sin∠CAE的值.
解答：
解：
（1）连接OD，BD，∴OD=OB∴∠ODB=∠OBD．
∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴∠CDB=90°．
∵E为BC的中点，∴DE=BE，∴∠EDB=∠EBD，
∴∠ODB+∠EDB=∠OBD+∠EBD，即∠EDO=∠EBO．
∵BC是以AB为直径的⊙O的切线，∴AB⊥BC，∴∠EBO=90°，∴∠ODE=90°，
∴DE是⊙O的切线；
（2）作EF⊥CD于F，设EF=x
∵∠C=45°，∴△CEF、△ABC都是等腰直角三角形，∴CF=EF=x，
∴BE=CE=
x，∴AB=BC=2
x，在RT△ABE中，AE=
=
x，
∴sin∠CAE=
=
．
【例3】（2014•资阳）如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线并在其上取一点C，连接OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于E，连接AD．
（1）求证：
△CDE∽△CAD；
（2）若AB=2，AC=2
，求AE的长．
解答：
（1）证明：
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠B+∠BAD=90°，
∵AC为⊙O的切线，∴BA⊥AC，∴∠BAC=90°，即∠BAD+∠DAE=90°，∴∠B=∠CAD，
∵OB=OD，∴∠B=∠ODB，而∠ODB=∠CDE，∴∠B=∠CDE，∴∠CAD=∠CDE，
而∠ECD=∠DCA，∴△CDE∽△CAD；
（2）解：
∵AB=2，∴OA=1，
在Rt△AOC中，AC=2
，∴OC=
=3，∴CD=OC﹣OD=3﹣1=2，
∵△CDE∽△CAD，∴
=
，即
=
，∴CE=
．
【例4】（2013•资阳）在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．
（1）如图1，若点D与圆心O重合，AC=2，求⊙O的半径r；
（2）如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC=25°，请直接写出∠DCA的度数．
解答：
（1）如图，过点O作OE⊥AC于E，则AE=
AC=
×2=1，
∵翻折后点D与圆心O重合，∴OE=
r，
在Rt△AOE中，AO2=AE2+OE2，即r2=12+（
r）2，解得r=
；
（2）连接BC，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=25°，∴∠B=90°﹣∠BAC=90°﹣25°=65°，
根据翻折的性质，
所对的圆周角等于
所对的圆周角，
∴∠DCA=∠B﹣∠A=65°﹣25°=40°．
【课后练习】
1、
（2015达州）如图，AB为半圆O的在直径，AD、BC分别切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，连接OD、OC，下列结论：
①∠DOC=90°，②AD+BC=CD，③
，④OD：
OC=DE：
EC，⑤
，正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
解析：
如图，连接OE，
∵AD与圆O相切，DC与圆O相切，BC与圆O相切，
∴∠DAO=∠DEO=∠OBC=90°，∴DA=DE，CE=CB，AD∥BC。
∴CD=DE+EC=AD+BC。
结论②正确。
在Rt△ADO和Rt△EDO中，OD=OD，DA=DE，∴Rt△ADO≌Rt△EDO（HL）
∴∠AOD=∠EOD。
同理Rt△CEO≌Rt△CBO，∴∠EOC=∠BOC。
又∠AOD+∠DOE+∠EOC+∠COB=180°，
∴2（∠DOE+∠EOC）=180°，即∠DOC=90°。
结论⑤正确。
∴∠DOC=∠DEO=90°。
又∠EDO=∠ODC，∴△EDO∽△ODC。
∴
，即OD2=DC•DE。
结论①正确。
而
，结论④错误。
由OD不一定等于OC，结论③错误。
∴正确的选项有①②⑤。
故选A。
2
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