人教版初三上册数学二次函数练习题.docx

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人教版初三上册数学二次函数练习题

二次函数练习题1

一．选择题（共10小题）

1．下列函数关系中，是二次函数的是（　　）

A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系

B．当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系

C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系

D．圆心角为120°的扇形面积S与半径R之间的关系

2．若二次函数y=ax2的图象经过点P（﹣2，4），则该图象必经过点（　　）

A．（2，4）B．（﹣2，﹣4）C．（﹣4，2）D．（4，﹣2）

3．在函数①y=3x2；②

；③

中，图象开口按从大到小的顺序排列的是（　　）

A．①②③B．①③②C．②③①D．②①③

4．下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而增大的是（　　）

A．y=﹣x+1B．y=x2﹣1C．y=

D．y=﹣x2+1

5．抛物线y=2（x﹣3）2可以看作是由抛物线y=2x2按下列何种变换得到的（　　）

A．向左平移3个单位长度B．向右平移3个单位长度

C．向上平移3个单位长度D．向下平移3个单位长度

6．要将抛物线y=x2+2x+3平移后得到抛物线y=x2，下列平移方法正确的是（　　）

A．向左平移1个单位，再向上平移2个单位

B．向左平移1个单位，再向下平移2个单位

C．向右平移1个单位，再向上平移2个单位

D．向右平移1个单位，再向下平移2个单位

7．如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（　　）

A．y=

B．y=

C．y=

D．y=

8．已知点（x1，y1），（x2，y2）均在抛物线y=x2﹣1上，下列说法中正确的是（　　）

A．若y1=y2，则x1=x2B．若x1=﹣x2，则y1=﹣y2

C．若0＜x1＜x2，则y1＞y2D．若x1＜x2＜0，则y1＞y2

9．已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax与y=ax2的图象有可能是（　　）

A．①②B．②③C．①③D．②④

10．在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为（　　）

A．

B．

C．

D．

二．填空题（共5小题）

11．汽车刹车距离S（m）与速度v（km/h）之间的函数关系是S=

v2，在一辆车速为100km/h的汽车前方80m处，发现停放一辆故障车，此时刹车　　有危险．

12．二次函数y=2x2﹣4的图象开口向　　，对称轴是　　，顶点坐标是　　，当x=2，y=　　；当y=4时，x=　　．

13．如图所示，桥拱是抛物线形，其函数解析式是y=﹣

x2，当水位线在AB位置时，水面宽为12米，这时水面离桥顶的高度h是　　米．

第13题图第14题图第15题图

14．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+c（a≠0）的图象过正方形ABOC的三个顶点A、B、C，则ac的值是　　．

15．如图，把抛物线y=

x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（﹣6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y=

x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为　　．

三．解答题（共9小题）

16．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题：

（1）当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；

（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x之间的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围）；

（3）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？

（4）商店要想月销售利润最大，销售单价应定为多少元？

最大月销售利润是多少？

17．如图，有长为24m的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a为10m）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2．

（1）求S与x的函数关系式及x值的取值范围；

（2）要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米？

18．求下列各抛物线的解析式：

（1）已知一条抛物线的顶点在y轴上，且经过（1，﹣2），（2，3）两点；

（2）已知某抛物线与抛物线y=2x2+3的形状、开口方向都一样，顶点为（0，4）；

（3）已知抛物线y=ax2+c与x轴交于两点（2，0），（﹣2，0），与y轴交于点（0，2）

19．一个函数的图象是以原点为顶点，y轴为对称轴的抛物线，且经过点M（﹣2，2）．

（1）求出这个函数的关系式．

（2）写出抛物线上与点M关于y轴对称的点N的坐标．

（3）求△MON的面积．

20．如图，一抛物线拱桥，拱顶O离水面高4米，水面宽度AB=10米，现有一竹排运送一只货箱欲从桥下通过，已知货箱长10米，宽6米，高2.5米（竹排与水面持平），问货箱能否顺利通过该桥？

21．如图，直线AB过x轴上的点A（2，0），且与抛物线y=ax2相交于B、C两点，已知点B的坐标是（1，1），

（1）求直线AB和抛物线所表示的函数解析式；

（2）如果在第一象限，抛物线上有一点D，使得S△OAD=S△OBC，求这时D点坐标．

22．已知抛物线y=﹣

x2+（5﹣m）x+m﹣3与x轴有两个交点A、B，与y轴交于点C，点A在x轴正半轴，B在x轴负半轴上，且OA=OB．

（1）求m的值；

（2）求抛物线的对称轴和顶点坐标；

（3）求△ABC的面积．

23．已知，如图，直线l经过A（4，0）和B（0，4）两点，抛物线y=a（x﹣h）2的顶点为P（1，0），直线l与抛物线的交点为M．

（1）求直线l的函数解析式；

（2）若S△AMP=3，求抛物线的解析式．

24．如图，抛物线y=a（x﹣1）2+4与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．过点C作CD∥x轴交抛物线的对称轴于点D，抛物线对称轴交x轴于点E，连接BD．已知点A的坐标为（﹣1，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求四边形COBD的面积．

二次函数练习题1

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）

1．下列函数关系中，是二次函数的是（　　）

A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系

B．当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系

C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系

D．圆心角为120°的扇形面积S与半径R之间的关系

【分析】根据各选项的意思，列出个选项的函数表达式，再根据二次函数定义的条件判定则可．

【解答】解：

A、y=mx+b，当m≠0时（m是常数），是一次函数，错误；

B、t=

，当s≠0时，是反比例函数，错误；

C、C=3a，是正比例函数，错误；

D、S=

πR2，是二次函数，正确．

故选：

D．

【点评】本题考查二次函数的定义．

2．若二次函数y=ax2的图象经过点P（﹣2，4），则该图象必经过点（　　）

A．（2，4）B．（﹣2，﹣4）C．（﹣4，2）D．（4，﹣2）

【分析】先确定出二次函数图象的对称轴为y轴，再根据二次函数的对称性解答．

【解答】解：

∵二次函数y=ax2的对称轴为y轴，

∴若图象经过点P（﹣2，4），

则该图象必经过点（2，4）．

故选：

A．

【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数图象的对称性，确定出函数图象的对称轴为y轴是解题的关键．

3．在函数①y=3x2；②

；③

中，图象开口按从大到小的顺序排列的是（　　）

A．①②③B．①③②C．②③①D．②①③

【分析】根据a的绝对值越大，开口越小求解．

【解答】解：

∵|

|＜|﹣

|＜|3|，

∴开口从大到小的顺序为：

②③①，

故选：

C．

【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是了解a的绝对值越大，开口越小．

4．下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而增大的是（　　）

A．y=﹣x+1B．y=x2﹣1C．y=

D．y=﹣x2+1

【分析】根据二次函数、一次函数、反比例函数的增减性，结合自变量的取值范围，逐一判断．

【解答】解：

A、y=﹣x+1，一次函数，k＜0，故y随着x增大而减小，故A错误；

B、y=x2﹣1（x＞0），故当图象在对称轴右侧，y随着x的增大而增大；而在对称轴左侧（x＜0），y随着x的增大而减小，故B正确．

C、y=

，k=1＞0，在每个象限里，y随x的增大而减小，故C错误；

D、y=﹣x2+1（x＞0），故当图象在对称轴右侧，y随着x的增大而减小；而在对称轴左侧（x＜0），y随着x的增大而增大，故D错误；

故选：

B．

【点评】本题综合考查二次函数、一次函数、反比例函数的增减性（单调性），是一道难度中等的题目．

5．抛物线y=2（x﹣3）2可以看作是由抛物线y=2x2按下列何种变换得到的（　　）

A．向左平移3个单位长度B．向右平移3个单位长度

C．向上平移3个单位长度D．向下平移3个单位长度

【分析】抛物线的平移可看作顶点的平移，比较前后两个抛物线的顶点坐标即可．

【解答】解：

∵抛物线y=2（x﹣3）2顶点坐标为（3，0），

抛物线y=2x2顶点坐标为（0，0），

∴抛物线y=2（x﹣3）2可以看作由抛物线y=2x2向左平移3个单位长度得到的，

故选：

A．

【点评】本题主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：

左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．会利用方程求抛物线与坐标轴的交点．

6．要将抛物线y=x2+2x+3平移后得到抛物线y=x2，下列平移方法正确的是（　　）

A．向左平移1个单位，再向上平移2个单位

B．向左平移1个单位，再向下平移2个单位

C．向右平移1个单位，再向上平移2个单位

D．向右平移1个单位，再向下平移2个单位

【分析】原抛物线顶点坐标为（﹣1，2），平移后抛物线顶点坐标为（0，0），由此确定平移规律．

【解答】解：

y=x2+2x+3=（x+1）2+2，该抛物线的顶点坐标是（﹣1，2），抛物线y=x2的顶点坐标是（0，0），

则平移的方法可以是：

将抛物线y=x2+2x+3向右移1个单位，再向下平移2个单位．

故选：

D．

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换．关键是将抛物线的平移问题转化为顶点的平移，寻找平移方法．

7．如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（　　）

A．y=

B．y=

C．y=

D．y=

【分析】四边形ABCD图形不规则，根据已知条件，将△ABC绕A点逆时针旋转90°到△ADE的位置，求四边形ABCD的面积问题转化为求梯形ACDE的面积问题；根据全等三角形线段之间的关系，结合勾股定理，把梯形上底DE，下底AC，高DF分别用含x的式子表示，可表示四边形ABCD的面积．

【解答】解：

作AE⊥AC，DE⊥AE，两线交于E点，作DF⊥AC垂足为F点，

∵∠BAD=∠CAE=90°，即∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE

∴∠BAC=∠DAE

又∵AB=AD，∠ACB=∠E=90°

∴△ABC≌△ADE（AAS）

∴BC=DE，AC=AE，

设BC=a，则DE=a，DF=AE=AC=4BC=4a，

CF=AC﹣AF=AC﹣DE=3a，

在Rt△CDF中，由勾股定理得，

CF2+DF2=CD2，即（3a）2+（4a）2=x2，

解得：

a=

，

∴y=S四边形ABCD=S梯形ACDE=

×（DE+AC）×DF

=

×（a+4a）×4a

=10a2

=

x2．

故选：

C．

【点评】本题运用了旋转法，将求不规则四边形面积问题转化为求梯形的面积，充分运用了全等三角形，勾股定理在解题中的作用．

8．已知点（x1，y1），（x2，y2）均在抛物线y=x2﹣1上，下列说法中正确的是（　　）

A．若y1=y2，则x1=x2B．若x1=﹣x2，则y1=﹣y2

C．若0＜x1＜x2，则y1＞y2D．若x1＜x2＜0，则y1＞y2

【分析】由于抛物线y=x2﹣1的图象关于y轴对称，开口向上，分别判断如下：

若y1=y2，则x1=﹣x2；若x1=﹣x2，则y1=y2；若0＜x1＜x2，则在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，则y1＜y2；若x1＜x2＜0，则y1＞y2．

【解答】解：

A、若y1=y2，则x1=﹣x2；

B、若x1=﹣x2，则y1=y2；

C、若0＜x1＜x2，则在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，则y1＜y2；

D、正确．

故选：

D．

【点评】本题的关键是

（1）找到二次函数的对称轴；

（2）掌握二次函数图象的性质．

9．已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax与y=ax2的图象有可能是（　　）

A．①②B．②③C．①③D．②④

【分析】分a＞0和a＜0时，分别判断两函数的图象即可求得答案．

【解答】解：

当a＞0时，则函数y=ax中，y随x的增大而增大，函数y=ax2开口向上，故①不正确，②正确；

当a＜0时，则函数y=ax中，y随x的增大而减小，函数y=ax2开口向下，故④不正确，③正确；

∴两函数图象可能是②③，

故选：

B．

【点评】本题主要考查函数图象，掌握二次函数和正比例函数的图象的变化趋势是解题的关键，注意分两种情况进行讨论．

10．在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为（　　）

A．

B．

C．

D．

【分析】根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象．

【解答】解：

∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0，c），

∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故B选项错误；

当a＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，故C选项错误；

当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，故A选项错误；

故选：

D．

【点评】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：

二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．

二．填空题（共5小题）

11．汽车刹车距离S（m）与速度v（km/h）之间的函数关系是S=

v2，在一辆车速为100km/h的汽车前方80m处，发现停放一辆故障车，此时刹车　会　有危险．

【分析】把v值代入解析式求出S，即刹车距离，和80进行比较即可．

【解答】解：

把v=100代入S=

v2得：

汽车刹车距离s=100＞80，因此会有危险．

故答案为：

会．

【点评】本题利用求二次函数的值，判断实际问题．

12．二次函数y=2x2﹣4的图象开口向　向上　，对称轴是　y轴　，顶点坐标是　（0，﹣4）　，当x=2，y=　4　；当y=4时，x=　±2　．

【分析】根据a的符号判断抛物线的开口方向；根据顶点式可求顶点坐标及对称轴，把x=2代入即可求得y，把y=4代入即可求得x．

【解答】解：

因为a=2＞0，图象开口向上；

顶点横坐标为0，纵坐标为﹣4，

故对称轴是y轴，顶点坐标是（0，﹣4）．

当x=2，y=2×22﹣4=4；

当y=4时，x则4=2x2﹣4，解得x=±2；

故答案为：

向上、y轴4、±2．

【点评】本题考查了二次函数的性质，比较简单，熟练掌握利用顶点式解析式判断对称轴与顶点坐标的方法是解题的关键．

13．如图所示，桥拱是抛物线形，其函数解析式是y=﹣

x2，当水位线在AB位置时，水面宽为12米，这时水面离桥顶的高度h是　9　米．

【分析】求水面离桥顶的高度h，由图象可知，实际是求在抛物线解析式中，x=±6时，y的值．

【解答】解：

由y=﹣

x2，由题知，

当x=±6时，y=9，

即水面离桥顶的高度h是9米．

【点评】本题涉及二次函数的实际应用，难度中等．

14．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+c（a≠0）的图象过正方形ABOC的三个顶点A、B、C，则ac的值是　﹣2　．

【分析】设正方形的对角线OA长为2m，根据正方形的性质则可得出B、C坐标，代入二次函数y=ax2+c中，即可求出a和c，从而求积．

【解答】解：

设正方形的对角线OA长为2m，

则B（﹣m，m），C（m，m），A（0，2m）；

把A，C的坐标代入解析式可得：

c=2m①，am2+c=m②，

①代入②得：

m2a+2m=m，解得：

a=﹣

，

则ac=﹣

•2m=﹣2．

【点评】本题考查二次函数的性质以及运用，体现了方程思想．

15．如图，把抛物线y=

x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（﹣6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y=

x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为　

　．

【分析】根据点O与点A的坐标求出平移后的抛物线的对称轴，然后求出点P的坐标，过点P作PM⊥y轴于点M，根据抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于矩形NPMO的面积，然后求解即可．

【解答】解：

过点P作PM⊥y轴于点M，

∵抛物线平移后经过原点O和点A（﹣6，0），

∴平移后的抛物线对称轴为x=﹣3，

得出二次函数解析式为：

y=

（x+3）2+h，

将（﹣6，0）代入得出：

0=

（﹣6+3）2+h，

解得：

h=﹣

，

∴点P的坐标是（﹣3，﹣

），

根据抛物线的对称性可知，阴影部分的面积等于矩形NPMO的面积，

∴S=|﹣3|×|﹣

|=

．

故答案为：

．

【点评】本题考查了二次函数的问题，根据二次函数的性质求出平移后的抛物线的对称轴的解析式，并对阴影部分的面积进行转换是解题的关键．

三．解答题（共9小题）

16．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题：

（1）当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；

（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x之间的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围）；

（3）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？

（4）商店要想月销售利润最大，销售单价应定为多少元？

最大月销售利润是多少？

【分析】

（1）根据“销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克”，可知：

月销售量=500﹣（销售单价﹣50）×10．由此可得出售价为55元/千克时的月销售量，然后根据利润=每千克的利润×销售的数量来求出月销售利润；

（2）方法同

（1）只不过将55元换成了x元，求的月销售利润变成了y；

（3）销售成本不超过10000元，即进货不超过10000÷40=250kg．根据利润表达式求出当利润是8000时的售价，从而计算销售量，与进货量比较得结论；

（4）由

（2）的函数关系式后根据函数的性质即可得出函数的最值以及相应的自变量的值．

【解答】解：

（1）销售量：

500﹣5×10=450（kg）；

销售利润：

450×（55﹣40）=450×15=6750元；

（2）y=（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]=﹣10x2+1400x﹣40000；

（3）由于水产品不超过10000÷40=250kg，定价为x元，

则（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]=8000

解得：

x1=80，x2=60，

当x1=80时，进货500﹣10×（80﹣50）=200kg＜250kg，符合题意，

当x2=60时，进货500﹣10×（60﹣50）=400kg＞250kg，舍去；

（4）由

（2）的函数可知：

y=﹣10（x﹣70）2+9000

因此：

当x=70时，ymax=9000元，

即：

当售价是70元时，利润最大为9000元．

【点评】本题主要考查了二次函数的应用，能正确表示出月销售量是解题的关键．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法．

17．如图，有长为24m的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a为10m）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2．

（1）求S与x的函数关系式及x值的取值范围；

（2）要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米？

【分析】

（1）根据AB为xm，BC就为（24﹣3x），利用长方体的面积公式，可求出关系式．

（2）将S=45m代入

（1）中关系式，可求出x即AB的长．

【解答】解：

（1）根据题意，得S=x（24﹣3x），

即所求的函数解析式为：

S=﹣3x2+24x，

又∵0＜24﹣3x≤10，

∴定义域为{x|

≤x＜8}；

（2）根据题意，设AB长为x，则BC长为24﹣3x

∴﹣3x2+24x=45．

整理，得x2﹣8x+15=0，

解得x=3或5，

当x=3时，BC=24﹣9=15＞10不成立，

当x=5时，BC=24﹣15=9＜10成立，

∴AB长为5m．

【点评】本题以实际问题为载体，主要考查了二次函数的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．本题的关键是垂直于墙的有三道篱笆．

18．求下列各抛物线的解析式：

（1）已知一条抛物线的顶点在y轴上，且经过（1，﹣2），（2，3）两点；

（2）已知某抛物线与抛物线y=2x2+3的形状、开口方向都一样，顶点为（0，4）；

（3）已知抛物线y=ax2+c与x轴交于两点（2，0），（﹣2，0），与y轴交于点（0，2）

【分析】

（1）设抛物线的解析式是y=ax2+k，把（1，﹣2），（2，3）代入得出方程组，求出方程组的解即可；

（2）根据抛物线的形状开口方向和抛物线的形状与a值有关，利用顶点式解析式写出即可；

（3）把点（2，0）和（0，2）代入求出即可．

【解答】解：

（1）∵抛物线的顶点在y轴上，

∴设抛物线的解析式是y=ax2+k，

把（1，﹣2），（2，3）代入得：

，

解得：

a=

，k=﹣

．

即抛物线的解析式是y=

x2﹣

；

（2）∵抛物线的顶点坐标（0，4），形状开口方向与抛物线y=2x2+3相同，

∴这个二次函数的解析式为y=2（x﹣0）2+4，即y=2x2+4；

抛物线y=ax2+c与x轴交于两点（2，0），（﹣2，0），与y轴交于点（0，2）

（3）∵抛物线y=ax2+c与x轴交于两点（2，0），（﹣2，0），与y轴交于点（0，2），

∴代入得：

，

解得：

a=﹣

，c=2，

即抛物线的解析式是y=﹣

x2+2．

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换的应用，能正确设解析式是解此题的关键．

19．一个函数的图象是以原点为顶点，y轴为对称轴的抛物线，且经过点M（﹣2，2）．

（1）求出这个函数的关系式．

（2）写出抛物线上与点M关于y轴对称的点N的坐标．

（3）求△MON的面积．

【分析】

（1）设顶点式y=ax2，然后把M点坐标代入求出a即可；

（2）写出M点关于y轴的对称点的坐标即可；

（3）利用三角形面积公式求解．