运筹学整数规划例题.docx

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运筹学整数规划例题

练习4.9连续投资问题

某公司现有资金10万元,拟在今后五年考虑用于下列项目的投资:

项目A:

从第一年到第四年每年年初需要投资,并于次年收回本利115%,但要求第一年投资最低金额为4万元,第二.三.四年不限.

项目B:

第三年初需要投资,到第五年末能收回本利128%,但规定最低投资金额为3万元,最高金额为5万元.

项目C:

第二年初需要投资,到第五年末能收回本利140%,但规定其投资金额或为2万元,或为4万元,或为6万元,或为8万元.

项目D:

五年每年年初都可购买公债,于当年末归还,并获利6%,此项目投资金额不限.试问该公司应图和确定这些项目的每年投资金额,使到第五年末拥有最大的资金收益.

（1）x为项目各年月初投入向量。

（2）xij为i种项目j年的月初的投入

（3）向量c中的元素cij为i年末j种项目收回本例的百分比

（4）矩阵A中元素aij为约束条件中每个变量xij的系数。

（5）Z为第5年末能拥有的资金本利最大总额。

因此目标函数为

maxZ1.15x4A1.28x3B1.40x2C1.06x5D

束条件应是每年年初的投资额应等于该投资者年初所拥有的资金

第1年年初该投资者拥有10万元资金,故有

x1Ax1D100000.

第2年年初该投资者手中拥有资金只有16%x1D,故有

x2Ax2Cx2D1.06x1D.

第3年年初该投资者拥有资金为从D项目收回的本金:

1.06x2D,及从项目A中第

1年投资收回的本金:

1.15x1A,故有

x3Ax3Bx3D1.15x1A1.06x2D

同理第4年

、第5年有约束为

x4Ax4D1.15x2A1.06x3D,

x5D

1.15x3A1.06x4D

max=1.15*x4a+1.28*x3b+1.4*x2c+1.06*x5d;

x1a+x1d=100000;

-1.06*x1d+x2a+x2c+x2d=0;

-1.15*x1a-1.06*x2d+x3a+x3b+x3d=0;

-1.15*x2a-1.06*x3d+x4a+x4d=0;

-1.15*x3a-1.06*x4d+x5d=0;

x2c=40000;

x2c=60000;

x2c=80000;

x2c=20000;

x3b>=30000;

x3b<=50000;

x1a>=0;x2a>=0;x3a>=0;x4a>=0;x5a>=0;

x1b>=0;x2b>=0;x3b>=0;x4b>=0;x5b>=0;

x1c>=0;x2c>=0;x3c>=0;x4c>=0;x5c>=0;

x1d>=0;x2d>=0;x3d>=0;x4d>=0;x5d>=0;

Variable

Value

ReducedCost

X4A

22900.00

0.000000

X3B

50000.00

0.000000

X2C

40000.00

0.000000

X5D

0.000000

X1A

62264.15

0.000000

X1D

37735.85

0.000000

X2A

0.000000

X2D

0.000000

0.3036000E-01

X3A

0.000000

X3D

21603.77

0.000000

X4D

0.000000

0.2640000E-01

X5A

0.000000

X1B

0.000000

X2B

0.000000

X4B

0.000000

X5B

0.000000

X1C

0.000000

X3C

0.000000

X4C

0.000000

X5C

0.000000

Row

SlackorSurplusDualPrice

80000.00

1.000000

0.000000

1.401850

0.000000

1.322500

0.000000

1.219000

0.000000

1.150000

0.000000

1.060000

0.000000

-0.8388608E+18

-20000.00

-0.1280000E+10

-40000.00

-0.1280000E+10

-20000.00

0.1280000E+10

20000.00

0.000000

0.6100000E-01

62264.15

0.000000

22900.00

0.000000

50000.00

0.000000

40000.00

0.000000

37735.85

0.000000

21603.77

0.000000

4.10某城市的消防总站将全市划分为11个防火区，现有4个消防站，图4-11给出的是该城市各防火区域和防火站的示意图，其中1,2,3,4，表示消防站1，2，⋯11表示防火区域，根据历史资料证实，各消防站可在事先规定允许的时间对所负责的区域的火灾予以扑灭，图中没有虚线连接的就表示不负责，现在总部提出：

能否减少消防站的数目，仍能保证负责各地区的防火任务？

如果可以的话，应该关闭哪个？

练习4.10

某城市的消防站总部将全市划分为11个防火区，现有四的。

解：

根据题意，用xi表示第i个消防站的关系的打开关闭情况X=1；第i个消防站不关闭

0；第i个消防站关闭

1表示可达，

用y代表第i个消防站到第j个防火区域的到达情况，0表示不可达，Y=[1,1,1,1,0,1,1,1,0,0,0;

1,1,0,1,0,0,0,1,1,0,0;

0,0,0,1,1,1,0,0,0,0,1;0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1;]则问题可归结为0—1整数规划模型。

minz=sumx（i）;

Stx（i）*y（i，j）＞=1；j=1,2,3...11

x（i）<=3；

X=0或1

利用lingo求解

model:

sets:

n_i/1..4/:

n_j/1..11/;

link（n_i,n_j）:

endsets

data:

y=1,1,1,1,0,1,1,1,0,0,0,1,1,0,1,0,0,0,1,1,0,0,0,0,0,1,1,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1;

enddata

[obj]min=sum（n_i（i）:

x（i））;for（n_j（j）:

sum（n_i（i）:

x（i）*y（i,j））>=1;）;

for（n_j（j）:

sum（n_i（i）:

x（i））<=3;）;

for（n_i（i）:

bin（x（i））;x（i）>=0;）;

end

运行结果：

Globaloptimalsolutionfound.

Objectivevalue:

3.000000

Extendedsolversteps:

Totalsolveriterations:

ReducedCost

1.000000

VariableValue

（1）1.000000

（2）0.000000

X（3）

1.000000

X（4）

1.000000

Y（1,1）

1.000000

0.000000

Y（1,2）

1.000000

0.000000

Y（1,3）

1.000000

0.000000

Y（1,4）

1.000000

0.000000

Y（1,5）

0.000000

Y（1,6）

1.000000

0.000000

Y（1,7）

1.000000

0.000000

Y（1,8）

1.000000

0.000000

Y（1,9）

0.000000

Y（1,10）

0.000000

Y（1,11）

0.000000

Y（2,1）

1.000000

0.000000

Y（2,2）

1.000000

0.000000

Y（2,3）

0.000000

Y（2,4）

1.000000

0.000000

Y（2,5）

0.000000

Y（2,6）

0.000000

Y（2,7）

0.000000

Y（2,8）

1.000000

0.000000

Y（2,9）

1.000000

0.000000

Y（2,10）

0.000000

Y（2,11）

0.000000

Y（3,1）

0.000000

Y（3,2）

0.000000

Y（3,3）

0.000000

Y（3,4）

1.000000

0.000000

Y（3,5）

1.000000

0.000000

Y（3,6）

1.000000

0.000000

Y（3,7）

0.000000

Y（3,8）

0.000000

Y（3,9）

0.000000

Y（3,10）

0.000000

Y（3,11）

1.000000

0.000000

Y（4,1）

0.000000

Y（4,2）

0.000000

Y（4,3）

0.000000

Y（4,4）

0.000000

Y（4,5）

0.000000

Y（4,6）

1.000000

0.000000

Y（4,7）

1.000000

0.000000

Y（4,8）

1.000000

0.000000

Y（4,9）

1.000000

0.000000

Y（4,10）

1.000000

0.000000

Y（4,11）

1.000000

0.000000

Row

SlackorSurplus

DualPrice

OBJ

3.000000

-1.000000

0.000000

1.000000

0.000000

2.000000

0.000000

1.000000

0.000000

1.000000

0.000000

1.000000

0.000000

1.000000

0.000000

1.000000

0.000000

1.000000

0.000000

结果如下：

X=X=X=1，X=0；即应关闭2号消防站。

4.11

某航空公司主要经营A，B，C三个大城市之间的航线飞行，这些航线每天航班起飞与到达时间如表4-16所示，假如飞机在机场停留损失费用大致与停留时间的平方成正比，又知每架飞机从降落到下一班起飞至少需要2h的准备时间，试分析确定一个使总的停留损失费用最小的飞行方案。

航班号

出发城市

起飞时间

到达城市

到达时间

101

9：

00（次日）

102

10：

12:

103

15：

13:

104

20：

18:

105

22：

24:

106

4：

107

11：

14:

108

15：

18:

109

7：

11:

110

15：

19:

111

13：

18:

112

18：

23:

113

15：

20:

114

7：

12:

解：

设飞机停留一小时的损失费为a元，则停留两小时损失为4a元，停留3小时的损失费

用为9a元，依次类推，对A.、B、C三个城市建立的指派问题效率矩阵分别如下表：

城市A

起飞

到达

101

102

103

104

105

106

64a

169a

225a

107

361a

400a

625a

36a

64a

108

225a

256a

441a

16a

109

484a

529a

16a

81a

121a

110

196a

225a

400a

625a

用匈牙利法解得最优解为：

起飞

到达

101

102

103

104

105

106

107

108

109

110

城市B

起飞

到达

101

102

103

104

105

106

256a

529a

625a

36a

107

225a

484a

576a

25a

108

100a

289a

441a

361a

576a

109

64a

225a

361a

289a

484a

110

256a

529a

625a

36a

解得最优解为：

起飞

到达

101

102

103

104

105

106

107

108

109

110

城市C

起飞

到达

109

110

113

114

104

49a

225a

49a

105

25a

169a

25a

111

169a

441a

169a

112

64a

226a

256a

64a

解得最优解为：

起飞

到达

109

110

113

114

104

105

111

112

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