凸函数在不等式证明中的应用《毕业论文》.docx

凸函数在不等式证明中的应用《毕业论文》.docx

《凸函数在不等式证明中的应用《毕业论文》.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《凸函数在不等式证明中的应用《毕业论文》.docx（27页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

凸函数在不等式证明中的应用《毕业论文》

专业代码：

070201

学号：

080702010020

贵州师范大学（本科）

毕业论文

题目：

凸函数在不等式证明中的应用

学院：

数学与计算机科学学院

专业：

数学与应用数学

年级：

2008级

姓名：

勾文兴

指导教师：

辛斌（职称）

完成时间：

2012年3月12日

凸函数在不等式证明中的应用

勾文兴

摘要：

凸函数是一种性质特殊的函数.凸函数也是高等数学中的一个基本内容，它在证明比较复杂的不等式方面有着重大作用.利用凸函数的凸性来研究不等式，比传统方法简洁，在文中还进一步探讨了在不等式证明中的一些具体应用.

关键词：

凸函数不等式证明

Abstract：

Convexfunctionisafunctionofthespecialnature.Convexfunctionisalsooneofthehighermathematicsthebasiccontents,itprovedmorecomplexintheplaysamajorroleininequality.Usetheconvexfunctiontostudyconvexinequalitythanthetraditionalmethodissimple,andfurtherdiscussedinthispaperinsomeofthespecificapplicationofinequation.

Keywords：

convexfunctioninequalitiesproveing

在数学思想方法中，函数思想是很重要的一种思想方法，其精髓在于利用函数的相关性质对讨论的问题进行推理和论证，进而寻求解决问题的途径。

凸函数是一类性质特殊的函数，广泛应用于数学规划，控制论等领域,函数凸性是数学分析中的一个重要概念,它在判定函数的极值、研究函数的图象以及证明不等式诸方面都有广泛的应用.凸分析作为数学的一个比较年轻的分支，是在50年代以后随着数学规划，最优控制理论、数理经济学等应用数学学科的兴起而发展起来的.现行高等数学教材中,也都对函数的凸性作了介绍,由于各版本根据自己的需要,对凸函数这一概念作了不同形式的定义,本文就以凸函数几种定义的等价性给以证明,并给出简单的应用，应用凸函数的概念与性质来证明几个重要且常用的不等式和凸函数在证明一般不等式中的应用，针对它在证明比较复杂的不等式方面有着重要作用，本文对凸函数的性质在比较经典的不等式证明中的简单应用进行初步讨论.

1.凸函数定义与等价描述

1.1凸函数的几种定义以及它们的关系

大家都熟悉函数

的图象，它的特点是：

曲线

上任意两点间的弧总在这两点连线的下方.我们可以下这样的定义：

设

在

上有定义，若曲线

上任意两点间的弧总位于连接该两点的直线之下，则称函数

是凸函数.

上面的定义只是几何描述性的，为了便于凸函数的应用，用严格的式子分析定义凸函数是十分必要的.

下面给出几种常用的凸函数定义：

定义1[1]设

在区间

上有定义，

在

上称为是凸函数，当且仅当：

，

，有

.（Ⅰ）

若（Ⅰ）式中，“

”改为“﹤”，则是严格凸函数的定义.若“

”改为“

”或“﹥”，则分别是凹函数与严格凹函数的定义.由于凸与凹是对偶的概念.对一个有什么结论，对另一个亦有什么结论.因此，下文中只对凸函数进行论述.

定义2[2]设

在区间

上有定义，

称为

上的凸函数，当且仅当：

，有

.

定义3[2]

在区间

上有定义，

称为是凸函数，当且仅当：

，有

.

关于定义1，定义2，定义3有如下的关系：

（1）定义1

定义2,定义1

定义3；

（2）定义2

定义3；

（3）当

在

上连续时，定义1、定义2、定义3等价.

证明：

（2）定义2

定义3.

（由于定义3

定义2明显，故只要证明定义2

定义3.应用通常的数学归纳法有一定的困难，因此这里采用反向数学归纳法，其要点是：

首先证明对于自然数的某个子序列成立（本证明针对于

皆成立），其次证明命题当

成立时，必然对

成立.）

当

时，显然成立.

当

时，

一般来说，对任一自然数

，重复上面的方法

次可得

这说明对一切的

皆成立.

记

，则

，所以

由定义3中式子对

成立，故

在不等式两边同时乘以

，减去

，最后除以

得到

即

时仍成立.证毕.

证明：

（3）若

在

上连续，则定义1、2、3等价.

首先定义1

定义2、3.

在定义1中令

，则有

故定义1蕴涵定义2，而定义2、3等价，因此定义1也蕴涵定义3.

其次定义2、3

定义1.

设

为任意两点，为了证明定义1对任意实数

成立，则先证明当

为有理数

（

为自然数）时成立，事实上：

为有理数的情况获证.

若

为无理数，则

有理数

使得

（当

时），从而由

的连续性有

对于有理数

，上面已证明有

此式中令

取极限，联系上式，有

即定义1对任意无理数

也成立.这就证明了定义2、3蕴涵定义1.

注：

上述证明里看到从定义1

定义2、3无需连续性，定义2、3

定义1才需要连续性.可见定义1强于定义2、3.

1.2凸函数的等价描述

定理1[3]如图1.2.1，设

在区间

上有定义，则以下条件等价（其中各不等式要求对任意

，

保持成立）：

ⅰ）

在

上为凸函数；

ⅱ）

；

ⅲ）

；

ⅳ）

；

ⅴ）曲线

上三点

，

，

所围的有向面积

.

证明：

1°（证明ⅰ）与ⅱ）等价）.

对

中任意

，根据凸函数定义，条件ⅱ）等价于

（A）

另一方面，将条件ⅱ）中的不等式乘以

，移项变形，可知它等价于

（B）

可见，

，令

时，则

从而由（A）可推到（B）.反之，

，若令

则

，从而可由（B）推得（A）.故ⅰ）与ⅱ）等价.

2°类似可证ⅲ）、ⅳ）与ⅰ）等价.

3°（证明ⅱ）与ⅴ）等价）

将ⅱ）中的不等式乘以

并移项，可得

此即

.

推论[2]若

在区间

上为凸函数，则

上任意三点

有

.

定理2[1]设

为区间

上的可导函数，则下述论断互相等价：

1°

为

上的凸函数；

2°

为

上的增函数；

3°对

上的任意两点

有

.

定理3[2]设

为区间

上的二阶可导函数，则在

上

为凸函数的充要条件是

，

.

定理4[3]若

在

上有定义，则以下命题等价：

（1）

在

上为凸函数；

（2）

有

；

（3）

且

不全为零，

有

.

证明：

（2）

（1），只要令

即可.

（2）

（3）是明显的.

现用数学归纳法证明

（1）

（2）.

当

时，由凸函数的定义可得

（2）成立.

假设

时，

（2）成立.

当

时，不妨设

，

即当

时

（2）也成立.

综上所述，对任何自然数

，

为凸函数时总有

（2）成立.

1.3凸函数的简单性质[4]

性质1设

在区间

上为凸函数，对任意的

，则

在区间

上为凸函数.

性质2设

，

是区间

上的凸函数，则

也是

上的凸函数.

性质3设

，

是区间

上的凸函数，则线性组合的函数

为

上的凸函数.

性质4若设

，

是区间

上的凸函数，则

为

上的凸函

数.

性质5设

是单调递增的凸函数，

是凸函数，则复合函数

也是凸函数.

1.4常见的凸函数[5]

1.3.1

或

，

均为

内的严格凸函数；

1.3.2

均为

内的严格凸函数.

2.凸函数的不等式

2.1凸函数基本不等式[5]

设

是

内的凸函数，则对

内的任意一组值

，必有不等式：

.

2.2Jensen不等式[6]

Jensen不等式是凸函数的一个重要性质，利用其证明一些重要不等式可以更简捷.定理4中命题

（2）就是著名的Jensen不等式.在Jensen不等式中令

就得到了定义3.

Jensen不等式设

是

内的凸函数，则对

内的

且

不全为零，

有

.

2.3Hadamard不等式[6]

设

是区间

上的凸函数，则对于

，有

.

3.凸函数在不等式证明中的简单应用

3.1凸函数在一般不等式证明中的应用

例1[4]设

为正数，且

，证明：

.

证明：

令

，则

因此，

在

上是凸函数，则有

即

故

例2[1]证明不等式

，其中

均为正数.

证明：

设

，

.由

的一阶和二阶导数

，

可见，

在

时为严格凸函数，根据Jensen不等式有：

从而

即

又因为

，所以

.

例3[4]证明对任何非负实数

，有：

.

证明：

令

，则

，

，

因此

在

上是凸函数，由凸函数基本不等式有：

对任意的非负实数

，

即

故

.

例4[7]设

，证明：

.

证明：

先将原不等式化为

，因为

为

上的凸函数，故当

，

时，有

令

，

则

而

所以

即

.

这道题目用初等知识比较困难，但通过构造凸函数

巧妙地令

，

，便可很方便的得证.

3.2凸函数在经典不等式证明中的应用

在初等数学中，调和平均值不大于几何平均值，几何平均值不大于算术平均值，算术平均值不大于平方平均值，而证明用数学归纳法.其实，这些不等式可在凸函数框架下统一证明.

例1[7]设

，

，证明：

.

证明：

设

，

，有

，从而，函数

在

是严格凸函数，取

，

，

有

即

即

.

取

，

，

同样方法，有

于是，

，有

.

例2[7]证明

有

.

上式称为算术平均不大于

次平均，特别地，当

时，得到算术平均值不大于平方平均值.

证明：

考察函数

，由于有

，

，所以

为凸函数，

从而

，

，

有

在上式中，令

即得

.

例3[7]若

，

，

，

，

且

，求证：

Young不等式

.

证明：

从所求证的不等式的形式来看，不容易直接找到合适的凸函数，因此，可对它进行一定的变形.不妨在不等式两边同取自然对数，则有

由此很容易找到合适的凸函数.考察函数

，因为

，由定理4知，

在

时为凸函数，又有

，

，

，所以

于是

即

.

特别地，当

时，此不等式就是前面例1的结果，即平均值不等式.

例4[8]证明Cauchy-Hölder不等式.设

；

为两组非负实数，

，

，

，则

.

证明：

考察函数

，由

可知

为凸函数，

从而

，

，

有

在上式中，令

，

，

，

.而

，

可得

.

在上式中特别取

，得到著名的Cauchy-Schwartz不等式

.

参考文献

[1]华东师范大