非参数统计部分课后习题参考答案.docx

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非参数统计部分课后习题参考答案

课后习题参考答案

第一章p23-25

2、

（2）有两组学生，第一组八名学生的成绩分别为x1：

100，99，99，100，99，100，99，99；第二组三名学生的成绩分别为x2：

75,87,60。

我们对这两组数据作同样水平a=的ｔ检验（假设总体均值为u）：

H0：

u=100H1：

u<100。

第一组数据的检验结果为：

df=7，t值为，单边p值为，结论为“拒绝H0：

u=100。

”（注意：

该组均值为）；第二组数据的检验结果为：

df=2，t值为，单边ｐ值为;结论为“接受H0：

u=100。

”（注意：

该组均值为）。

你认为该问题的结论合理吗说出你的理由，并提出该如何解决这一类问题。

答：

这个结论不合理（6分）。

因为，第一组数据的结论是由于ｐ－值太小拒绝零假设，这时可能犯第一类错误的概率较小，且我们容易把握；而第二组数据虽不能拒绝零假设，但要做出“在水平ａ时，接受零假设”的说法时，还必须涉及到犯第二类错误的概率。

（4分）然而，在实践中，犯第二类错误的概率多不易得到，这时说接受零假设就容易产生误导。

实际上不能拒绝零假设的原因很多，可能是证据不足（样本数据太少），也可能是检验效率低，换一个更有效的检验之后就可以拒绝了，当然也可能是零假设本身就是对的。

本题第二组数据明显是由于证据不足，所以解决的方法只有增大样本容量。

（4分）

第三章p68-71

3、在某保险种类中，一次关于1998年的索赔数额（单位：

元）的随机抽样为（按升幂排列）：

4632，4728，5052，5064，5484，6972，7596，9480，14760，15012，18720，21240，22836，52788，67200。

已知1997年的索赔数额的中位数为5064元。

（1）是否1998年索赔的中位数比前一年有所变化能否用单边检验来回答这个问题（4分）

（2）利用符号检验来回答

（1）的问题（利用精确的和正态近似两种方法）。

（10分）

》

（3）找出基于符号检验的95％的中位数的置信区间。

（8分）

解：

（1）1998年的索赔数额的中位数为9480元比1997年索赔数额的中位数5064元是有变化，但这只是从中位数的点估计值看。

如果要从普遍意义上比较1998年与1997年的索赔数额是否有显著变化，还得进行假设检验，而且这个问题不能用单边检验来回答。

（4分）

（2）符号检验（5分）

设假设组：

H０：

M＝M０＝5064

H１：

M≠M０＝5064

符号检验：

因为n+=11，n-=3，所以k=min（n+,n-）=3

精确检验：

二项分布b（14,，

，双边ｐ－值为,大于ａ＝，所以在ａ水平下，样本数据还不足以拒绝零假设；但假若ａ＝，则样本数据可拒绝零假设。

查二项分布表得ａ＝的临界值为（3，11），同样不足以拒绝零假设。

正态近似：

（5分）

np=14/2=7,npq=14/4=

z=（3+/

≈>Za/2=

—

仍是在ａ＝的水平上无法拒绝零假设。

说明两年的中位数变化不大。

（3）中位数95％的置信区间：

（5064，21240）（8分）

7、一个监听装置收到如下的信号：

0，1，0，1，1，1，0，0，1，1，0，0，0，0，1，1，1，1，1，1，1，1，1，0，1，0，0，1，1，1，0，1，0，1，0，1，0，0，0，0，0，0，0，0，1，0，1，1，0，0，1，1，1，0，1，0，1，0，0，0，1，0，0，1，0，1，0，1，0，0，0，0，0，0，0，0。

能否说该信号是纯粹随机干扰（10分）

解：

建立假设组：

H0：

信号是纯粹的随机干扰

H1：

信号不是纯粹的随机干扰（2分）

游程检验：

因为n１=42，n２=34，r=37。

（2分）根据正态近似公式得：

Ｕ＝

（2分）

取显著性水平ａ＝，则Ｚａ/２＝,故接受零假设，可以认为信号是纯粹的随机干扰的。

（2分）

{

第四章p91-94

1、在研究计算器是否影响学生手算能力的实验中，13个没有计算器的学生（Ａ组）和10个拥有计算器的学生（Ｂ组）对一些计算题进行了手算测试．这两组学生得到正确答案的时间（分钟）分别如下：

Ａ组：

28，20，20，27，3，29，25，19，16，24，29，16，29

Ｂ组：

40，31，25，29，30，25，16，30，39，25

能否说Ａ组学生比Ｂ组学生算得更快利用所学的检验来得出你的结论．（12分）

解、利用Wilcoxon两个独立样本的秩和检验或Mann-WhitneyU检验法进行检验。

建立假设组：

H0：

两组学生的快慢一致；

H1：

A组学生比B组学生算得快。

（2分）

两组数据混合排序（在B组数据下划线）：

3，16，16，16，19，20，20，24，25，25，25，25，27，28，29，29，29，29，30，30，31，39，40（2分）

A组秩和RA＝1+3*2+5+*2+8++13+14+*3=120;

】

B组秩和RB＝3+*3++*2+21+22+23=156（2分）

A组逆转数和UA=120-（13*14）/2=29

B组逆转数和UB=156-（10*11）/2=101（2分）

当nA=13，nB=10时，样本量较大，超出了附表的范围，不能查表得Mann-Whitney秩和检验的临界值，所以用正态近似。

计算

（2分）

当显著性水平a取时，正态分布的临界值Za/2＝（1分）

由于Z

（1分）

4、在比较两种工艺（Ａ和Ｂ）所生产的产品性能时，利用超负荷破坏性实验。

记下损坏前延迟的时间名次（数目越大越耐久）如下：

方法：

ABBABABAABAAABABAAAA

：

序：

1234567891011121314151617181920

用Mann-Whitney秩和检验判断Ａ工艺是否比Ｂ工艺在提高耐用性方面更优良（10分）

解、设假设组：

H0：

两种工艺在提高耐用性方面的优良性一致；

H1：

A工艺比B工艺更优良（1分，假设也可用符号表达式）

根据样本数据知nA=13；nB=7（1分），计算

A工艺的秩和RA＝1+4+6+8+9+11+12+13+15+17+18+19+20=153；（1分）

B工艺的秩和RB＝2+3+5+7+10+14+16=57（1分）

A工艺的Mann-Whitney秩和UA=RA-nA（nA+1）/2=153-（13*14）/2=62（1分）

B工艺的Mann-Whitney秩和UB=RB-nB（nB+1）/2=57-（7*8）/2=29（1分）

当nA=13，nB=7时，样本量较大，超出了附表的范围，不能查表得Mann-Whitney秩和检验的临界值，所以用正态近似。

计算

…

（2分）

当显著性水平a取时，正态分布的临界值Za/2＝（1分）

由于Z

（1分）

第五章p118-121

1、对5种含有不同百分比棉花的纤维分别做8次抗拉强度试验，试验结果如表4所示（单位：

g/cm2）：

表4

棉花纤维百分比（%）

【

抗拉强度

411

1268

1339

1480

）

986

705

846

1198

775

493

1057

】

1339

1268

493

634

916

1198

1480

775

634

1057

1339

1268

352

846

1127

916

986

（

352

564

775

1480

1127

564

705

634

1268

1480

423

试问不同百分比纤维的棉花其平均抗拉强度是否一样，利用Kruskall—Wallis检验法。

（14分）

解：

建立假设组：

H0：

不同百分比纤维的棉花其平均抗拉强度一样；

H1：

不同百分比纤维的棉花其平均抗拉强度不一样。

（2分）

已知，k=5，n1=n2=n3=n4=n5=8（2分）。

混合排序后各观察值的秩如表4所示：

表4

【

棉花纤维百分比（%）

抗拉强度

。

！

166

】

根据表4计算得：

（6分）

由于自由度k-1=5-1=4，nj＝8>5，是大样本，所以根据水平a=，查Ｘ2分布表得临界值C=，（2分）

因为Q>C，故以5%的显著水平拒绝H0假设，不同百分比纤维的棉花其平均抗拉强度不一样。

（2分）

…

7、按照一项调查，15名顾客对三种电讯服务的态度（“满意”或“不满意”）为（15分）

服务

消费者（爱好用“1”表示，不爱好用“0”表示）

合计

：

{

）

;

合计

《

、

解：

建立假设组：

H0：

顾客对3种服务的态度无显著性差异；

H1：

顾客对3种服务的态度有显著性差异。

（2分）

本例中，k=3，n=15。

（2分）又因

（5分）自由度k-1=3-1=2，（2分）取显著性水平a=，查Ｘ2分布表得临界值c=，（2分）因为Q>C，故以5%的显著水平拒绝H0假设，即顾客对3种服务的态度有显著性差异。

（2分）

8、调查20个村民对3个候选人的评价，答案只有“同意”或“不同意”两种，结果见表1：

表1

候选人

20个村民的评价（“同意”为1，“不同意”为0）

】

试检验村民对这三个候选人的评价有没有区别

解：

建立假设组：

H0：

三个候选人在村民眼中没有区别

H1：

三个候选人在村民眼中有差别（2分）

数据适合用CochranQ检验（2分）。

而且已知n=20，k=3，∑xi=∑yj＝28。

（2分）

计算结果见表3：

表3

3个候选人

20个村民的评价（“同意”为1，“不同意”为0）

。

；

、

【

根据表2计算得：

（2分）

则

（2分）

取显著性水平ａ＝，查卡方分布表得卡方临界值C＝，由于Q

（2分）

第八章P170-171

2.下面是某车间生产的一批轴的实际直径（单位：

mm）：

；

能否表明该尺寸服从均值为10，标准差为的正态分布（分别用K-S拟合检验和卡方拟合检验）。

当n=10，a=时查表得K-S拟合检验的临界值为。

（24分）

解：

建立假设组：

H0：

该车间生产的轴直径服从均值为10，标准差为的正态分布；

H1：

该车间生产的轴直径服从均值为10，标准差为的正态分布（2分）

首先将样本数据按升序排列，并对数据进行标准化处理，即Zi=（xi-10）/（1分），并列在计算表中。

（1）K-S正态拟合检验见表1：

表1K-S拟合检验计算表

样本数据xi

标准化值

正态区间

正态累计概率

实际累计频率

离差

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

…

（6）=（4）-（5）

（-∞,-3）

[-3,

、

）

]

[,∞）

K-S拟合检验统计量取最大的绝对离差Dn=（5分），由于检验统计量小于临界值，所以无法拒绝零假设，即可以说该车间生产的轴直径服从均值为10，标准差为的正态分布（2分）。

（2）卡方正态拟合检验见表2：

表2卡方拟合检验计算表

样本数据xi

标准化值

正态区间

正态概率

预期频数Еi

=（4）×10

小预期频数合并

实际频数Oi

（Oi-Еi）2/Еi

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

》

（-∞,-3）

[-3,

、

…

[,∞）

合计

￥

由于存在小预期频数，所以要合并，直到预期频数都大于1（见第（6）列），同时计算合并后的实际频数（该步正确2分）。

从表2得卡方检验统计量Q=（6分），自由度df=k-1=5-1=4（2分），查卡方分布表得a=的临界值C=（左尾），右尾临界值（2分），说明检验统计量Q落在肯定域，不能拒绝零假设，即可以说该车间生产的轴直径服从均值为10，标准差为的正态分布（2分）。

第九章p184-186

1、美国在1995年因几种违法而被捕的人数按照性别为：

表1

性别

男

女

谋杀

13927

1457

抢劫

116741

12068

恶性攻击

328476

70938

偷盗

236495

29866

非法侵占

704565

351580

偷盗机动车

119175

18058

纵火

11413

2156

从这些罪行的组合看来，是否与性别无关如果只考虑谋杀与抢劫罪，结论是否一样（20分）

解：

本题适合用独立性卡方检验。

建立假设组H０：

犯罪类型与性别无关

H１：

犯罪类型与性别有关

r=7,c=2.自由度df=（7-1）（2-1）=6

a=,查表得X2,6）=

Eij=ni.。

计算结果见下表：

男（Qi1）

女（Qi2）

合计

Ei1

Ei2

（Qij-Eij）^2/Eij

谋杀

13927

1457

15384

抢劫

116741

12068

128809

;

恶性攻击

328476

70938

399414

303146

偷盗

【

236495

29866

266361

非法侵占

704565

351580

1056145

偷盗机动车

119175

18058

137233

纵火

11413

2156

13569

X^2=

合计

1530792

486123

2016915

由于X2=>X2,6）=，所以拒绝零假设，说明罪行与性别有关。

如果只考虑谋杀与抢劫，则

男（Qi1）

女（Qi2）

合计

Ei1

Ei2

（Qij-Eij）^2/Eij

谋杀

13927

1457

15384

抢劫

116741

12068

128809

116727

X^2=

合计

130668

13525

144193

由于Ｘ2=

（20分）

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