电磁场与电磁波课后答案.docx
《电磁场与电磁波课后答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《电磁场与电磁波课后答案.docx（43页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
电磁场与电磁波课后答案
第二章秒电场
重点和难点
电场强度及电场线等概念容易接受，重点讲解如何由物理学屮积分形式的静电场方程导出微分形式的静电场方程，即敬度方程和旋度方程，并强调微分形式的场方程描述的是静电场的微分特性或称为点特性。
利用亥姆霍兹定理，直接导出真空屮电场强度与电荷之间的矢系。
通过书中列举的4个例子»总结归纳出根摇电荷分布计算电场强度的三种方法。
至于媒质的介电特性，应着重说明均匀和非均匀、线性与非线性、各向同性与各向异性等概念。
讲解介质中静电场方程时，应强调电通密度仅与自由电荷有矢。
介绍边界条件时，应说明仅可依据积分形式的静电场方程'由于边界上场量不连续'因而微分形式的场方程不成立。
尖于静电场的能量与力，应总结出计算能量的三种方法，指出电场能量不符合迭加原理。
介绍利用虚位移的概念计算电场力，常电荷系统和常电位系统'以及广义力和广义坐标等概念。
至于电容和部分电容一节可以从简。
重要公式
真空中静电场方程：
_EdSEdl廿零分形式：
Vx
A1
形式:
已知电荷分布求解电场强度：
4|rr
bE（r）（r）；（r）dV
P=j
八⑴W
2,E（i）vodV
v4oIrr|q•=—
EdS
高斯定律
qAEdlO=
介质屮静电场方程:
积分形式：
De!
%•=
微分形式：
DEOV•=P
线性均匀各向同性介质屮静电场方程：
q
IgdSEdl厅弩分形式：
p
微分形式:
EEOV*=「
静电场边界条件：
bEitE2t7对于两种各向同性的线性介质，则
DltDt
12
2,D»Dl,,s7在两乔休质形成的边界上，则
D1—2n11D
对于两种各向同性的线介质，则
E1221111E
3,介质与导体的边界条件：
X=
enEO：
eJ）S
若导体周围是各向同性的线性介质，则
E；
静电场的能量:
孤立带电体的能量：
WQ
2C2
离散带电体的能量:
.12
1
=/9P
111
分布电荷的能量：
WVS1
S1
wddd•
VS1
222
前电场旳匪蛍密度：
D匕
W
对于各向同性的线耳g卜质，则
电场力：
库仑定律：
F112e
41-r
厂3w=
常电荷系统：
Fe
q常数
dl
dW
e
F
常电位系统：
常数
dl
题解
2-1若真空中相距为d的两个电荷5及5的电量分别为q及4q,当点电荷I俚丁5
樹翌连线上时'系统处于平衡状奉，迖求q的大小及莅置。
解要使系统处于平衡状态7点电荷q受錨庶电荷①及•的力应该大
FqF
lq
QQQQ
，同时考虑到:
灯d
12°
42
0粧
rr
?
1
1，邂得
1
2
T・d
!
\
d
23
可见点电荷q可以任意，但应位于点电荷q1和的连线上＞且与点电
Iz
习题图2-2
4r
01
eree
1
已方向为么2
02
荷q】相距d・
3
2-2已知真空屮有三个点电荷，其电量及位置分别为：
P{0,0,1）
PSLO,Dp]oj,0）
试求位于P（0,1.0）点的电场强度。
解令r轴分别为三个电电荷
旳位置PnP.VJP点的距离，
则P点的合成电场强度为
+min
1238212382123
2-3直接利用式（2-2-14）计算电偶极子的电场强度。
解令点电荷q位于坐标原点，t为点电荷q至场点P的距离。
再令点电荷q位于+z坐
标轴上，珥为点电荷q至场点P的距离。
两个点
电荷相距为1,场点P的坐标为（「，）P4>
根据叠加原理>电偶极子在场点P产生的电场为考虑到r»l,
qrr33A]
E二
一=（+
式中122
—nl2rlcosl2cos
r2
0
11厶］.2
迦变122rcos
取在零点作泰勒展开。
由于
1几略吝高阶项*什
11111芯・1
11cos2C0S
1rrri
利用球坐标系屮的散度计算公式，求出电场鹼为F
qlllqlcosqlsin
40nr2i4r
2-4已知真空屮两个点电荷的电
题图2-4所示。
试求：
①PJE无盼卑护的功。
2針”
00
VT二一
1q%=X—lcnilcm
兀
q6
22.510V
4or
因此，将电量为210C
°的点电荷由无限远处缓慢地移到P点，外力
1
必须做的功为Wq5J=9=（）2-5通过电位计算有限长线电荷的电场强度。
解建立圆柱坐标系。
令先电
荷沿z轴放曹>由于结构以z轴对称,e
场强与尢夭。
为了简甲起见，令场点位于yz平面。
设线电荷的长度为L,密度为
P
1,线电荷的中点位于坐标原
利用电位叠加原理，求得场点
P的电位为
点，场点P的坐标为・Zo
2
In
OLL
Pzg22习题图2-5
dl
20
式屮
loZllo故
）+L
1
2
因E可知电场强度的z分量为
Elii
z
z4z
0
22
LL
77
2
2
r
22
111
Eln
i
i4r
（J（+/）z血；；（+/我+/）+
4J（_/）+21（_/7（-/厂J丄2
0zL2rzL2zL2'々
02
zL2zL2zL
11
nr
4rA
11
itanit卅
0121tan
P
一（（一8）_（・0））
tan2tan2tan
lcoslcos
rfn丄1
0
虹。
血L
zz
¥02a
sinsJ/f$cos2cosie
0r
可见，这些结果与教材2-2节例4完全相同。
p=pe
2-6己矩分布在半径为a的半圆周上的电荷线密度
sin,0
10
试求圆心处的电场强度。
sin.0
y4
a解建立直角坐标，令线电荷位于％
Exy平面•且以y轴为对称，如习题图2-6所
二习题图一©点电荷1
718id
在圆心处产宇的$场萨更基有两$分量和E,。
由于电荷分布以y轴为对称，因此，仅需
7TP
=/
dEdEy
P考虑
到dlad,sg代入、上式求得合成电场强度为
ttPo
TOya
dl解建立直角坐标，令圆环兀PP；!
位于坐标原点\/Ml葩1・
习题图2-7
id
点电荷1
2・7所示。
那么,
在Z轴上P点产生的电位为
A
4or
根据叠加原理，圆环线电荷在P点产生的合成电位为
00
02
11
dldl
r4r
la
2・8设宽度为W,向密度为
W
解建
因电场强度E，则圆网践电荷在P点产生的电场强度为
E_尘）「Pz洱
Z&（+）
Z2
P2%
s的带状电荷位十真空屮,
W
2
P（x,y）
2
立直角
（a）（b）芈标…
且令带
券题图2-8
P
状电荷
位于xz平而内，枫鉅餌2,8）所示。
带I犬电荷可划分为很多条宽度为dx
的无限长线电荷，
号线密度为申。
那勾一华弄限长线畀荷产半的电
场强度与坐标变量z无矢＞即
式屮rxxy
xxyl
ereeexxe
xyx
nr
dx
得dEezxxey
2xxy0
那么Ewexxxeyv
22xxy
10
♦2
sarctaii2arctaii2
exlne
p42yyoo
xv
（+吗
解如图2-9所示、在圆盘
上取一半怪为「诫为p（
=[=2-9—―
dr的圆环>该圆环具有的但+）1Ei|<+
何重为dq2rdio由于選華性，谬淨坏电荷在z轴上任一点P产
生的电场强度仅的工有Z分量c根据习题2-7结果，获知该圆环电荷在P产生的电场
强度的产分量为VVV
21zd
dEz2r
2Or.
32
那么，整个圆盘电荷在P产生的电场强度为
32z
2o22za2
弍0
2・10已知电荷密度为
s及s的两块尢限大向电荷分别位±x=0及x二1平
L
e=e
zrdrszz
面，试求xL0x1及xO区域屮的电场强度。
解无限大平而电荷产生的场强分布一定是均匀的，其电场方向垂直于
无限大平面，且分别指向两侧。
因此，位于x=0平面内的无限大面电荷s,在x〈0区域屮产生的电场强度E】亡E】，在x>0区域屮产
x
X<1区域中产生的电场强度Ece.E,在x>l区域屮严生的电场强
生的电场强度Ee：
E。
位丐x二1平面内的无限大面电荷
11
丿艾
E：
e7E=-
<0
由电场强度法向边界条件获矩，
SEE命e
即SEE瞄8
由此求得
根据叠加定理.
EE=
=p
=0
=p
=0
EEc=
Ps
12
2SO
吨孑rJ
Y°EE舫&=-p4
各区域屮的电场强度应为
<<1
EE=ik・Ee諭
EE_IEAEe当％x
2-11若在球坐标系屮，电荷分布函数为
0,Orap科N
!
10、arb
0,rb
<<<<>
试求Oia,arb及lb区域中的电通密度Do
解作一个半径为r的球面为高斯而，由对称性可矩
寸・—=
DdsqD曲
s4ir
式中q为取合晅S包围的电荷。
那么
在Om：
区域中，由于q二0,因此D二0。
在aib
区域中，闭合而S包围的电荷量为
=/P3）
q63
vdvlOra
633
lOra
因此，De>
2「直［P=_
在rb区域中，闭合面S包围的电荷量为
634
vdvlOba
Odd
因此,
DIOba
3i
2-12若带电球的内外区域屮的电场强度为
试求球内外各点的电位。
解
2-13已知圆球坐标系中空间电场分布函数为・pM
Ee
ja
2
rv•
试求空间的电荷密度。
解利用高斯定理的微％财式电V得知在球坐标系w
0
1d円P（rE）=soo（孑腔
那么，在”区域屮电荷密度为
P（）=8）=
^52r1div
ld5>
八Oan
2
rdr
2-14已知真空中的电荷分布函数为
2
）TT
0/ra
式中工为琢辔系中的半径>试求空间各点的电场强度。
解由于电亦分布具有球对称性，取球面为高斯面•那么根据高斯定理
Jp（）=3•
QQ
E2
S“
=叫“
Z8
在Om区域中
V
qi1224
▼▼
dv4ridiT
5
141"
o
4rr
25
13
5
q尸卩（）=/7122
dv4ndia
=4兀
7T
H
r€8
1451a
2*o
4i5O5J0
2-15已知空间电场强度E3ex4®5e2,试求（0,0.0）与（1,1,2）
两点间的电位差。
解设匕点的坐标为（0Q0J,的电位匕点的坐标为（1,1,2,）,那么，两点间
差为=『
p2
+f+
4
式中3x4e5e,PredxeAved扌）=—（
Ee,肉此电丿位差为
vzxyz
1,1,2g=
V3dx4gy鮒脅
2-16已知同轴圆柱电容器的内导体半径为外导体的内半怪为b若
填充介质的相对介电常数2
=“试求在外导体尺寸不变的情况下，为
了获得算高耐压，内外导体半径之比。
解已知若同轴线单位长度内的电荷量为q],则同轴线内电场强度
EQIeo为了使同轴线获得最高耐压，应在保持内外导体之间的21-1
电位差v不变的情况下；订吏冋轴线诵帀輕慶达到最小值，即应
最大的使内导体表面口I强b达5＞沖为月
的电容为
-o7
创Q.VlnbVb
In
aa=,（㈡则同轴线内导体表而ra处吨场净度为
令b不变，以比值b为变量，对上式求极值，获知当比值e»时，EaJa取得最小值，即同轴线获得最高耐压。
2J7若在一个电荷密度为，半径为a的均匀带电球屮>存在一个半
径为b的球形空腔>空腔屮心与带电球中心的间距为d,试求空腔屮的电场强度。
解此题可利用高斯定理和叠加原理求解。
首先设半径为3的整个球内充满电荷密度为的电荷，则
习题图2-17
球内P点的电场强度』气P
718
143
Elp4ofyJ
式屮r是由球心。
点指向P点的位置矢量•
再设半径为b的球腔内允满电荷密度为的电荷>则其在球内P点的电场强度为
718
口|43
E2P公t爼r,
4Qr33o
式中r昂由幣i\o占指向P占的仿:
冒
那么，合成电场强披E屆即是丿帛先空腔内任一点的电场强度,
P,P
即=+=（—）=
8Z
3300
V
习题图2J8
式中d是由球心o点指向腔心o点的位置矢量。
可见均匀的。
2-18已知介质圆柱体的半径为a,长度为1,极化时，极化强度为P.试求介质中束缚电荷在圆柱内外轴线上产生的电场强度。
解建立圆柱坐标，且令圆柱的下端面位于xy平
面。
由于是均匀极化，故只考虑而
束缚电荷O而且该犁曳荷仅存在圆柱上
下端面。
已知面束缚电荷密度与极化强度
的矣系为
sPe
n
式中为後面的外法线方向上单位矢量。
由此求得圆柱体上端而的束缚电荷而密度
为ifnP,二圆柱体下端而的束缚而电荷密度为s2Po
由习题2・9获知，位于xy平面>面电荷为P的圆盘在其轴线上的
电场强度为
因此，圆柱下端面束缚电荷在Z轴上年生的电场强度为
+
z
22za
而圆柱上端而束缚电荷在z
PZ1
El9e
2Ozl（zJ
那么，上下端面束缚电荷在Z轴上任一点产生的合成电场强度为
「Pzlzl
Ee丁
zz
z
2za
zlz
229
q•=n71Zld~~；7?
07T
2」9已知内半怪为亦护彳衣为忠的均匀介质球壳的介电常数为，若在球心放置一个电量为q的点电荷，试求：
①介质壳内外表面上的束缚电荷;V②客区域屮的电场强度。
解先求各区域中的电场理度。
—很据介质中高斯定理
87182
4r2er
>dsq4rDqD
在Ota区域屮，电场强度为
F6q
04r
2C
0
=（&上）
在吐b区域中>电场强度为
（Z）
=I
TtsZ）n
在tb区域中>电场强度为
E-026
再求介质壳内外表而上的束缚电荷。
由于PE
0,则介质壳内表而上束缚电荷而密度为
siiPerPo2iqq
4a4a
QQ
外表而上束缚电荷而密度为
psnBerP・
7182
4b4b
2-20将一块无限大的厚度为d的介质梔放在均匀电场E屮，周圉媒质
为真空。
已知介质板的介电常数为，均匀电场E的方向与介质板法线江
60=—
旳夹角为”如习题图2-20所示。
当介质板中的电场线方向2时＞
0
试求角度I及介质表面的束缚电荷面密度。
解根据两种介质的边界条件获知，边界习题图2-20上电场强度切向分量和电通密度的法
向分量连续。
因苗可得Q（
DcoslDcos
EsmlEsin：
已知DoE.DE,那么囲上式求得
■■■■*«■■■MM■■■■■■~|
tail9iQtarftanarctaii+
g121
2
:
八
00
P*=
已知介质表面的束缚电荷ser.Pen（DoE）,
sle*e*旳卿lEcos
与嘅墮观）&os
2-21已订两个导体球的半径分别为6cm及12cm,电量均为
6
310C,相距很远。
若以导线相连后，试求：
①电荷移动的方向及电量；②两球最终的电位及电量。
解设两球相距为d，考虑到d»a,d»b，两个带电球的电位为
两球以导线相连后，两球电位相等，电荷重新分布，但总电荷量应
该守恒,即S及屯q6io芒求得两球最终的电量分别妙如一q】qq+
adbd2ab3（
隅一匚二
+
2ab3
可见，电荷由半径小的导体球转移到半径大的导体球，移动的电荷量为
两球最终电位分别为
9抽……
.—X
0
酗15
V
1
43
310
A
Q=-
=X
0
斑5
V
2
310
4
b
n
2-22已知两个导体球的重量分別为nu=5g,m：
=10g,电量均为
6
510C,以无重量的绝缘线相连。
若绝缘线的长度l=lm,且远大于两球的半径，试求；①绝缘线切断的瞬时'每球的加速度；②绝缘线切
断很久以后，两球的速度。
_
解①绝缘线切断的瞬时•'每球受至縮•匚據…宇
718718
0.225N
510510
因此，两球获得的加速度夯别为
F0.225
F0.2253222.
5ms
145
1Q2Q1
2
40X21
=—02—0
②当两球相距为1絆球的电位分别为ql
此吋，系统的电场能量为
绝缘线切断很久以后，电位分别为
1
W4
21
两球相距很远（l»a.l»b）,
那么
2Q
两球的
18
幻二亠・
%
由此可见，绝缘线切断很久的前后，系统电场能量的变化为
厶
1qo1q.=p
A2q1q225（J）
W241]241241
000
这部分电场能量的变化转变为两球的动能，根据能量守恒原理及动量守恒定理可得下列方
程：
=—+—
1122
Wmvmv,iHiVaV20
22
由此即可求出绝缘裁切断（mA以后两球的速度円们（/）
12：
v7.74ms；Vz3.87ms
2-23如习题图2-23所示，半径为a的导体球屮有两个较小的球形空腔。
若在空
解根摇原-H2-7节所述，封闭导体空腔具有萍电屏蔽待
之间没有作用力，q。
对卄对卄占cM讪九=心业也没冇柞用力。
但是习题便F233
q”及在导体外
31-r
表向严生的感应电荷・q〕及•对」礪有•作用力。
考唐到[»恥很据库仑定律获知该作用力为
2-24证明位于无源区屮任一窃&曳輕平均值等于其球心的电位，而与球外的电荷分布特性无矢-解已知电位与电场强度的矢系为E,又知E,由此获知电位满足下列泊松方程利用格林函数求得泊松方程的解为
lrlir
rdvrrds
4vn4rr
9（）=—c
若闭合面s内为无源区，即0、那么
hr
:
;4严皿（
若闭合面s为一个球面，其半径为a,球心为场点，则na那
1=-V么上式变为
玖尸耸一9'•'+—一八（*）smd71
4Saaq'•'=
考虑到差矢量IT的方向为该球而的半径方向，即与ds的方向恰好相反，又E,则上式变为
11ds
rEds2r
4aS4aS_
由于在s面内无电荷，则Eds*那么
1ds
rzi2r
4aS
由此式可见，位于无源区中任一球面上的电位的平均值等于其球心的电位，而与球外的电荷分布无矢。
2-25已知可变电容器的最头电容量ClOOpF,最小电容量
max
==—=x一
ClOpF,外加直流电压为300V,试求使电容器由最小变为最大的nun过程中外力必须作的功。
解在可变电容器的电容量由最小变为最大的过程中，电源作的功和外力作的功均转变为电场储能的増量，即
恤外
式中WV讯資諾CV）,
UO（J）
min
20
A=/^naxe）V4..0510=W2mill
外力必须作的功为
因此，
=-x）
W4^p510Jv7
2-26若便两个电容器均为C的真空电容器允以电压V后，断开电源相
8
互并联，再将其中之一填满介电常数为「的理想介质，试求：
①两个电容器的最终电位；②转移的电量。
解两电容器断开电源相互并联，再将其中之一填满相对介电常数为
二=9
理想介质后，两电容器的电容量分别为
C1C,C21C
两电容器旳电量分别为+q】，可，且
Q1Q22CV
由于两个电容詬禹帝丽毒，因花
联立上述两式，求得
因此，两电容器的最终电位为
>
Q1q22V
C1c2i—
8+r
考虑到qjq,转〔移的电量为
q翌
2-27同轴圆柱电容器的内导体半怪为a,外导体半径为b,其
内一半填充介电常数为】的介质，另一半填充介质的介电常12数为2,如习题图2・27所示。
当外加电压为V时，试求：
①电容器屮的电场强度；
习题图2-27②各边
界上的电荷密度；③电容及储能。
解①设内导体的外表面上单位长度的电量为q，外导体的内表面上单位长度的电量为q。
•取内外导体之间一个同轴的单位长度圆柱面作为高斯而，由高斯定理
qDdsqaibs（<<）
求得rDDq
已知D】E,亠由〕〕处种企麼的分界而上电场强度的切
冋分量必级逵续，即E]Ey密
内外导体之间的电位差为
bqb
VEdTlh
IT（E+；
12
12
即单位长度内的电荷量为qV
bhi
故同轴电容器中的电场强度壮"MIE%
Ill
；1
lerE
&ln
P~
外导体的内表面上的电荷面密度为
le.F
bill
③单位长度的电容为
=J7+J—
电容器屮的储能密度为
12bIn
C口
2V
bb
In
22
2-28•平板电容器的结构如习题图2・28所示，间距为d,极板面积为Ik试求：
1接上电压V时，移去介质前后电容器屮的电场强度'电通密度、各边界上的电荷密度、电容及储能；
2断开电源后，再计算介质移去前后以上各个参数。
—1
解①接上电源，介质存在时，介质边界上电场强度切向分量必须连续，习题图2-288=8二乞一
V
因此丄才质0?
卜的电场强度E是相等的，即电场强度为E。
但是介
V
DooEOo
d
两部分极板表面自由电荷朮巒废芬划力=（2+sOO
d
）-
11
电容器的电量q“cc
ql
V2d
2d
电容量为c
厶乙
若接上电压时，移去介质，那么电容器屮的电场强度为
电通密度为
极板表而自由电荷而密度为
电容器的电量为qg2
=500-
电容量为C
qi
Vd
电容器的储能为
2d
23
②断开电源后，移去介质前，各个参数不变。
但是若移去介质，由于极板上的电量q不变，电场强度为
QV（s+20）
~Z12d〜“
电通密度为DE
升级会员 