4 获奖 公开课一等奖教案 角平分线.docx

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4获奖公开课一等奖教案角平分线

1．4　角平分线

第1课时　角平分线

1．复习角平分线的相关知识，探究归纳角平分线的性质和判定定理；（重点）

2．能够运用角平分线的性质和判定定理解决问题．（难点）

一、情境导入

问题：

在S区有一个集贸市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路．

问题1：

怎样修建道路最短？

问题2：

往哪条路走更近呢？

二、合作探究

探究点一：

角平分线的性质定理

【类型一】应用角平分线的性质定理证明线段相等

如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF.求证：

（1）CF＝EB；

（2）AB＝AF＋2EB.

解析：

（1）根据角平分线的性质，可得点D到AB的距离等于点D到AC的距离，即CD＝DE.再根据Rt△CDF≌Rt△EBD，得CF＝EB；

（2）利用角平分线的性质证明△ADC和△ADE全等得到AC＝AE，然后通过线段之间的相互转化进行证明．

证明：

（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC.在Rt△DCF和Rt△DEB中，∵

∴Rt△CDF≌Rt△EBD（HL）．∴CF＝EB；

（2）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴CD＝DE.在△ADC与△ADE中，∵

∴△ADC≌△ADE（HL），∴AC＝AE，∴AB＝AE＋BE＝AC＋EB＝AF＋CF＋EB＝AF＋2EB.

方法总结：

角平分线的性质是判定线段相等的一个重要依据，在应用时一定要注意是两条“垂线段”相等．

【类型二】角平分线的性质定理与三角形面积的综合运用

如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是（　　）

A．6B．5C．4D．3

解析：

过点D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DF＝DE＝2，∴S△ABC＝

×4×2＋

×AC×2＝7，解得AC＝3.故选D.

方法总结：

利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法．

【类型三】角平分线的性质定理与全等三角形的综合运用

如图所示，D是△ABC外角∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F.求证：

CE＝CF.

解析：

由角平分线上的性质可得DE＝DF，再利用“HL”证明Rt△CDE和Rt△CDF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．

证明：

∵CD是∠ACG的平分线，DE⊥AC，DF⊥CG，∴DE＝DF.在Rt△CDE和Rt△CDF中，∵

∴Rt△CDE≌Rt△CDF（HL），∴CE＝CF.

方法总结：

全等三角形的判定离不开边，而角平分线的性质是判定线段相等的主要依据，可作为判定三角形全等的条件．

探究点二：

角平分线的判定定理

【类型一】角平分线的判定

如图，BE＝CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC，求证：

AD是∠BAC的平分线．

解析：

先判定Rt△BDE和Rt△CDF全等，得出DE＝DF，再由角平分线的判定可知AD是∠BAC的平分线．

证明：

∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，∴∠BED＝∠CFD，∴△BDE与△CDF是直角三角形．在Rt△BDE和Rt△CDF中，∵

∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴DE＝DF.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD是∠BAC的平分线．

方法总结：

证明一条射线是角平分线的方法有两种：

一是利用三角形全等证明两角相等；二是角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上．

【类型二】角平分线的性质和判定的综合

如图所示，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F.下面给出四个结论，①AD平分∠EDF；②AE＝AF；③AD上的点到B、C两点的距离相等；④到AE、AF距离相等的点，到DE、DF的距离也相等．其中正确的结论有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

解析：

由AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC可得DE＝DF，由此易得△ADE≌△ADF，故∠ADE＝∠ADF，即①AD平分∠EDF正确；②AE＝AF正确；中垂线上的点到两端点的距离相等，故③正确；∵④到AE、AF距离相等的点，在∠BAC的角平分线AD上，到DE、DF的距离相等的点在∠EDF的平分线DA上，两者同一条直线上，所以到DE、DF的距离也相等正确，故④正确；①②③④都正确．故选D.

方法总结：

运用角平分线的性质或判定时，可以省去证明三角形全等的过程，可以直接得到线段或角相等．

【类型三】添加辅助线解决角平分线的问题

如图，△ABC的∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点D.求证：

AD是∠BAC的平分线．

解析：

分别过点D作DE、DF、DG垂直于AB、BC、AC，垂足分别为E、F、G，然后利用角平分线上的点到角两边的距离相等可知DE＝DG，再利用到角两边距离相等的点在角平分线上来证明．

证明：

分别过D作DE、DF、DG垂直于AB、BC、AC，垂足分别为E、F、G.∵BD平分∠CBE，DE⊥BE，DF⊥BC，∴DE＝DF.同理DG＝DF，∴DE＝DG，∴点D在∠BAC的平分线上，∴AD是∠BAC的平分线．

方法总结：

在遇到角平分线的问题时，往往过角平分线上的一点作角两边的垂线段，利用角平分线的判定或性质解决问题．

【类型四】线段垂直平分线与角平分线的综合运用

如图，在四边形ADBC中，AB与CD互相垂直平分，垂足为点O.

（1）找出图中相等的线段；

（2）OE，OF分别是点O到∠CAD两边的垂线段，试说明它们的大小有什么关系．

解析：

（1）由垂直平分线的性质可得出相等的线段；

（2）由条件可证明△AOC≌△AOD，可得AO平分∠DAC，根据角平分线的性质可得OE＝OF.

解：

（1）∵AB、CD互相垂直平分，∴OC＝OD，AO＝OB，且AC＝BC＝AD＝BD；

（2）OE＝OF，理由如下：

在△AOC和△AOD中，∵

∴△AOC≌△AOD（SSS），∴∠CAO＝∠DAO.又∵OE⊥AC，OF⊥AD，∴OE＝OF.

方法总结：

本题是线段垂直平分线的性质和角平分线的性质的综合，掌握它们的适用条件和表示方法是解题的关键．

三、板书设计

1．角平分线的性质定理

角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．

2．角平分线的判定定理

在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．

本节课由于采用了动手操作以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生对角以及角平分线的性质的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因而本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的．不足之处是少数学生在性质的运用上还存在问题，需要在今后的教学与作业中进一步的加强巩固和训练.第2课时　三角形三条内角的平分线

1．在角平分线的基础上归纳出三角形三条内角的平分线的相关性质；（重点）

2．能够运用三角形三条内角的平分线的性质解决实际问题．（难点）

一、情境导入

从前有一个老农，他有一块面积很大的三角形土地，其中BC边紧靠河流，他打算把这块土地平均分给他的两个儿子，同时每个儿子的土地都要紧靠河流，应当怎样分？

二、合作探究

探究点：

三角形角平分线的性质及应用

【类型一】利用角平分线的判定求角的度数

在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝70°，则∠BOC的度数为（　　）

A．110°

B．125°

C．130°

D．140°

解析：

由已知，O到三角形三边的距离相等，所以O是内心，即三条角平分线的交点AO，BO，CO都是角平分线，所以有∠CBO＝∠ABO＝

∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝

∠ACB，∠ABC＋∠ACB＝180°－70°＝110°，∠OBC＋∠OCB＝55°，∠BOC＝180°－55°＝125°，故选B.

方法总结：

由已知，O到三角形三边的距离相等，得O是内心，再利用三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数．

【类型二】三角形内外角平分线的应用

如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个塔台，若要求它到三条公路的距离都相等，试问：

（1）可选择的地点有几处？

（2）你能画出塔台的位置吗？

解析：

（1）根据角平分线的性质得出符合条件的点有4处；

（2）作出相交组成的角平分线，平分线的交点就是所求的点．

解：

（1）可选择的地点有4处，如图：

P1、P2、P3、P4，共4处；

（2）能．如图，根据角平分线性质作三直线相交的角平分线，平分线的交点就是所求的点．

方法总结：

三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，反过来，到三角形三边距离相等的点，即为三角形内角平分线或两外角平分线的交点，这一结论在以后的学习中会经常遇到．

三、板书设计

三角形三条内角的角平分线

三角形的三条内角的角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．

本节课借助于直观的模型引导学生进行观察、猜想和验证，从而引导学生在自主探究的基础上，通过与他人的合作交流探究出角平分线的性质定理和逆定理，这样有效地提高了课堂的教学效果，促进了学生对新知识的理解和掌握．不足之处是少数学生在应用角平分线的性质定理和逆定理解题时，容易忽视“平分线上的点到角两边的距离相等”这一条件，需要在今后的教学和作业中加强巩固和训练.

2．2　不等式的基本性质

1．理解并掌握不等式的基本性质；（重点）

2．能够运用不等式的基本性质解决问题．（难点）

一、情境导入

小刚的爸爸今年32岁，小刚今年9岁，小刚说：

“再过24年，我就比爸爸年龄大了”．小刚的说法对吗？

为什么？

二、合作探究

探究点一：

不等式的基本性质

【类型一】根据不等式的基本性质判断大小

已知a＜b，用不等号填空：

（1）a＋3________b＋3；

（2）－

________－

；

（3）3－a________3－b.

解析：

（1）两边都加3，a＋3＜b＋3，

（2）两边都除以－4，－

>－

，（3）两边都乘－1，－a＞－b，两边都加3，3－a＞3－b.故答案为：

＜，＞，＞.

方法总结：

不等式的基本性质是不等式变形的重要依据，关键要注意不等号的方向．性质1和性质2类似于等式的性质，但性质3中，当不等式两边乘或除以同一个负数时，不等号的方向要改变．

【类型二】判断变形是否正确

已知a＞b，则下列不等式中，错误的是（　　）

A．3a＞3bB．－

<－

C．4a－3＞4b－3D．（c－1）2a＞（c－1）2b

解析：

A.在不等式a＞b的两边同时乘以3，不等式仍成立，即3a＞3b，故本选项正确；B.在不等式a＞b的两边同时除以－3，不等号方向改变，即－

<－

，故本选项正确；C.在不等式a＞b的两边同时先乘以4、再减去3，不等式号方向不变，即4a－3＞4b－3，故本选项正确；D.当c－1＝0，即c＝1时，该不等式不成立，故本选项错误；故选D.

方法总结：

“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：

（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；

（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．

探究点二：

不等式性质的运用

【类型一】把不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式

把下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式．

（1）2x－2<0；

（2）3x－9<6x；

（3）

x－2＞

x－5.

解析：

根据不等式的基本性质，把含未知数的项放到不等式的左边，常数项放到不等式的右边，然后把系数化为1.

解：

（1）根据不等式的基本性质1，两边都加上2得2x<2.根据不等式的基本性质2，两边都除以2得x<1，

（2）根据不等式的基本性质1，两边都加上9－6x得－3x<9.根据不等式的基本性质3，两边都除以－3得x＞－3；

（3）根据不等式的基本性质1，两边都加上2－

x得－x>－3.根据不等式的基本性质3，两边都除以－1得x<3.

方法总结：

运用不等式的基本性质进行变形，把不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式时，可以先在不等式两边同时加上一个适当的代数式，使含未知数的项在不等式的左边，常数项在不等式的右边（也可通过移项实现）．然后把未知数的系数化为1，要注意的是：

如果两边都乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变；如果两边都乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变．

【类型二】根据不等式的变形确定字母的取值范围

如果不等式（a＋1）x＜a＋1可变形为x＞1，那么a必须满足________．

解析：

根据不等式的基本性质可判断a＋1为负数，即a＋1＜0，可得a＜－1.

方法总结：

只有当不等式的两边都乘（或除以）一个负数时，不等号的方向才改变．

三、板书设计

1．不等式的基本性质

性质1：

不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变；

性质2：

不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；

性质3：

不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变．

2．把不等式化成“x>a”或“x

“移项”依据：

不等式的基本性质1；

“将未知数系数化为1”的依据：

不等式的基本性质2、3.

本节课学习不等式的基本性质，在学习过程中，可与等式的基本性质进行类比，在运用性质进行变形时，要注意不等号的方向是否发生改变；课堂教学时，鼓励学生大胆质疑，通过练习中易出现的错误，引导学生归纳总结，提升学生的自主探究能力.第2课时　三角形三条内角的平分线

1．在角平分线的基础上归纳出三角形三条内角的平分线的相关性质；（重点）

2．能够运用三角形三条内角的平分线的性质解决实际问题．（难点）

一、情境导入

从前有一个老农，他有一块面积很大的三角形土地，其中BC边紧靠河流，他打算把这块土地平均分给他的两个儿子，同时每个儿子的土地都要紧靠河流，应当怎样分？

二、合作探究

探究点：

三角形角平分线的性质及应用

【类型一】利用角平分线的判定求角的度数

在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝70°，则∠BOC的度数为（　　）

A．110°

B．125°

C．130°

D．140°

解析：

由已知，O到三角形三边的距离相等，所以O是内心，即三条角平分线的交点AO，BO，CO都是角平分线，所以有∠CBO＝∠ABO＝

∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝

∠ACB，∠ABC＋∠ACB＝180°－70°＝110°，∠OBC＋∠OCB＝55°，∠BOC＝180°－55°＝125°，故选B.

方法总结：

由已知，O到三角形三边的距离相等，得O是内心，再利用三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数．

【类型二】三角形内外角平分线的应用

如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个塔台，若要求它到三条公路的距离都相等，试问：

（1）可选择的地点有几处？

（2）你能画出塔台的位置吗？

解析：

（1）根据角平分线的性质得出符合条件的点有4处；

（2）作出相交组成的角平分线，平分线的交点就是所求的点．

解：

（1）可选择的地点有4处，如图：

P1、P2、P3、P4，共4处；

（2）能．如图，根据角平分线性质作三直线相交的角平分线，平分线的交点就是所求的点．

方法总结：

三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，反过来，到三角形三边距离相等的点，即为三角形内角平分线或两外角平分线的交点，这一结论在以后的学习中会经常遇到．

三、板书设计

三角形三条内角的角平分线

三角形的三条内角的角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．

本节课借助于直观的模型引导学生进行观察、猜想和验证，从而引导学生在自主探究的基础上，通过与他人的合作交流探究出角平分线的性质定理和逆定理，这样有效地提高了课堂的教学效果，促进了学生对新知识的理解和掌握．不足之处是少数学生在应用角平分线的性质定理和逆定理解题时，容易忽视“平分线上的点到角两边的距离相等”这一条件，需要在今后的教学和作业中加强巩固和训练.