专题一阿基米德三角形的性质讲课教案.docx

资源描述

专题一阿基米德三角形的性质讲课教案.docx

《专题一阿基米德三角形的性质讲课教案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题一阿基米德三角形的性质讲课教案.docx（24页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

专题一阿基米德三角形的性质讲课教案.docx

专题一阿基米德三角形的性质讲课教案

专题一阿基米德三角

形的性质

阿基米德三角形的性质

阿基米德三角形：

抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形。

阿基米德最早利用逼近的思想证明了：

抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面

积等于阿基米德三角形面积的。

阿基米德三角形的性质：

设抛物线方程为 x2=2py，称弦 AB 为阿基米德三角形的底边，M 为底边 AB 的

中点，Q 为两条切线的交点。

性质 1 阿基米德三角形底边上的中线与抛物线的轴。

性质 2阿基米德三角形的底边即弦 AB 过抛物线内定点 C，则另一顶点 Q 的

轨迹为。

性质 3 抛物线以 C 为中点的弦与 Q 点的轨迹。

性质 4 若直线 l 与抛物线没有公共点，以 l 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边

过定

点。

性质 5 底边长为 a 的阿基米德三角形的面积的最大值为。

性质 6 若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点 Q 的轨迹为抛物线的，且阿

基米德三角形的面积的最小值为。

性质 7 在阿基米德三角形中，∠QFA=∠QFB。

性质 8 在抛物线上任取一点 I（不与 A、B 重合），过 I 作抛物线切线交 QA、QB

于 S、T

QST 的垂心在上。

性质 9 |AF|·|BF|=|QF|2.

性质 10 QM 的中点 P 在抛物线上，且 P 处的切线与 AB。

性质 11 在性质 8 中，连接 AI、BI

ABI 的面积是△QST 面积的倍。

高考题中的阿基米德三角形

例 1 （2005 江西卷，理 22 题）如图，设抛物线C :

y = x 2的焦点为 F，动点 P 在直

线 l :

x - y - 2 = 0 上运动，过 P 作抛物线 C 的两条切线 PA、PB，且与抛物线 C 分别

相切于 A、B 两点.

（1

APB 的重心 G 的轨迹方程.

A F

（2）证明∠PFA=∠PFB.

解：

（1）设切点 A、B 坐标分别为（x , x 2 ）和（x , x 2 ）（（ x

x ），

∴切线 AP 的方程为：

2x x - y - x 2 = 0;

切线 BP 的方程为：

2x x - y - x 2 = 0;

解得 P 点的坐标为：

x = x 0 + x1 , y = x x

P2P0 1

所以△APB 的重心 G 的坐标为，

3 =

3 ,

y = y 0 + y1 + yP

x 2 + x 2 + x x

0 1 0 1

（x + x ）2 - x x

0 1 0 1

2 - y

所以 y = - 3y + 4x 2 ，由点 P 在直线 l 上运动，从而得到重心 G 的轨迹方程为：

x - （- 3y + 4x 2 ） - 2 = 0,即y =

（4x 2 - x + 2）.

（2）方法 1：

因为 FA = （x , x 2 - 1）, FP = （ x 0 + x1 , x x - 1）, FB = （x , x 2 - 1）.

uuuruuuuuu

0 111

004244

uuur

由于 P 点在抛物线外，则 | FP |¹ 0.

uuur uuur

FP ×FA

uuur uuur = uuur 4 ,

| FP || FA | | FP |

∴ cos ?

A FP

x + x 1 1 1

0 1 ?

x （x x - ）（ x 2 - ） x x +

0 0 1 0 0 1

uuur

| FP | x 2 + （x 2 - ）2

0 0 4

uuur uuur

FP ×FB

uuur uuur = uuur 4 ,

uuur

| FP |x 2 + （x 2 - ）2

同理有 cos ?

BFP

∴∠AFP=∠PFB.

x + x 1 1 1

0 1 ?

x （x x - ）（ x 2 - ） x x +

1 0 1 1 0 1

| FP || FB | | FP |

1 1 4

2 , 0），则 P

方法 2：

①当 x x = 0时,由于x ?

x , 不妨设x

1 010

0,则y = 0, 所以 P 点坐标为（

点到直线 AF 的距离为：

d = | x1 | ; 而直线BF 的方程 :

y - 1 =

即（x 2 - 1）x - x y + 1 x = 0.

1441

x 2 -

1 2 4 x

4 x,

x 2

2= | x1 |

所以 P 点到直线 BF 的距离为：

d =

1 x x

| （x 2 - ） 1 + 1 | （x 2 +

1 4 2 4 1

（x 2 - ）2 + （x ）2

1 | x |

） 1

1 2

②当 x x ¹ 0 时，直线 AF 的方程：

y - 1 =0

4 （x - 0）, 即（x 2 - 1）x - x y + 1 x = 0,

4 x - 0 4 40

所以 d1=d2，即得∠AFP=∠PFB.

x 2 -

1 0

直线 BF 的方程：

y - 1 =1

4 （x - 0）, 即（x 2 - 1）x - x y + 1 x = 0,

x 2 -

4x - 0441

所以 P 点到直线 AF 的距离为：

4 = | x 0 - x1 |

4 2 40 =

x 2 +

d =

| （x 2 -

x - x

1 x + x 1 1

）（ 0 1 ） - x 2x + x | | 0 1 ）（ x 2 + ）

（x 2 - ）2 + x 2

0 1 2 0

1 2

，

同理可得到 P 点到直线 BF 的距离 d = | x1 - x 0 | ，因此由 d1=d2，可得到∠AFP=∠

PFB

⎩1－y1＝λ（y2－1） ②

例 2 （2006 全国卷Ⅱ，理 21 题）已知抛物线 x2＝4y 的焦点为 F，A、B 是抛物线上的

→→

两动点，且AF＝λFB（λ＞0）．过 A、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为

Ｍ．

→ →

（Ⅰ）证明FM·AB为定值；

（Ⅱ）设△ABM 的面积为 S，写出 S＝f（λ）的表达式，并求 S 的最小值．

解：

（Ⅰ）由已知条件，得 F（0，1），λ＞0．

→→

设 A（x1，y1），B（x2，y2）．由AF＝λFB，

即得（－x1，1－y）＝λ（x2，y2－1），

⎧－x1＝λx2①

⎨

将①式两边平方并把 y1＝4x12，y2＝4x22 代入得y1＝λ2y2 ③

解②、③式得 y1＝λ，y2＝λ，且有 x1x2＝－λx22＝－4λy2＝－4，

抛物线方程为 y＝4x2，求导得 y′＝2x．

所以过抛物线上 A、B 两点的切线方程分别是

x1＋x2 1 1 1

y＝2x1（x－x1）＋y1，y＝2x2（x－x2）＋y2，

1111

即 y＝2x1x－4x12，y＝2x2x－4x22．

x1＋x2x1x2x1＋x2

解出两条切线的交点 M 的坐标为（2， 4 ）＝（2，－1）． ……4 分

→ →

所以FM·AB＝（2，－2）·（x2－x1，y2－y1）＝2（x22－x12）－2（4x22－4x12）＝0

→ →

所以FM·AB为定值，其值为 0．……7 分

（Ⅱ）由（Ⅰ

知在ABM 中，FM⊥AB，因而 S＝2|AB||FM|．

|FM|＝

＝

x1＋x2

（ 2 ）2＋（－2）2＝

y1＋y2＋2×（－4）＋4 ＝

1 1 1

4x12＋4x22＋2x1x2＋4

1 1

λ＋λ＋2＝ λ＋ λ．

因为|AF|、|BF|分别等于 A、B 到抛物线准线 y＝－1 的距离，所以

|AB|＝|AF|＋|BF|＝y1＋y2＋2＝λ＋λ＋2＝（ λ＋ λ）2．

于是S＝2|AB||FM|＝（ λ＋ λ）3，

由 λ＋ λ≥2 知 S≥4，且当 λ＝1 时，S 取得最小值 4．

例 3（2007 江苏卷，理 19 题）如图，在平面直角坐标系 xOy

中，过 y 轴正方向上一点C （0,c）任作一直线，与抛物线 y = x 2

相交于 AB 两点，一条垂直于 x 轴的直线，分别与线段 AB 和

直线 l :

y = - c 交于 P ,Q ，

uuur uuur

（1）若OA ?

OB 2 ，求 c 的值；（5 分）

（2）若 P 为线段 AB 的中点，求证：

QA 为此抛物线的切线；（5 分）

（3）试问

（2）的逆命题是否成立？

说明理由。

（4 分）

解：

（1）设过 C 点的直线为 y = kx + c ，所以 x 2 = kx + c （c > 0），即 x 2 - kx - c = 0 ，

（x , y ）, B （x , y ），OAur = （x , y ），OBur = （x , y ），因为OAur ?

OBur

设 A

1 1 2 2 1 1 2 2

uu uu uu

2 ，所以

x x + y y = 2 ，即 x x + （kx + c ）（kx + c ） = 2 ， x x + k 2x x - kc （x + x

）+ c

= 2

1 2

所以 - c - k 2c + kc gk + c 2 = 2 ，即 c 2 - c - 2 = 0, 所以 c = 2 （舍去c = - 1）

（2）设过 Q 的切线为 y - y = k （x - x ）， y / = 2x ，所以 k = 2x ，即

11111

骣c

y = 2x x - 2x 2 + y = 2x x - x 2 ，它与 y = - c 的交点为 M çç 1 -

ç桫2 2x

- c÷÷，又

11111

÷÷

P ççç 1

÷÷

骣k k 2

÷÷，所以 Q ççç , -

c÷

c÷÷÷，因为 x x = - c ,所以 -

骣 + xy + y ÷

桫 22÷

2 , 1 2 ÷=

çç2

桫 2

骣

ç2

÷ 桫

1 2

÷ x

= x ，所以

M ççç 1 +2 , -

c÷÷=

çç ,-

c÷÷÷,所以点 M 和点 Q 重合，也就是 QA 为此抛物线的切线。

骣x

ç 2

桫 2

÷÷

çç2

骣

桫

（3）

（2）的逆命题是成立，由

（2）可知 Q ççç , -

c÷÷÷，因为

ç2

骣

桫

PQ ^ x 轴，所以 P ççç , y ÷÷÷

2 = k ，所以 P 为 AB 的中点。

骣

ç2

桫P ÷

因为 x1 + x 2

例 4（2008 山东卷，理 22 题）如图，设抛物线方程为 x 2 = 2py （p > 0）， M 为直线

y = - 2p 上任意一点，过 M 引抛物线的切线，切点分别为 A，B ．

（Ⅰ）求证：

A，M ，B 三点的横坐标成等差数列；

（Ⅱ）已知当 M 点的坐标为（2， 2p）时， AB = 4 10 ．求此时抛物线的方程；

骣 x 2 鼢骣 x 2

珑1

珑 2p 鼢

桫鼢桫2 2p

由 x 2 = 2py 得 y = ，得 y = x ，

（Ⅲ）是否存在点 M ，使得点C 关于直线 AB 的对称点 D 在抛物线 x 2 = 2py （p > 0）

uuuruuuruuur

上，其中，点C 满足OC = OA + OB （O 为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意

的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．

解：

（Ⅰ）证明：

由题意设 A 珑，1 鼢，B x ， 2 ，x < x ，M （x ， 2p）．

120

x 2

2pp

p ， k

p ．

所以 k

= x1

= x 2

因此直线 MA 的方程为 y + 2p =

（x - x ），直线 MB 的方程为 y + 2p =

（x - x ）．

2p + 2p =

p （x - x ），①

2p + 2p =

p （x - x ）．②

所以

x 2

1 0

x 2

2 0

由①、②得

x + x

= x + x - x ，

1 2 0

因此 x =

x + x

，即 2x = x + x ．

0 1 2

所以 A，M ，B 三点的横坐标成等差数列．

（Ⅱ）解：

由（Ⅰ）知，当 x = 2 时，

将其代入①、②并整理得：

x 2 - 4x - 4p 2 = 0 ， x 2 - 4x - 4p 2 = 0 ，

所以 x ，x 是方程 x 2 - 4x - 4p 2 = 0 的两根，

因此 x + x = 4 ， x x = - 4p 2 ，

121 2

= =

= ．

又

x 2 x 2

2 - 1

2p 2p

x - x

x + x x ，所以 k

1 2 = 0

2p p

则CD 的中点坐标为Q ççç 1

÷÷

p （x - x ），

由点Q 在直线 AB 上，并注意到点 ççç 1

2 ，12 ÷也在直线 AB 上，代入得

÷÷

p x ．

2x 2 ÷

因此 x = 0 或 x = 2x ．即 D（0，0）或 D ççç2x ， 0 ÷÷÷．

ç桫 0 p ÷

由弦长公式得 A B =1 + k 2 （x + x ）2 - 4x x =1 + 416 + 16p 2 ．

121 2

又 AB = 4 10 ，所以 p = 1 或 p = 2 ，

因此所求抛物线方程为 x 2 = 2y 或 x 2 = 4y ．

（Ⅲ）解：

设 D（x ，y ），由题意得C （x + x ，y + y ），

331212

骣 + x + xy + y + y ÷

23 ，123 ÷，

桫22÷

设直线 AB 的方程为 y - y = x 0

骣 + xy + y ÷

桫 22÷

y = x 0

若 D（x ，y ）在抛物线上，则 x 2 = 2py = 2x x ，

333303

骣

330

（1）当 x = 0 时，则 x + x = 2x = 0 ，此时，点 M （0， 2p）适合题意．

0120

x 2 + x 2 ÷÷

（2）当 x ¹ 0 ，对于 D（0，0），此时C ç2x ，1

骣

ç2 ÷，

0 桫 0 2p ÷

k =

x 2 + x 2

1 2

x 2 + x 2

1 2 ，

4px

p ， AB ^ CD ，所以 kgk

又 k

= x 0

AB CD

x x 2 + x 2

0 g 1 2 =

p 4px

x 2 + x 2

1 2 = - 1 ，

4p2

即 x 2 + x 2 = - 4p 2 ，矛盾．

2x 2 ÷÷

x 2 + x 2 ÷÷

对于 D ç2x ， 0 ÷÷，因为C ççç2x ，1

骣骣

ç2 ÷，此时直线CD 平行于 y 轴，

çç

桫 0 p ÷桫 02p÷

p ?

0 ，所以直线 AB 与直线CD 不垂直，与题设矛

又 k

盾，

所以 x ¹ 0 时，不存在符合题意的 M 点．

综上所述，仅存在一点 M （0， 2p）适合题意．

例 5（2008 江西卷，理 21 题）设点 P （x , y ）在直线

x = m （y 贡 m , 0 < m < 1）上，过点 P 作双曲线 x 2 - y 2 = 1 的

两条切线 PA、PB ，切点为 A、B ，定点 M （ 1 ，0）．

（1）过点 A 作直线 x - y = 0 的垂线，垂足为 N ，试求△ AMN 的重心G 所在的曲

线方程；

（2）求证：

A、M 、B 三点共线．

证明：

（1）设 A（x , y ）, B （x , y ），由已知得到 y y ¹ 0 ，且 x 2 - y 2 = 1 ， x 2 - y 2 = 1 ，

11221 21122

设切线 PA 的方程为：

y - y = k （x - x ）由 ïí

ïï

（1 - k 2 ）x 2 - 2k （y - kx ）x - （y - kx ）2 - 1 = 0

ìï y - y = k（x - x ）

1 1

1 1 x 2 - y 2 = 1

ïî

得

从而 D = 4k 2 （y - kx ）2 + 4（1- k 2 ）（ y - kx ）2 + 4（1- k 2 ） = 0 ,

解得 k = x

因此 PA 的方程为：

y y = x x - 1 同理 PB 的方程为：

y y = x x - 1

1122

又 P （m , y ）在 PA、PB 上，所以 y y = mx - 1 ， y y = mx - 1

01 012 02

即点 A（x , y ）, B （x , y ）都在直线 y y = mx - 1 上

11220

又 M （ 1 , 0）也在直线 y y = mx - 1 上,所以三点 A、M 、B 共线

（2）垂线 AN 的方程为：

y - y = - x + x ，

由 ïí

ïï

ìï y - y = - x + x

x - y = 0

1 得垂足 N （

x + y x + y

1 1 , 1

2 2

1 ），

ïï

ïï x = 1 （x + 1 + x1 + y1 ）

ïï

ïï x =

所以 ïí 解得 í1

ïï

ïï y =

1 ） ïï

2 ïï y =

设重心G （x, y ）

ìï

31m2

1x + y

（y + 0 +1

ïî31

ìï

ï 1

9x - 3y -

9y - 3x +

m m 3m 9

由 x 2 - y 2 = 1 可得（3x - 3y - 1 ）（3x + 3y - 1 ） = 2 即（x -1 ）2 - y 2 = 2 为重心G 所在曲

线方程.

展开阅读全文

专题一 阿基米德三角形的性质讲课教案.docx

专题一阿基米德三角形的性质讲课教案.docx