专题一 阿基米德三角形的性质讲课教案.docx

1、专题一 阿基米德三角形的性质讲课教案专题一阿基米德三角形的性质阿基米德三角形的性质阿基米德三角形：抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形。阿基米德最早利用逼近的思想证明了：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的 。阿基米德三角形的性质：设抛物线方程为x2=2py，称弦AB为阿基米德三角形的底边，M为底边AB的中点，Q为两条切线的交点。性质1阿基米德三角形底边上的中线与抛物线的轴 。性质2 阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内定点C，则另一顶点Q的轨迹为 。性质3抛物线以C为中点的弦与Q点的轨迹 。性质4若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三

2、角形的底边过定点 。性质5底边长为a的阿基米德三角形的面积的最大值为 。性质6若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点Q的轨迹为抛物线的 ，且阿基米德三角形的面积的最小值为 。性质7在阿基米德三角形中，QFA=QFB。性质8在抛物线上任取一点I（不与A、B重合），过I作抛物线切线交QA、QB于S、TQST的垂心在 上。性质9|AF|BF|=|QF|2.性质10QM的中点P在抛物线上，且P处的切线与AB 。性质11在性质8中，连接AI、BIABI的面积是QST面积的 倍。高考题中的阿基米德三角形例1（2005江西卷，理22题）如图，设抛物线C:y=x2的焦点为F，动点P在直线l:x-y-2=0上运动

3、，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.（1APB的重心G的轨迹方程.AFyBxl（2）证明PFA=PFB.OP解：（1）设切点A、B坐标分别为(x,x2)和(x,x2)(xx)，01110切线AP的方程为：2xx-y-x2=0;00切线BP的方程为：2xx-y-x2=0;11解得P点的坐标为：x=x0+x1,y=xxP 2 P 01所以APB的重心G的坐标为 ，3 =3 =3 =3 ,y=y0+y1+yPGx2+x2+xx0101(x+x)2-xx01014xP2-yp所以y=-3y+4x2，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：pGGx-(-3y

4、+4x2)-2=0,即y=13(4x2-x+2).（2）方法1：因为FA=(x,x2-1),FP=(x0+x1,xx-1),FB=(x,x2-1).r ruuur uuu uuu01 1 10 0 4 2 4 4uuur由于P点在抛物线外，则|FP|0.uuuruuurFPFAuuur uuur= uuur4,1|FP|FA| |FP|cos?AFPx+x11101?x(xx-)(x2-)xx+001001uuur|FP|x2+(x2-)2004uuuruuurFPFBuuur uuur= uuur4,1uuur|FP| x2+(x2- )2同理有cos?BFPAFP=PFB.x+x11101

5、?x(xx-)(x2-)xx+101101|FP|FB|FP|1142,0)，则P方法2：当xx=0时,由于x?x,不妨设x10 1 000,则y=0,所以P点坐标为(0x1点到直线AF的距离为：d=|x1|;而直线BF的方程:y-1=即(x2-1)x-xy+1x=0.11 4 4 1x2-1124x114x,=x24112 =|x1|所以P点到直线BF的距离为：d=21xx|(x2-)1+1|(x2+142411(x2-)2+(x)211|x|)1412+4当xx0时，直线AF的方程：y-1= 04(x-0),即(x2-1)x-xy+1x=0,4 x-0 4 4 0所以d1=d2，即得AFP

6、=PFB.1x2-100 00直线BF的方程：y-1= 14(x-0),即(x2-1)x-xy+1x=0,1x2-1 14 x-0 4 4 11所以P点到直线AF的距离为：4=|x0-x1|4 2 4 0=1x2+4400d=1|(x2-0x-x1x+x11)(01)-x2x+x|01)(x2+)(x2-)2+x20120012，同理可得到P点到直线BF的距离d=|x1-x0|，因此由d1=d2，可得到AFP=2 2PFB1y1(y21)例2(2006全国卷，理21题)已知抛物线x24y的焦点为F，A、B是抛物线上的 两动点，且AFFB（0）过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为（）证明F

7、MAB为定值；（）设ABM的面积为S，写出Sf()的表达式，并求S的最小值解：()由已知条件，得F(0，1)，0 设A(x1，y1)，B(x2，y2)由AFFB，即得 (x1，1y)(x2，y21)，x1x2 1 1将式两边平方并把y14x12，y24x22代入得 y12y21解、式得y1，y2，且有x1x2x224y24，1 1抛物线方程为y4x2，求导得y2x所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是x1x2 1 1 11 1y2x1(xx1)y1，y2x2(xx2)y2，1 1 1 1即y2x1x4x12，y2x2x4x22x1x2 x1x2 x1x2解出两条切线的交点M的坐标为( 2 ，

8、4)( 2 ，1)4分所以FMAB( 2 ，2)(x2x1，y2y1)2(x22x12)2(4x224x12)0所以FMAB为定值，其值为0 7分1()由(知在 ABM中，FMAB，因而S2|AB|FM|FM|x1x2(2)2(2)21y1y22(4)41114x124x222x1x24112因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y1的距离，所以1 1|AB|AF|BF|y1y222()21 1于是 S2|AB|FM|()3，1由2知S4，且当1时，S取得最小值4例3（2007江苏卷，理19题）如图，在平面直角坐标系xOy中，过y轴正方向上一点C(0,c)任作一直线，与抛物线y=x2

9、相交于AB两点，一条垂直于x轴的直线，分别与线段AB和直线l:y=-c交于P,Q，uuuruuur（1）若OA?OB 2，求c的值；（5分）（2）若P为线段AB的中点，求证：QA为此抛物线的切线；（5分）（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由。（4分）解：（1）设过C点的直线为y=kx+c，所以x2=kx+c(c0)，即x2-kx-c=0，(x,y),B(x,y)，OAur=(x,y)，OBur=(x,y)，因为OAur?OBuruu设A11221122uuuuuu2，所以xx+yy=2，即xx+(kx+c)(kx+c)=2，xx+k2xx-kc(x+x)+c2=2121212121212

10、12所以-c-k2c+kcgk+c2=2，即c2-c-2=0,所以c=2(舍去c=-1)（2）设过Q的切线为y-y=k(x-x)，y/=2x，所以k=2x，即1 1 1 1 1骣 cy=2xx-2x2+y=2xx-x2，它与y=-c的交点为M1-桫2 2x,-c，又1 1 1 1 11P1骣kk2，所以Q,-cc，因为xx=-c,所以-x骣+x y+y桫2 2 2,12=?,2桫2k骣2桫c12x1=x，所以2M1+ 2,-c=,-c,所以点M和点Q重合，也就是QA为此抛物线的切线。x骣 x2桫 2k2骣桫（3）（2）的逆命题是成立，由（2）可知Q,-c，因为k2骣桫PQx轴，所以P,y2 =

11、k，所以P为AB的中点。k骣2桫 P因为x1+x22例4（2008山东卷，理22题）如图，设抛物线方程为x2=2py(p0)，M为直线y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B（）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；-（）已知当M点的坐标为(2，2p)时，AB=410求此时抛物线的方程；骣x2鼢 骣x2珑1珑2p鼢桫 鼢 桫22p由x2=2py得y= ，得y=x，（）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线x2=2py(p0)uuur uuur uuur上，其中，点C满足OC=OA+OB（O为坐标原点）若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由x

12、 -解：（）证明：由题意设A珑，1鼢，Bx，2，xx，M(x，2p)1 2 0x22p pp，kp所以kMA=x1MB=x2因此直线MA的方程为y+2p=x1p(x-x)，直线MB的方程为y+2p=0x2p(x-x)02p+2p=p(x-x)，2p+2p=p(x-x)所以x21x110x22x220由、得x+x122=x+x-x，120因此x=0x+x122，即2x=x+x012所以A，M，B三点的横坐标成等差数列（）解：由（）知，当x=2时，0将其代入、并整理得：x2-4x-4p2=0，x2-4x-4p2=0，1122所以x，x是方程x2-4x-4p2=0的两根，1 2因此x+x=4，xx=

13、-4p2，1 2 12= = 又kABx2x22-12p2px-xx+xx，所以k12=02ppAB2p21p2则CD的中点坐标为Q1p(x-x)，由点Q在直线AB上，并注意到点12，1 2也在直线AB上，代入得px2x2因此x=0或x=2x即D(0，0)或D2x，0桫0p由弦长公式得AB= 1+k2(x+x)2-4xx= 1+4 16+16p21 2 12又AB=410，所以p=1或p=2，因此所求抛物线方程为x2=2y或x2=4y（）解：设D(x，y)，由题意得C(x+x，y+y)，3 3 1 2 1 2x骣+x+x y+y+y2 3，1 2 3，桫 2 2 设直线AB的方程为y-y=x0

14、1 1x骣+x y+y桫2 2 y=x03 3若D(x，y)在抛物线上，则x2=2py=2xx，3 3 3 3 0 3骣3 3 0-（1）当x=0时，则x+x=2x=0，此时，点M(0，2p)适合题意0 1 2 0x2+x2（2）当x0，对于D(0，0)，此时C2x，1骣 2，0桫02pk=CDx2+x2122p2x=x2+x212，4px00p，ABCD，所以k gk又kAB=x0ABCD=xx2+x20g12=p4px0x2+x212=-1，4p2即x2+x2=-4p2，矛盾122x2x2+x2对于D2x，0，因为C2x，1骣 骣 2，此时直线CD平行于y轴， 桫0p 桫0 2p p?0，

15、所以直线AB与直线CD不垂直，与题设矛又kAB=x0盾，所以x0时，不存在符合题意的M点0-综上所述，仅存在一点M(0，2p)适合题意例5（2008江西卷，理21题）设点P(x,y)在直线0 0x=m(y贡m,0m1)上，过点P作双曲线x2-y2=1的两条切线PA、PB，切点为A、B，定点M(1，0)m（1）过点A作直线x-y=0的垂线，垂足为N，试求AMN的重心G所在的曲线方程；（2）求证：A、M、B三点共线证明：（1）设A(x,y),B(x,y)，由已知得到yy0，且x2-y2=1，x2-y2=1，1 1 2 2 12 1 1 2 2设切线PA的方程为：y-y=k(x-x)由(1-k2)x

16、2-2k(y-kx)x-(y-kx)2-1=0y-y=k(x-x)1111x2-y2=1得1111从而D=4k2(y-kx)2+4(1-k2)(y-kx)2+4(1-k2)=0,解得k=xy111111因此PA的方程为：yy=xx-1同理PB的方程为：yy=xx-11 1 2 2又P(m,y)在PA、PB上，所以yy=mx-1，yy=mx-10 10 1 20 2即点A(x,y),B(x,y)都在直线yy=mx-1上1 1 2 2 0m又M(1,0)也在直线yy=mx-1上,所以三点A、M、B共线0（2）垂线AN的方程为：y-y=-x+x，1 1由y-y=-x+x1x-y=01得垂足N(x+yx+y11,1221)，x=1(x+1+x1+y1) x=所以 解得 1y=1) 2 y=设重心G(x,y)3 1 m 21 x+y(y+0+ 1 3 119x-3y-49y-3x+43m1mm m 3m 9由x2-y2=1可得(3x-3y-1)(3x+3y-1)=2即(x- 1)2-y2=2为重心G所在曲1 1线方程.